5.2 微积分基本公式-习题

【解】由题设得，

于是得  ，。

2．计算下列各导数：

⑴；

【解】。

⑵；

【解】。

⑶；

【解】

。

⑷。

【解】

。

3．设函数由方程所确定，求。

【解法一】方程中完成积分即为  ，

亦即为  ，得知，

解出，得，

于是得。

【解法二】在方程两边对求导，注意到，得

即得           ，

亦即，解出，得，

方程中完成积分即为  ，

亦即为  ，得知，

再将代入中，

得。

4．设，，求。

【解】问题是由参数方程求导

【解法一】。

【解法二】。

5．求下列极限：

⑴；

【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得

。

⑵；

【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得

         ----  应用洛必达法则

         ----  再次应用洛必达法则

。

⑶；

【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得

         ----  应用洛必达法则

         ----  完成求导

             ----  整理

。

⑷。

【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得

         ----  应用洛必达法则

         ----  完成求导

         ----  分子分母同消去

         ----  再次应用洛必达法则

         ----  分子分母同消去

。

6．当为何值时，函数有极值。

【解】由给定的函数可见，其定义域为，

由于，可得有唯一驻点，无不可导点，

显见，当时，，当时，，

可知，函数在点处取得极小值。

7．计算下列定积分：

⑴；

【解】。

⑵；

【解】

。

⑶；

【解】。

⑷；

【解】

。

⑸；

【解】

。

⑹；

【解】。

⑺；

【解】。

⑻；

【解】。

⑼；

【解】

。

⑽；

【解】

。

⑾；

【解】

。

⑿，其中。

【解】

。

8．设，求在上的表达式，并讨论在内的连续性。

【解】当时，；

当时，；

当时，；

当时，

，

当时，

，

于是，，

由于初等函数在内连续，初等函数在内连续，故要讨论在内的连续性，仅须讨论在处的连续性，

由于，，

且，

可知在处连续，

从而，在内连续。

9．设，求在内的表达式。

【解】当时，，

当时，，

当时，

，

于是得。

10．设，求。

【解】对等号两端在区间上积分，注意为常数，

得

即有  ，

移项，整理即得  。

11．已知，求。

【解】问题在于求出和，可应用上题的方法，

对等号两端在区间上积分，注意和均为常数，

得  

即有  ，

移项、整理得   ，将其代入题目已知式，得

，

，

再对上式的等号两端在区间上积分，得

即有          

移项、整理得        ，

最后得     。

12．设（），求。

【解】由题设，得，且

于是又得  ，

从而有  

，

这时有 ，

代入，得 ，即，

得到  。

13．设连续，若满足，求。

【解】设，则，，

于是，，

再由题设，得，

即得，

两边求导得  ，

即有         ，

从而    ，

14．设函数在区间上连续，在内可导且，

，

证明：在内有。

【证明】任取，则由题设有，函数在区间上连续，在内可导且，

那么对于函数，

有

，

令，则由已知在内可导且，

得恒成立，

可知，在上单调递减，

由于，

得知在上成立，

从而在上成立。

再因的任意性，知在内有。证毕。