高中数学必修二《平面》教案

一、教材分析

    平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.

二、课时安排

  2课时（由于学生首次运用三种数学语言的转换与翻译，根据学生的程度本人将本节课分2课时教授）

课时一：平面

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）利用生活中的实物对平面进行描述；

（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图

（3）掌握点与线，点与面，线与面之间的位置关系；

（4）培养学生的空间想象能力. 

2．过程与方法

（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；

（2）让学生归纳整理本节所学知识. 

3．情感、态度与价值观

使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.

（二）、重点难点

    三种数学语言的转换与翻译.

（三）、教学过程

1.导入新课

    大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.

2.推进新课、新知探究、提出问题

①怎样理解平面这一最基本的几何概念;

②平面的画法与表示方法;

③如何描述点与直线、平面的位置关系？

④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？

⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？

⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;

⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？

⑧自己总结三个公理的有关内容.

活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：

①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.

②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.

③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.

④确定一条直线需要几个点？

⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.

⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.

⑦文字语言、图形语言、符号语言.

⑧平面的基本性质小结.

讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).

②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.

图2                           图3

    平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母、、的前面加“平面”二字，如平面、平面、平面等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面（图5）.

图4                       图5

③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：

点在直线上（或直线经过点

例1  如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

图10

活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实 物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.

解：在（1）中，,.

在（2）中，, , , ,.

变式训练

1.画图表示下列由集合符号给出的关系：

(1), , ,;

(2), ,,,.

解：如图11.

图11

2.根据下列条件，画出图形.

（1）平面平面，直线，，，直线，;

（2）平面平面，的三个顶点满足条件: ，，，，.

答案：如图12.

图12

点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：

(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.

(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.

例2  如图15，已知,,,与相交，在图中分别画出平面与、的交线.

图15

活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

解：如图16所示，连接，

∵, ,∴直线.

图16

∵直线平面，∴平面直线.

设直线与直线交于,

∵,∴,D∈平面.

∵,平面，

∴平面直线.

变式训练

1.如图17，平面,平面，请画出直线与平面的交点，并指出点与直线的位置关系.

图17

解：和是相交直线，它们确定一个平面，

它与平面的交线为直线，平面，

∴与的交点在直线上. 

4.课堂小结

1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.

2. 点与直线、平面的位置关系如下表：

点在直线上（或直线经过点

课本习题2.1  A组1、2、4.

（四）板书设计（略）

（五）课后反思