高中数学4-三角恒等变换试题

一、选择题

1．的值是(     )． 

A．            B．－            C．2                D．－2

2．cos 40°＋cos 60°＋2cos 140°cos2 15°－1的值是(     )．

A．0                B．                C．                D． 

3．已知sin( － )cos  －cos( － )sin  ＝，且 在第三象限，则sin的值是(     )．

A．－            B．－            C．±            D．± 

4．已知＝，则tan  ＝(     )．

A．                B．                C．                D． 

5．tan(  +45°)－tan(45°－ )等于(     )．

A．2tan 2             B．－2tan 2             C．            D．－ 

6．已知sin( － )cos  －cos( － )sin  ＝，且   为第三象限角，则cos  等于(    )．

A．                B．－                C．                D．－ 

7．2sin 14°cos 31°＋sin 17°等于(     )．

A．                B．－            C．                D．－ 

8．在△ABC中，若0＜tan Α·tan B＜1，那么△ABC一定是(     )．

A．锐角三角形                            B．钝角三角形

C．直角三角形                            D．形状不确定

9．已知   为第三象限角且sin4 ＋cos4 ＝，则sin 2 等于(     )．

A．            B．                C．－            D．－ 

10．sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°的值为(     )．

A．                B．            C．                D． 

二、填空题

11．若sin x－sin y＝－，cos x－cos y＝，x，y都是锐角，则tan(x－y)的值为       ．

12．化简＝__________．

13．若3sin  ＝cos  ，则tan 4 ＝          ．

14．若＜ ＜，＝－，则tan  ＝          ．

15． 求函数y＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x的最小正周期＝           ．

16．已知＝k(＜ ＜)，试用k表示sin  －cos  的值           ．

三、解答题

17．化简：cos2A＋cos2(＋A)＋cos2(＋A)．

18．已知： ∈(0，)， ∈(，)且cos(－ )＝，sin(＋ )＝，

求：cos  ，cos( ＋ )．

19．(1)已知tan( － )＝，tan  ＝ ，且 ， ∈(0，π)，求2 － 的值．

(2)已知cos( －)＝，sin(－ )＝，且＜ ＜π，0＜ ＜，求cos( ＋ )的值．

20．已知tan 2 ＝  ，2 ∈，求．

第三章 三角恒等变换

参

一、选择题

1．D

解析：原式＝＝＝＝－＝－2．

2．C

解析：原式＝＋cos 40°－cos 40°＋cos 30°

＝＋

＝．

3．D

解析：∵sin( － － )＝，∴sin  ＝－．

又知   是第三象限角，∴cos  ＝－．又cos β＝1－2sin2，

∴sin＝±＝±．

4．B

解析：∵＝＝，

∴＝，即tan＝2．

∴＝＝＝－．

5．A

解析：原式＝－

＝

＝

＝2tan 2 ．

6．B

解析：由已知得sin(－ )＝，即sin  ＝－，又   为第三象限角，

∴cos  ＝－．

7．A

解析：原式＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°)

＝sin 31°cos 14°＋cos 31°sin 14°

＝sin(31°＋14°)

＝sin 45°

＝．

8．B  

解析：∵A，B是△ABC内角，

又∵0＜tan Α·tan B＜1，∴A，B∈(0，)．

∵0＜＜1，cos Acos B＞0，

∴cos Acos B－sin Asin B＞0，

即cos(A＋B)＞0，∴0＜A＋B＜，

∴π－(A＋B)＝C＞，

∴△ABC一定是钝角三角形．

9．A

解析：∵＝，

∴(sin2 ＋cos2 )2－2sin2 ·cos2 ＝，

∴1－sin22 ＝，

∴sin22 ＝．

∵2kπ＋π＜ ＜2kπ＋π，

∴4kπ＋2π＜2 ＜4kπ＋3π．

∴sin 2 ＝．

10．A

解析：sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°

＝

＝

＝

＝．

二、填空题

11．答案：－．

解析：由平方相加，可求cos(x－y)＝．

∵0＜x＜，0＜y＜且sin x－sin y＝－＜0，

∴0＜x＜y＜，

∴－＜x－y＜0，

∴ sin(x－y)＝－，

∴tan(x－y)＝－．

12．答案: －cos 2．

解析：原式＝

＝

＝

＝|cos 2|．

∵＜2＜π，

∴cos 2＜0．

∴原式＝－cos 2．

13．答案：．

解析：∵3sin  ＝cos  ，

∴tan  ＝．

∴tan 2θ＝＝，

tan 4θ＝＝．

14．答案： -2．

解析：∵＜ ＜，

∴5π＜2 ＜，＜＜，

∴，2  均为第三象限角， 为第二象限角．

∵sin 2 ＝－，∴cos 2 ＝－，

又cos 2 ＝2cos2  －1，

∴cos  ＝－＝＝－．

又sin 2 ＝2sin  cos  ＝－，

∴sin  ＝＝，

∴tan α＝＝－2．

15．答案：π．

解析：y＝1＋sin 2x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋2＝sin(2x＋)＋2．

故最小正周期为π．

16．答案：．

解析：∵＝＝2sin  cos  ，

∴k＝2sin  cos  ．

而(sin  －cos  )2＝1－2sin  cos  ＝1－k．

又＜ ＜，于是sin  －cos  ＞0，所以sin  －cos  ＝．

三、解答题

17．解析：

原式＝＋＋

＝＋[cos 2A＋cos()＋cos()]

＝＋(cos 2A－cos 2A＋sin 2A－cos 2A－sin 2A)

＝．

18．答案：＝，cos( ＋ )＝－．

解析：∵＜ ＜，∴－＜－ ＜0．

∵cos(－ )＝，∴sin(－ )＝－，

∴cos  ＝cos[－(－ )]

＝cos·cos(－ )＋cos·sin(－ )

＝·＋·(－)

＝．

又∵0＜ ＜，∴＜＋ ＜π．

∵sin(＋ )＝，∴cos(＋ )＝，

∴cos( ＋ )＝sin[＋( ＋ )]＝sin[(＋ )－(－ )] 

＝sin(＋ )·cos(－ )－cos(＋ )·sin(－ )

＝·－(－)·(－)

＝－．

19．答案：(1)2 － ＝－；(2)cos( ＋ )＝－．

解析：(1)∵tan( － )＝，

∴tan 2( － )＝＝．

又∵2 － ＝2( － )＋ 且tan  ＝－，

∴tan(2 － )＝＝1．

∵ ， ∈(0，π)且tan  ＝－＜0，

tan  ＝＝∈(0，1)，

∴0＜ ＜，＜ ＜π0＜2 ＜，－π＜－ ＜－－π＜2 － ＜0，

而在(－π，0)内使正切值为1的角只有一个－，

∴2 － ＝－．

(2)∵＜ ＜π，0＜ ＜，∴＜ －＜π，-＜－ ＜．

又∵cos( －)＝－，sin(－ )＝，

∴sin( －)＝，cos(－ )＝，

∴cos＝cos[( －)－(－ )] 

＝cos( －)cos(－ )＋sin( －)sin(－ )

＝，

∴cos( ＋ )＝2cos2－1＝．

20．答案：－3＋2．

解析：＝＝，

∵tan 2 ＝＝－2，

∴tan2 －tan  －＝0，

解得 tan  ＝或tan  ＝－．

∵＜2 ＜π，∴＜ ＜，∴tan  ＝，

∴原式＝＝－3＋2．