抽象函数的单调性、奇偶性问题

1.函数对任意的，都有，

并且当时，.（摘自《学案与测评（文）》第13页）

（1）求证：是R上的增函数；

（2）若，解关于的不等式.

解答：（1）提示：增减项；（2）.

2.设是定义域为上的函数，同时满足条件：

； ；若，则.

如果，求取值范围.（摘自教案maths-1函数的单调性）

解答：.

3.已知函数的定义域为R，对任意都有，

且，又当时，.（摘自《世纪金榜》第21页——新题快递）

（1）求；  （2）求和：；

（3）判断函数的单调性并加以证明.

解答：（1）；（2）等差数列首项为，公差为1；（3）证明：设，

则

，即.

所以函数为增函数.

4. 定义在区间上的函数满足：（东北育才高中部2010期中文科）

①对任意的，都有； 

②当时，.

问题：

（1）求证f (x)为奇函数；

（2）试解不等式.

解析：（1）解：令x = y = 0，则    f (0) + f (0) =  ∴ f (0) = 0

        令x∈(－1, 1)  ∴－x∈(－1, 1)    ∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0

        ∴ f (－x) =－f (x)    ∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数

    （2）解：令－1< x1 < x2 < 1，则f (x1) －f (x2) = f (x1) + f (－x2) = 

        ∵x1－x2 < 0，1－x1x2 > 0  ∴  ∴> 0

        ∴ f (x1) > f (x2)  ∴ f (x) 在(－1，1)上为减函数

        又f (x) + f (x－1) >

    ∴ 不等式化为

    或

    ∴ 不等式的解集为.

变式:   

定义在区间上的函数满足： .

若时，若, , ,

则P、Q、R的大小关系为（源自2015届高三上期末育才等五校联考文科T11）

A.R>Q>P B.R>P>Q C.P>R>Q D.Q>P>R

答案：B.提示：

关注目标需要判定函数的单调性对P进行合一变形

函数的奇偶性判定.

①赋值法：在已知等式中令得，∴函数为奇函数；

②已知可变形为，

∴；【至此可以排除AC】

③定义判断单调性：设，则

∵，，∴ 

故由已知得，即.所以函数为单调减函数；

所以答案为B.

2015/1/25 wht解析

5.已知函数，对任意非零函数、，恒有

.（源自《世纪金榜》教师版第50页）

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）若在上是单调递增函数，且，解不等式.

解析：

（1）令=1， =1得，所以，

令=-1， =-1得，，所以.

令， =-1，则，即，

所以是偶函数.

（2）， ，同理.

，又因为在上是单调递增函数，所以

解得或.

6.定义在上的函数满足：对任意实数，，总有，且当时，.

（1）判断的单调性；

（2）设，，

若，试确定的取值范围.（源自2010东北育才高二文科月考19题）

解：（1）在中，令，得，因为，所以。

在中，令

因为当时，

所以当时

而

所以

又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。

设，则

所以

所以在R上为减函数。

（2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以

即有

又，根据函数的单调性，有

由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得。

7.函数的定义域为R，若与都是奇函数，则         

A.是偶函数                      B.是奇函数  

C.                    D.是奇函数（2009全国卷Ⅰ理）

答案：D

解析  与都是奇函数，

，

函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数，故选D.

2011-11-15 wht输入

8.定义在上的函数满足，当时单调递增，若，且，判断的符号.

解：不妨设由和异号，故

由，所以

由，而在时单调增

故，即.

2012-8-6小武

9.定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，

且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.

（1）求证：f（0）=1；

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；

（3）求证：f（x）是R上的增函数；

（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.（源自育才双语高一周练）

答案：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.

（2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.

∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0.

（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.

∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.

∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.

说明：也可以做商法证明.

（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.

又f（x）是R上的增函数，　∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.

2012-12-21 wht

10.已知是奇函数，当时，；当时，的最小值为1，则实数的值为（源自育才双语2014届三模文科）

A.  B.   C.   D. 1

答案：D.

11.已知，若，，则

（源自育才2014届三模文科）

A. 0         B.         C. 1        D. 

答案：A.

…………①

…………②

令函数，则此函数为奇函数，①②即，∴ 

故，.答案选择A.

2013-12-5 wht