_全称命题与特称命题的否定_(2)

一、创设情境

 “所有”、 “任意”、等与“存在着”、“有”、 “至少有一个”等的词语，分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；

（3）xR，x2-2x+1≥0

分析：（1），否定：存在一个矩形不是平行四边形；

（2），否定：存在一个素数不是奇数；

（3），否定：xR，x2-2x+1<0；

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.

三、师生探究

问题2：写出命题的否定

（1）p： x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1） xR，x2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：,

四、数学理论

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P：  x M,有P（x）成立；其否定命题┓P为： x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P： x M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：  x M,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:  M, p(x）否定为  P:   M,   P（x）

P:  M, p(x）否定为  P:   M,   P（x）

2.关键量词的否定

例1  写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有人都晨练；（2）p： xR，x2＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p： x∈R，x2－x+1＝0；

解：（1） P：有的人不晨练；（2） x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）xR，x2－x+1≠0；

例2 写出下列命题的否定。

（1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 

（3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。 

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。 

例3 写出下列命题的否定。 

（1） 若x2＞4 则x＞2.。 （2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。 

（3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。 

（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 

解（1）否定：存在实数，虽然满足＞4，但≤2。或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）

（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+ -m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。　

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题  否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2） P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题 否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。

　 （3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。　　 

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

　　 否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。

作业（练习）

1.已知命题则的否定形式为

2.命题“，”的否定是                       

3.若命题是假命题，则实数a的最小值为   

4.下列有关命题的叙述错误的是（     ）

    A．对于命题 p：x∈R， ，则为： x∈R，

    B．命题“若－3x + 2 = 0，则 x = 1”的逆否命题为“若 x≠1，则－3x+2≠0”

    C．若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题

 D．“x > 2”是“ －3x + 2 > 0”的充分不必要条件

5.已知命题：；命题：，则下列命题中为真命题的是（    ）

A.         B.        C.          D. 

6.已知两命题，命题 ，均是真命题，则实数的取值范围是                (     )

A． ． ． ．

7.为假命题,则的取值范围为（    ）

A．        B.        C.    D. 

8.若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围是

A．[2，6]  ．[-6，-2] ．（2，6）  ．（-6，-2）

9.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（     ）

A．           B.            C.         D. 

10.下列命题中为真命题的是（　　）

①             ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数

③     

A、0、1、2、3

12.平面向量，共线的充要条件是

   A. ，方向相同                  B. ，两向量中至少有一个为零向量        

   C. ，使得       D. 存在不全为零的实数，，

13.下列命题中，真命题是：                                        （   ）

A．             B．

C．a+b=0的充要条件是=-1     D．a>1,b>1是ab>1的充分条件

14.已知p：存在，若“p或q”为假命题，则实数m的取值范围是    

    A．[1，+）    B．（一，一1]      C．（一，一2]      D．[一l，1]

15..若命题p:R是真命题,则实数a的取值范围是   

16.若命题:∈R，－2ax＋a≤0”为假命题，则的最小值是__________．

17.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是      

18.若“，使”为真命题，则实数的取值范围是        .

19.已知命题：“x∈{x|–1< x <1}，使等式x2–x–m = 0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M； （2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围. 

20.已知命题p：“x∈[1,2]，x2－ln x－a≥0”与命题q：“x0∈R，x＋2ax0－8－6a＝0”都是真命题，求实数a的取值范围．