东南大学信号与系统试题及答案

一、简单计算题（每题8分）：

1、已知某连续信号的傅里叶变换为，按照取样间隔对其进行取样得到离散时间序列，序列的Z变换。

2求序列和的卷积和。

3已知某双边序列的Z变换为，求该序列的时域表达式。

2、已知某连续系统的特征多项式为：

试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？

3、已知某连续时间系统的系统函数为：。试给出该系统的状态方程。

4、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。

二、（12分）已知系统框图如图（a），输入信号e(t)的时域波形如图（b），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号的频谱为。

试：1） 分别画出的频谱图和时域波形；

2） 求输出响应y(t)并画出时域波形。

3） 子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；

三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为，在t=0和t=1时测得系统的输出为，。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。

四(12分)、已知某离散系统的差分方程为

其初始状态为，激励；

求：1） 零输入响应、零状态响应及全响应；

2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；

3） 判断该系统的稳定性。

五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应。

1）求其系统函数；

2）粗略绘出该系统的幅频特性；

3）画出该系统的框图。

1、已知某连续信号的傅里叶变换为，按照取样间隔对其进行取样得到离散时间序列，序列的Z变换。

解法一：f(t)的拉普拉斯变换为，

解法二：f(t)=L1{F(jw)}=(et  e2t )(t)

f(k)= (ek e2k )(k)=

F(z)=Z[f(k)]= 

2、求序列和的卷积和。

解：f1(k)={1,2,1}=(k)+2(k1)+ (k2)

f1(k)* f2(k)= f2(k)+ 2f2(k1)+ f2(k2)

3、已知某双边序列的Z变换为，求该序列的时域表达式。

解：，两个单阶极点为0.4、0.5

当收敛域为|z|>0.5时，f(k)=(( 0.4)k1( 0.5)k1)(k1)

当收敛域为0.4<|z|<0.5时，f(k)= ( 0.4)k1(k1)+( 0.5)k1( k)

当收敛域为|z|<0.4时，f(k)=  ( 0.4)k1(k)+( 0.5)k1( k)

点评：此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。

4、已知某连续系统的特征多项式为：

试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？

    解  构作罗斯-霍维茨阵列

    由罗斯-霍维茨数列可见，元素符号并不改变，说明右半平面无极点。再由

令则有

可解得               

相应地有

j

j

这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土j，系统为临界稳定。

所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根。

点评：此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。

5、已知某连续时间系统的系统函数为：。试给出该系统的状态方程。

解：系统的微分方程为

取原来的辅助变量及其各阶导数为状态变量并分别表示为、、、，于是，由此微分方程立即可以写出如下方程

状态方程：                                            

输出方程：                                                    

或者写成矩阵形式，上式即为

                                ``

6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。

解：

二、（12分）已知系统框图如图（a），输入信号e(t)的时域波形如图（b），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号的频谱为。

试：1） 分别画出的频谱图和时域波形；

2） 求输出响应y(t)并画出时域波形。

3） 子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；

解：1）根据傅立叶变换的性质得：

2）y(t)=[e(t)f(t)]h(t)=[(t+2)+2(t)+ (t2)] h(t)= h(t+2)+2h(t)+ h(t2)

3）因h(t)是有始因果信号，所以子系统h(t)是物理可实现的。

点评：此题做对的非常少，大多数写不出f(t)的表达方式。

三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为，在t=0和t=1时测得系统的输出为，。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。

解：1）电路满足KVL：得

2）系统函数为：，特征根为1=0.5，2=1

Yzs(s)=H(s)E(s)= =

零状态响应：yzs(t)=(e0.5t et)(t)

yzs(0)=0，yzs(1)=(e0.5 e1)；

yzi(0)= y(0) yzs(0)=1，yzi(1)= y(1) yzs(1)= e1 ；

yzi(t)=(C1e0.5t +C2et)(t),得C1=0，C2=1

零输入响应：yzi(t)= et(t)；

全响应：y (t)= e0.5t (t)

点评：此题中很多学生把全响应初始条件当成零输入响应的初始值来解答，失去少部分分数。

四(12分)、已知某离散系统的差分方程为

其初始状态为，激励；

求：1） 零输入响应、零状态响应及全响应；

2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；

3） 判断该系统的稳定性。

解：，特征根为1=0.5，2=1

1）yzi(k)=(C10.5k+C2)(k)；

代入初始条件得C1=2，C2=2

零输入响应：yzi(k)= (220.5k)(k)

Yzs(z)=H(z)E(z)= =

零状态响应：yzs(k)= (0.5k +k1)(k)

yzs(0)=0，yzs(1)=(e0.5 e1)；

全响应：y (k)= (1+k0.5k)(k)

2）自由响应：(1 0.5k)(k)

受迫响应：k(k)，严格地说是混合响应。

3）系统的特征根为1=0.5（单位圆内），2=1（单位圆上），所2系统临界稳定。

五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应。

4）求其系统函数；

5）粗略绘出该系统的幅频特性；

6）画出该系统的框图。

解：1）系统函数为：

2）系统的幅频特性为：

3）系统的框图

六、（10分）请叙述并证明Z变换的卷积定理。

解：

卷积定理

    设,，则

或用符号表示为：若，，则

两序列卷积后z变换的收敛区是原来两个Z变换收敛区的重叠部分。以上定理可根据卷积和及Z变换的定义证明如下

交换上式右方的取和次序，上式成为

对上式右方第二个取和式应用式(8—15)的移序特性，则得

点评：很多学生做不出此题，有的竟然连卷积定理内容都写不出。