2012年高考安徽理科数学试题及答案

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：

如果事件与互斥；则

如果事件与相互；则

如果与是事件，且；则

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数满足：；则（     ）

【解析】选

（2）下列函数中，不满足：的是（      ）

【解析】选

与均满足：得：满足条件

（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（     ）

【解析】选

【解析】选

（5）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则

 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数  甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差    甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

【解析】选    

甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为

（6）设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且

     则“”是“”的（    ）

     充分不必要条件                      必要不充分条件   

 充要条件     即不充分不必要条件

【解析】选

①   ②如果；则与条件相同

（7）的展开式的常数项是（     ）

【解析】选

第一个因式取，第二个因式取得：

第一个因式取，第二个因式取得：  展开式的常数项是

（8）在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量

     则点的坐标是（     ）

【解析】选

【方法一】设

则

【方法二】将向量按逆时针旋转后得

         则

（9）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若；

     则的面积为（     ）

【解析】选

设及；则点到准线的距离为

得： 又

的面积为

（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换

      的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品

      的同学人数为（     ）

  或       或              或       或

【解析】选

①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人

②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人

第II卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）若满足约束条件：；则的取值范围为

【解析】的取值范围为

约束条件对应边际及内的区域：

则

（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是

【解析】表面积是

该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱

几何体的表面积是

（13）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是

【解析】距离是 

圆的圆心

直线；点到直线的距离是

（14）若平面向量满足：；则的最小值是

【解析】的最小值是

（15）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是

      ①若；则        ②若；则   

      ③若；则    ④若；则

      ⑤若；则

【解析】正确的是①②③

①

        ②

        ③当时，与矛盾

        ④取满足得：

        ⑤取满足得：

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

（16）(本小题满分12分)

  设函数

     （I）求函数的最小正周期；

     （II）设函数对任意，有，且当时， ；

          求函数在上的解析式。

【解析】

       （I）函数的最小正周期

       （2）当时，

            当时， 

当时， 

得：函数在上的解析式为

（17）（本小题满分12分）

某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后

该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用

的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道

试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试

题库中类试题的数量。

（Ⅰ）求的概率；

（Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）。

【解析】（I）表示两次调题均为类型试题，概率为

（Ⅱ）时，每次调用的是类型试题的概率为

      随机变量可取

，，

答：（Ⅰ）的概率为

   （Ⅱ）求的均值为

（18）（本小题满分12分）

平面图形如图4所示，其中是矩形，，，

。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都

与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答

下列问题。

。

（Ⅰ）证明：；      （Ⅱ）求的长；

（Ⅲ）求二面角的余弦值。

【解析】（I）取的中点为点，连接

  则，面面面

同理：面 得：共面

又面

（Ⅱ）延长到，使     得：

      ，面面面面

    （Ⅲ）是二面角的平面角

          在中，

         在中，

        得：二面角的余弦值为。

（19）（本小题满分13分）K]

      设

     （I）求在上的最小值；

     （II）设曲线在点的切线方程为；求的值。

【解析】（I）设；则

          ①当时，在上是增函数

                      得：当时，的最小值为

          ②当时，

                      当且仅当时，的最小值为

（II）

     由题意得：

（20）（本小题满分13分）

  如图，分别是椭圆

 的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，

过点作直线的垂线交直线于点；

（I）若点的坐标为；求椭圆的方程；

（II）证明：直线与椭圆只有一个交点。

【解析】（I）点代入得：

            ①

         又 ②   ③

        由①②③得： 既椭圆的方程为

（II）设；则

     得：  

     过点与椭圆相切的直线斜率

     得：直线与椭圆只有一个交点。

（21）（本小题满分13分）

  数列满足：

     （I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是

     （II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。

【解析】（I）必要条件

           当时，数列是单调递减数列

          充分条件

          数列是单调递减数列

          得：数列是单调递减数列的充分必要条件是

       （II）由（I）得：

        ①当时，，不合题意

     ②当时，

当时，与同号，

由

 当时，存在，使与异号

与数列是单调递减数列矛盾

得：当时，数列是单调递增数列