数值分析实验(Gauss消元法)

数值计算

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通过高斯消元法的实践环节，达到加深对高斯消元法理解和培养学生程序设计能力的目的。

逐次消去未知数的系数，将Ax=b化为等价的上三角方程组，然后回代解之，这就是Gauss消元法。

实验内容与步骤

直接建立求解该方程组的M文件Gauss.m如下:

%求解例题

%高斯法求解线性方程组Ax=b

%A为输入矩阵系数,b为方程组右端系数

%方程组的解保存在x变量中

%先输入方程系数

A=[？？？];

b=[？？？]';

[m,n]=size(A);

%检查系数正确性

if m~=n

    error('矩阵A的行数和列数必须相同');

    return;

end

if m~=size(b)

    error('b的大小必须和A的行数或A的列数相同');

    return;

end

%再检查方程是否存在唯一解

if rank(A)~=rank([A,b])

    error('A矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解');

    return;

end

%这里采用增广矩阵行变换的方式求解

c=n+1;

A(:,c)=b; 

%%消元过程

for k=1:n-1

A(k+1:n, k:c)=A(k+1:n, k:c)-(A(k+1:n,k)/ A(k,k))*A(k, k:c); 

end

%%回代结果

x=zeros(length(b),1);  

x(n)=A(n,c)/A(n,n);

for k=n-1:-1:1

x(k)=(A(k,c)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k);

end

%显示计算结果

disp('x=');

disp(x);

计算实例、数据、结果、分析

用Gauss消元法解方程组:

A=[1 2 3;2 7 5;1 4 9];

b=[1 6 -3]';

直接运行上面的M文件或在Matlab命令窗口中直接输入Gauss即可得出结果.

在Matlab命令窗口中输入Gauss得出结果如下:

>> Gauss

x=

    2.0000

    1.0000

   -1.0000

实验中遇到的问题及解决办法

   消元过程要求a(ii)≠0,(i=1,2,…,n-1),回代过程则进一步要求a(nn)≠0。

Matlab求解线性方程的几种命令如下(方程组的一般形式可用矩阵和向量表示成: ,但运用下列方法的前提必须保证所求解的方程为恰定方程,即方程组存在唯一的一组解) :

运用求逆思想:  或 ;

左除法,原理上是运用高斯消元法求解,但Matlab在实际执行过程中是通过分解法进行的(即先将矩阵A作分解,再回代计算): ;

用符号矩阵法计算,这种计算方法最接近精确值,但计算速度最慢: 

通过将矩阵施行初等行变换化成行简化阶梯形的办法,可以这样实现之: ; .

实验结论

通过高斯消元法的实践环节，我初步了解了使用Matlab求解线性方程组的其中一种方法，熟悉了软件使用流程，理解了Gauss消元法的数学思想和Matlab的程序思想。

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