北师大版八年级数学上《第一章勾股定理》单元测试含答案试卷分析详解...

一、单选题（共10题；共30分）

1、以下列长度线段为边，不能构成直角三角形的是(  )

A、7,24,25    B、8,15,17     C、9,40,41     D、10,24,28

2、如图，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，AD=CD=7， 若点P到AC的距离为5，则点P在四边形ABCD边上的个数为（　　）

A、0    B、2     C、3     D、4

3、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）        

A、12米     B、13米     C、14米    D、15米

4、适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）

①a=3，b=4，c=5；    ②a=6，∠A=45°；

③a=2，b=2，c=2；   ④∠A=38°，∠B=52°．        

A、1个    B、2个    C、3个    D、4个

5、下列三条线段不能构成直角三角形的是（   ）        

A、1、 、2    B、、 、      C、5、12、13     D、9、40、41

6、下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（   ）        

A、1，2，3     B、2，3，4

C、4，5，6     D、1， ， 

7、如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（   ）  

A、120cm     B、130cm    C、140cm     D、150cm

8、如图，四边形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为（   ）  

A、6cm2      B、30cm2      C、24cm2      D、36cm2

9、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（   ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．  

A、1     B、2     C、3     D、4

10、在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（   ）        

A、108cm2     B、90cm2      C、180cm2     D、54cm2

二、填空题（共8题；共24分）

11、8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为________ 

12、学校有一块长方形的花圃如右图所示，有少数的同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步（假设1米=2步），却踩伤了花草，所谓“花草无辜，踩之何忍”！

13、已知在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm．则△ABC的周长为________．    

14、一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边长为________．    

15、将一根长为12cm的筷子置于底面直径为6cm，高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是________．    

16、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有________米．  

17、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长为7cm，则正方形a，b，c，d的面积之和是________ cm2 ．   

18、图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为，则x的长为________ cm．  

三、解答题（共5题；共35分）

19、如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？

20、省道S226在我县境内某路段实行限速，机动车辆行驶速度不得超过60km/h，如图，一辆小汽车在这段路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方36m的C处，过了3s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为60m，这辆小汽车超速了吗？

21、如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．  

22、如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）  

23、如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．  

四、综合题（共1题；共11分）

24、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．  某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．

(1)作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD=________；    

(2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；    

(3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．    

答案解析

一、单选题

1、【答案】D                    

【考点】勾股定理的逆定理                

【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可；

【解答】A、由于72+242=625=252  ， 故本选项不符合题意；

B、由于（ 8)2+（ 15)2=（ 17)2  ， 故本选项不符合题意；

C、由于92+402=412  ， 故本选项错误；

D、由于102+242≠282  ， 故本选项正确．

故选D．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2  ， 那么这个三角形就是直角三角形．    

2、【答案】A                    

【考点】勾股定理                

【解析】【解答】解：作DE⊥AC，垂足为E；BF⊥AC，垂足为F．

在△ACD中，AE=CE=5，

DE=， 5；

在△ABC中，BF==4.8＜5，

点P到AC的距离为5，则点P在四边形ABCD边上的个数为0．

故选A．

【分析】作DE⊥AC，垂足为E；BF⊥AC，垂足为F．求出DE、BF的长，与5比较大小即可作出判断．    

3、【答案】A                    

【考点】勾股定理的应用                

【解析】【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理米．

故选A．

【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．    

4、【答案】C                    

【考点】勾股定理的逆定理                

【解析】【解答】解：①a=3，b=4，c=5，

∵32+42=25=52  ， 

∴满足①的三角形为直角三角形；

②a=6，∠A=45°，

只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；

③a=2，b=2，c=2， 

∵22+22=8=(2)2

∴满足③的三角形为直角三角形；

④∵∠A=38°，∠B=52°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°，

∴满足④的三角形为直角三角形．

综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形．

故选C．

【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论．    

5、【答案】B                    

【考点】勾股定理的逆定理                

【解析】【解答】解：A、因为12+（ ）2=22  ， 故是直角三角形，不符合题意；

B、因为（ ）2+（ ）2≠（ ）2  ， 故不是直角三角形，符合题意；

C、因为52+122=132  ， 故是直角三角形，不符合题意；

D、因为92+402=412  ， 故是直角三角形，不符合题意；

故选B．

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．    

6、【答案】D                    

【考点】勾股定理的逆定理                

【解析】【解答】解：A、12+22≠32  ， 不能组成直角三角形，故错误；  B、22+32≠42  ， 不能组成直角三角形，故错误；

C、42+52≠62  ， 不能组成直角三角形，故错误；

D、12+（ ）2=（ ）2  ， 能够组成直角三角形，故正确．

故选D．

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．    

7、【答案】B                    

【考点】勾股定理的应用                

【解析】【解答】解：如图，  

由题意得：AC=10×5=50cm，

BC=20×6=120cm，

故AB= = =130（cm）．

故选B．

【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．    

8、【答案】C                    

【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理                

【解析】【解答】解：连接AC，  

∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，

∴AC=5cm，

∵CD=12cm，DA=13cm，

AC2+CD2=52+122=169=132=DA2  ， 

∴△ADC为直角三角形，

∴S四边形ABCD=S△ACD﹣S△ABC

= AC×CD﹣ AB×BC

= ×5×12﹣ ×4×3

=30﹣6

=24（cm2）．

故四边形ABCD的面积为24cm2 ． 

故选：C．

【分析】连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差．    

9、【答案】D                    

【考点】勾股定理的应用                

【解析】【解答】解：由勾股定理，路程长度= =5，  少走（3+4﹣5）×2=4步，

故选：D．

【分析】根据勾股定理，可得答案．    

10、【答案】D                    

【考点】勾股定理的逆定理                

【解析】【解答】解：∵92+122=152  ，   ∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，两直角边为9和12，

所以△ABC的面积= ×9×12=54（cm2）．

故选D．

【分析】根据勾股定理的逆定理判定直角三角形及直角三角形的面积公式即可求解．    

二、填空题

11、【答案】49                    

【考点】勾股定理                

【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是25，

∴c2=25，

∴a2+b2=c2=25，

∵直角三角形的面积是=6，

又∵直角三角形的面积是ab=6，

∴ab=12，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=25+2×12=49．

故答案是：49．

【分析】根据大正方形的面积即可求得c2  ， 利用勾股定理可以得到a2+b2=c2  ， 然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．    

12、【答案】4                    

【考点】勾股定理的应用                

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2  ， 

则AB= =5（m），

少走了2×（3+4﹣5）=4（步）．

故答案为：4．

【分析】根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即（AC+BC）﹣AB．    

13、【答案】42cm或32cm                    

【考点】勾股定理                

【解析】【解答】32cm或42cm解：分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，  BD= = =5，

在Rt△ACD中，

CD= = =9，

∴BC=5+9=14，

∴△ABC的周长为：15+13+14=42（cm）；（2）当△ABC为钝角三角形时，

BC=BD﹣CD=9﹣5=4．

∴△ABC的周长为：15+13+4=32（cm）；

故答案为：42cm或32cm．

【分析】分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，求出BC的长，从而可将△ABC的周长求出．    

14、【答案】13或 

【考点】勾股定理                

【解析】【解答】解：①12和5均为直角边，则第三边为 =13．  ②12为斜边，5为直角边，则第三边为 = ．

故答案为：13或 ．

【分析】只给出了两条边而没有指明是直角边还是斜边，所以应该分两种情况进行分析．一种是两边均为直角边；另一种是较长的边是斜边，根据勾股定理可求得第三边．    

15、【答案】2cm≤h≤4cm                    

【考点】勾股定理的应用                

【解析】【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，  ∴h=12﹣8=4cm；

当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，

在Rt△ABD中，AD=6cm，BD=8cm，

∴AB=  =  =10cm，

∴此时h=12﹣10=2cm，

所以h的取值范围是2cm≤h≤4cm．

故答案为2cm≤h≤4cm

【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．    

16、【答案】24                    

【考点】勾股定理的应用                

【解析】【解答】解：因为AB=9米，AC=12米，  根据勾股定理得BC= =15米，

于是折断前树的高度是15+9=24米．

故答案为：24．

【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．    

17、【答案】147                    

【考点】勾股定理                

【解析】【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，  ∴正方形A的面积=a2  ， 正方形B的面积=b2  ， 

正方形C的面积=c2  ， 正方形D的面积=d2  ， 

又∵a2+b2=x2  ， c2+d2=y2  ， 

∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2），

则所有正方形的面积的和是：49×3=147（cm2）．

故答案为：147．

【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．    

18、【答案】17                    

【考点】勾股定理                

【解析】【解答】解：∵正方形的面积为，  ∴正方形的边长为：8，

则x的长为： =17．

故答案为：17．

【分析】直接求出正方形的边长，进而利用勾股定理得出x的值．    

三、解答题

19、【答案】解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，

∴AO⊥BO，

∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，

∴OB=20×2=40（海里），

∵AB=50海里，

在Rt△AOB中，AO===30，

∴乙轮船平均每小时航行30÷2=15海里．                    

【考点】勾股定理的应用                

【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，根据勾股定理解答即可．    

20、【答案】解：在Rt△ABC中，AC=36m，AB=60m；

据勾股定理可得：

BC===48（m）

∴小汽车的速度为v==16（m/s）=16×3.6（km/h）=57.6（km/h）；

∵60（km/h）＞57.6（km/h）；

∴这辆小汽车没有超速行驶．

答：这辆小汽车没有超速、．                    

【考点】勾股定理的应用                

【解析】【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．    

21、【答案】解：根据题意得；AC=30海里，AB=40海里，BC=50海里；  

∵302+402=502  ， 

∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，

∴180°﹣90°﹣35°=55°，

∴乙船的航行方向为南偏东55°                    

【考点】勾股定理的应用                

【解析】【分析】根据题意得出AC=30海里，AB=40海里，BC=50海里；由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，即可求出乙船的航行方向．    

22、【答案】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，  在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2  ， 即（x﹣2）2+82=x2  ， 

解得：x=17，

即旗杆的高度为17米．                    

【考点】勾股定理的应用                

【解析】【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．    

23、【答案】解：如图，连接AC，  ∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，

∴AC= =5，

∴S△ACD=6，

在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，

∴AC2+BC2=AB2  ， 

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，

∴Rt△ABC的面积=30，

∴四边形ABCD的面积=30﹣6=24．

【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理                

【解析】【分析】连接AC，根据解直角△ADC求AC，求证△ACB为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=△ABC面积﹣△ACD面积即可计算．    

四、综合题

24、【答案】（1）14﹣x

（2）解：∵AD⊥BC，  ∴AD2=AC2﹣CD2  ， AD2=AB2﹣BD2  ， 

∴132﹣（14﹣x）2=152﹣x2  ， 

解得：x=9

（3）解：由（2）得：AD= = =12，  ∴S△ABC= •BC•AD= ×14×12=84                    

【考点】勾股定理                

【解析】【解答】解：（1）∵BC=14，BD=x，  ∴DC=14﹣x，

故答案为：14﹣x；

【分析】（1）直接利用BC的长表示出DC的长；（2）直接利用勾股定理进而得出x的值；（3）利用三角形面积求法得出答案．