浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷(理科)

浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|﹣2≤x≤3}，则（∁RA）∩B=（）

    A．    R    B．    [﹣2，﹣1]    C．    [﹣1，3]    D．    [﹣2，4]

2．（5分）已知函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“φ=π”的（）

    A．    必要不充分条件    B．    充分不必要条件

    C．    充要条件    D．    既不充分也不必要条件

3．（5分）某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）

    A．    16﹣π    B．    16+π    C．    16﹣2π    D．    16+2π

4．（5分）为了得到函数y=sin（2x+2）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）

    A．    向左平行移动2个单位长度    B．    向右平行移动2个单位长度

    C．    向左平行移动1个单位长度    D．    向右平行移动1个单位长度

5．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{a1an}为递增数列，则（）

    A．    d＜0    B．    d＞0    C．    a1d＜0    D．    a1d＞0

6．（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，α和β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，α∩β=c．下列命题中正确的是（）

    A．    若a与b是异面直线，则c与a，b都相交

    B．    若a不垂直于c，则a与b一定不垂直

    C．    若a∥b，则a∥c

    D．    若a⊥b，a⊥c则α⊥β

7．（5分）已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上任意的不同三点，若=3+x，则正实数x的取值范围为（）

    A．    （0，2）    B．    （1，4）    C．    （2，4）    D．    （3，4）

8．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若=2，则双曲线的离心率是（）

    A．        B．        C．    5    D．    

9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA=AC=a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD所成的角为（）

    A．        B．        C．        D．    

10．（5分）已知非空集合A，B，C，若A={y|y=x2，x∈B}，B={y|y=，x∈C}，C={y|y=x3，x∈A}，则A，B，C的关系为（）

    A．    A=B=C    B．    A=B⊊C    C．    A⊊B=C    D．    A⊊B⊊C

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11．（4分）已知角α终边经过点P（12，﹣5），则sinα=．

12．（4分）设f（x）=，则f[f（）]=．

13．（4分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn=3an﹣2n（n∈N*），则数列{an}的通项公式为．

14．（4分）已知实数x，y满足约束条件，若y﹣mx≤2恒成立，则实数m的取值范围为．

15．（4分）若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是．

16．（4分）已知抛物线y2=2px过点M（，），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点．

17．（4分）已知实数x，y满足3x+3y=9x+9y，则的取值范围是．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（+B）•sin（﹣B）．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．

19．（14分）已知等差数列{an}的公差为﹣1，首项为正数，将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；

（Ⅱ）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且Sm，Sn，Sp成等比数列．

20．（14分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；

（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．

21．（15分）若椭圆C1：=1（a＞b＞0），过点Q（1，）作圆C2：x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线l与圆C2相切于点P，且交椭圆C1于点M，N，求证：∠MON是钝角．

22．（15分）设函数f（x）=x2+px+q，p，q∈R．

（Ⅰ）若p+q=3，当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求p的取值范围；

（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．

浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|﹣2≤x≤3}，则（∁RA）∩B=（）

    A．    R    B．    [﹣2，﹣1]    C．    [﹣1，3]    D．    [﹣2，4]

考点：    交、并、补集的混合运算． 

专题：    计算题；集合．

分析：    化简集合A={x|x＞4或x＜﹣1}，从而求∁RA={x|﹣1≤x≤4}再求（∁RA）∩B={x|﹣1≤x≤3}．

解答：    解：A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，

B={x|﹣2≤x≤3}，

∁RA={x|﹣1≤x≤4}，

则（∁RA）∩B={x|﹣1≤x≤3}，

故选C．

点评：    本题考查了集合的化简与集合的运算，属于基础题．

2．（5分）已知函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“φ=π”的（）

    A．    必要不充分条件    B．    充分不必要条件

    C．    充要条件    D．    既不充分也不必要条件

考点：    必要条件、充分条件与充要条件的判断． 

专题：    简易逻辑．

分析：    根据三角公式可得），Acos（﹣x+φ）=Acos（x+φ），φ=kπ，k∈z，再由充分必要条件的定义可判断．

解答：    解：∵函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），f（x）是偶函数

∴f（﹣x）=f（x），Acos（﹣x+φ）=Acos（x+φ）

sinφ=0，即φ=kπ，k∈z，

∴根据充分必要条件的定义可判断：“f（x）是偶函数”是“φ=π”的必要不充分条件，

故选：A

点评：    本题考查了充分必要条件的定义，三角函数的运算公式，属于中档题．

3．（5分）某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）

    A．    16﹣π    B．    16+π    C．    16﹣2π    D．    16+2π

考点：    由三视图求面积、体积． 

专题：    空间位置关系与距离．

分析：    由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，求出底面周长和面积，进而可得该几何体的表面积．

解答：    解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，

底面面积S底=2×2﹣2×=4﹣，

底面周长C=4×1+2××π×2×1=4+π，

由该几何体的高h=2，

故该几何体的侧面积S侧=Ch=8+2π，

故该几何体的表面积S=S侧+2S底=16+π，

故选：B

点评：    本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．

4．（5分）为了得到函数y=sin（2x+2）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）

    A．    向左平行移动2个单位长度    B．    向右平行移动2个单位长度

    C．    向左平行移动1个单位长度    D．    向右平行移动1个单位长度

考点：    函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 

专题：    三角函数的图像与性质．

分析：    根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论．

解答：    解：∵y=sin（2x+2）=sin2（x+1），

∴将函数y=sin2x图象向左平移1单位，即可，

故选：C

点评：    本题主要考查三角函数图象之间的关系，根据三角函数解析式之间的关系是解决本题的关键．

5．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{a1an}为递增数列，则（）

    A．    d＜0    B．    d＞0    C．    a1d＜0    D．    a1d＞0

考点：    等差数列的性质． 

专题：    等差数列与等比数列．

分析：    直接利用数列{a1an}的后一项与前一项的差大于0得答案．

解答：    解：∵数列{an}是公差为d的等差数列，

且数列{a1an}为递增数列，

∴a1an﹣a1an﹣1=a1（an﹣an﹣1）=a1d＞0．

故选：D．

点评：    本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的性质，是基础题．

6．（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，α和β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，α∩β=c．下列命题中正确的是（）

    A．    若a与b是异面直线，则c与a，b都相交

    B．    若a不垂直于c，则a与b一定不垂直

    C．    若a∥b，则a∥c

    D．    若a⊥b，a⊥c则α⊥β

考点：    空间中直线与直线之间的位置关系． 

专题：    阅读型；空间位置关系与距离．

分析：    若a，b是异面直线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，即可判断A；

若a不垂直于c，假设a∥c，b⊥c，则有b⊥a，即可判断B；

运用线面平行的判定定理和性质定理，即可判断C；

运用面面垂直的判定定理，即可判断D．

解答：    解：对于A．若a，b是异面直线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，故A错；

对于B，若a不垂直于c，假设a∥c，b⊥c，则有b⊥a，故B错；

对于C．若a∥b，则由线面平行的判定定理得，a∥β，再由线面平行的性质定理，可得a∥c，故C对；

对于D．若a⊥b，a⊥c，如果b∥c，则α、β不垂直，只有b、c相交，才有α⊥β，故D错．

故选C．

点评：    本题考查空间直线的位置关系，考查线面平行的判定和性质的运用，考查面面垂直的判定定理，考查空间想象能力，属于中档题和易错题．

7．（5分）已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上任意的不同三点，若=3+x，则正实数x的取值范围为（）

    A．    （0，2）    B．    （1，4）    C．    （2，4）    D．    （3，4）

考点：    平面向量的基本定理及其意义． 

专题：    平面向量及应用．

分析：    三点A，B，C在圆O：x2+y2=1上，所以|OA|=|OB|=|OC|=1，所以可以想到对两边进行平方，从而去掉向量符号，得到1=9，并求出．可以判断，所以，解该不等式即得x的取值范围．

解答：    解：根据已知条件知：；

∴对两边平方可得：1=；

∵x＞0，∴；

∵A，B，C是不同三点；

∴，∴；

∴，解得2＜x＜4；

∴正实数x的取值范围为（2，4）．

故选C．

点评：    考查向量的长度的概念，向量数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及解分式不等式，一元二次不等式组．

8．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若=2，则双曲线的离心率是（）

    A．        B．        C．    5    D．    

考点：    双曲线的简单性质． 

专题：    圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：    设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把B，C表示出来，再=2，求出a，b，c，然后求双曲线的离心率．

解答：    解：因为F（c，0），

所以过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线为：y=x﹣c，

渐近线的方程是：y=x，

由得：B（，），

由得，C（，﹣），

所以=（c﹣，﹣），=（﹣，﹣﹣），

又，解得：b=3a，

所以由a2+b2=c2得，10a2=c2，

所以e=．

故选：D．

点评：    本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意两点间距离公式的合理运用．

9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA=AC=a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD所成的角为（）

    A．        B．        C．        D．    

考点：    直线与平面所成的角． 

专题：    空间位置关系与距离；空间角．

分析：    首先证明通过线面垂直进一步证明所以BD⊥平面PAC，然后当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可，过O点作OM⊥PC，不影响线面的夹角．由于PA=AC=a，进一步求出结果，

解答：    解：连结AC，BD交于O，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，

所以：PA⊥BD

AC⊥BD．

所以BD⊥平面PAC

进一步求出：BM=DM

过O点作OM⊥PC于M，

当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可．

若PA=AC=a

所以：∠ACP=

即为所求．

故选：B

点评：    本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，线面夹角的应用，菱形的性质定理．属于基础题．

10．（5分）已知非空集合A，B，C，若A={y|y=x2，x∈B}，B={y|y=，x∈C}，C={y|y=x3，x∈A}，则A，B，C的关系为（）

    A．    A=B=C    B．    A=B⊊C    C．    A⊊B=C    D．    A⊊B⊊C

考点：    集合的包含关系判断及应用． 

专题：    集合．

分析：    由集合A，B，C的表示形式及元素与集合的关系知：任意的x∈A，都有x∈C，而任意的x∈C，都有x∈A，所以A=C，同样的办法可得到A=B，所以A，B，C的关系为：A=B=C．

解答：    解：根据集合A，B知：

对应∀x∈A，能得到x∈B，x∈C，即A中任意一个元素都是集合C的元素；

根据集合C知：

对应∀x∈C，都有x∈A，即C中任意一个元素都是集合A的元素；

∴集合A，C的元素相同，即A=C；

同理可得A=B；

∴A=B=C．

故选A．

点评：    考查描述法表示集合，以及元素与集合的关系，也可通过子集的概念：根据已知条件知，A⊆B⊆C⊆A，所以A=B．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11．（4分）已知角α终边经过点P（12，﹣5），则sinα=﹣．

考点：    任意角的三角函数的定义． 

专题：    三角函数的求值．

分析：    由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．

解答：    解：∵角α终边经过点P（12，﹣5），

∴x=12，y=﹣5，r=|OP|==13，

则sinα==﹣，

故答案为：﹣．

点评：    本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

12．（4分）设f（x）=，则f[f（）]=10．

考点：    函数的值． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    将其代入解析式lgx求出值为﹣1，﹣1＜0代入解析式10﹣x求出值．

解答：    解：，

f[f（）]=f（﹣1）=10

故答案为：10

点评：    本题考查分段函数求函数值，关键是判定出自变量所属的范围，属于基础题．

13．（4分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn=3an﹣2n（n∈N*），则数列{an}的通项公式为．

考点：    数列递推式． 

专题：    等差数列与等比数列．

分析：    令n=1，得a1=2，当n≥2时，2an=3an﹣3an﹣1﹣2，由此推导出数列{an+1}是首项为3公比为3的等比数列，从而得到．

解答：    解：令n=1，得2a1=3a1﹣2，解得a1=2，

当n≥2时，

由2Sn=3an﹣2n（n∈N*），

得2Sn﹣1=3an﹣1﹣2（n﹣1），

两式相减得2an=3an﹣3an﹣1﹣2

整理得=3，

∴数列{an+1}是首项为3公比为3的等比数列，

∴，

∴an=3n﹣1．

故答案为：．

点评：    本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．

14．（4分）已知实数x，y满足约束条件，若y﹣mx≤2恒成立，则实数m的取值范围为﹣1≤m≤2．

考点：    简单线性规划． 

专题：    计算题；作图题；不等式的解法及应用．

分析：    由题意作出其平面区域，y﹣mx=2恒过点（0，2），且m是y﹣mx=2斜率，由图可知斜率m的取值范围．

解答：    解：由题意作出其平面区域，

y﹣mx=2恒过点（0，2），且m是y﹣mx=2斜率，则

由上图可知，若使y﹣mx≤2恒成立，

则﹣1≤m≤2，

故答案为：﹣1≤m≤2．

点评：    本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．

15．（4分）若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是（0，4]∪[16，+∞）．

考点：    函数单调性的性质． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    化为分段函数，根据函数的单调性，求的a的范围，利用了数形结合的思想．

解答：    解：∵f（x）=x|2x﹣a|（a＞0），

∴f（x）=，

当x≥时，f（x）=2x2﹣ax，函数f（x）在[，+∞）为增函数，

当x＜时，f（x）=﹣2x2+ax，函数f（x）在（﹣∞，）为增函数，在（，）为减函数

又函数f（x）=x|2x﹣a|在[2，4]上单调递增，

∴≤2或，又a＞0，

∴0＜a≤4或a≥16．

故答案为：（0，4]∪[16，+∞）．

点评：    本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题．

16．（4分）已知抛物线y2=2px过点M（，），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点（﹣，0）．

考点：    抛物线的简单性质． 

专题：    计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：    先求出抛物线方程，再利用直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，可得y1y2=，求出直线方程令y=0，可得直线AB恒过定点（﹣，0）．

解答：    解：∵抛物线y2=2px过点M（，），

∴p=1，

∴抛物线方程为y2=2x，

设A（，y1），B（，y2），则

∵直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，

∴8=，

∴y1y2=，

直线AB的方程为y﹣y1=（x﹣），

令y=0，可得x=﹣y1y2=﹣，

∴直线AB恒过定点（﹣，0）．

故答案为：（﹣，0）．

点评：    本题考查抛物线方程，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

17．（4分）已知实数x，y满足3x+3y=9x+9y，则的取值范围是（1，]．

考点：    有理数指数幂的化简求值． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    设3x+3y=t，由题设条件结合基本不等式得t的范围，将所求化简为﹣t2+t，利用二次函数区间的最值求范围．

解答：    解：设3x+3y=t≥2，∴3x+y≤，

又3x+3y=9x+9y=（3x+3y）2﹣2×3x+y，∴3x+y=＞0，∴t＞1；

∴即t2﹣2t≤0，解得0≤t≤2；

∴1＜t≤2；

由已知，==3x+3y﹣3x+y=t﹣=﹣t2+t=（t）2+，

∴t=时，的最大值为；t=1时的最小值为1；

所以的取值范围是（1，]．

故答案为：（1，]．

点评：    本题考查了繁分式的化简；关键是由已知得到t的范围，借助于二次函数求最值，属于难题．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（+B）•sin（﹣B）．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．

考点：    两角和与差的正弦函数；正弦定理． 

专题：    三角函数的求值；解三角形．

分析：    （Ⅰ）利用两角和与差的正弦公式化简式子，利用平方关系、条件求出角B的值；

（Ⅱ）利用余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，把数据代入利用不等式求出ac的范围，代入三角形的面积公式求出面积的最大值．

解答：    解：（Ⅰ）由条件得sinB=2（）（），

即sinB=cos2B﹣sin2B，

由sin2B+cos2B=1得，2sin2B+sinB﹣1=0，

解得sinB=或sinB=﹣1…（5分）

因为△ABC是锐角三角形，所以B=…（7分）

（Ⅱ）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，

把b=1，B=代入可以得到：

≥，所以=2 …（10分）

所以≤           …（13分）

当且仅当a=c时取等号，此时△ABC的面积的最大值是…（14分）

点评：    本题考查两角和与差的正弦公式，余弦定理，平方关系等，以及利用不等式求三角形面积的最大值，这是常考的题型．

19．（14分）已知等差数列{an}的公差为﹣1，首项为正数，将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；

（Ⅱ）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且Sm，Sn，Sp成等比数列．

考点：    等比关系的确定；数列的求和． 

专题：    等差数列与等比数列．

分析：    （Ⅰ）由题意设前4项为a、a﹣1、a﹣2、a﹣3，根据等比中项的性质分别列出四个方程，由等比数列的项不为零，求出a的值，代入通项公式和前n项和公式求出an与Sn；

（Ⅱ）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，根据等比中项的性质得Sn2=Sm•Sp，把Sn代入并化简，再由基本不等式得出矛盾，从而说明假设不成立．

解答：    解：（Ⅰ）由题意设前4项为a、a﹣1、a﹣2、a﹣3，且a＞0，

因为4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，

则（a﹣1）2=a（a﹣2）或（a﹣2）2=（a﹣1）（a﹣3）

或（a﹣1）2=a（a﹣3）或（a﹣2）2=a（a﹣3），

又a＞0，且a≠1、2、3，解得a=4，

所以an=5﹣n，

Sn==．

（Ⅱ）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，

由Sm，Sn，Sp成等比数列得，Sn2=Sm•Sp，

所以，

即=，

又m，n，p成等差数列，则2n=m+p，

所以=（9﹣n）2，且mp≤=n2，

则，当且仅当m=p时取等号．

故不存在三个不等正整数m、n、p，

使m、n、p成等差数列且Sm，Sn，Sp成等比数列．

点评：    本题考查等比中项的性质，等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及利用基本不等式证明数列的不等式问题，难度较大，比较综合．

20．（14分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；

（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．

考点：    用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定． 

专题：    空间位置关系与距离；空间角．

分析：    （Ⅰ）取AC中点G，连接DG，FG，由已知得四边形DEFG是平行四边形，由此能证明EF∥平面ACD．

（Ⅱ）过点B作BM垂直DE的延长线于点M，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角，由此能求出二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．

解答：    解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接DG，FG．

因为F是AB的中点，所以FG是△ABC的中位线，

则FG∥BC，FG=，

所以FG∥DE，FG=DE，

则四边形DEFG是平行四边形，

所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．

（Ⅱ）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，

因为AE⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，则BM⊥平面ADE，

过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则AD⊥平面BMH，

所以AD⊥BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角．

设DE=a，则BC=AB=2a，

在△BEM中，EM=，BE=，所以BM=．

又因为△ADE∽△MDH，

所以HM=，则tan∠BHM=．

点评：    本题考查直线与平面平行的证明，考查角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

21．（15分）若椭圆C1：=1（a＞b＞0），过点Q（1，）作圆C2：x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线l与圆C2相切于点P，且交椭圆C1于点M，N，求证：∠MON是钝角．

考点：    直线与圆锥曲线的综合问题． 

专题：    圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：    （Ⅰ）由题意可知：c=1，kOQ=，则kAB=﹣2，由此能求出椭圆的标准方程．

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由题意得∠MON是钝角；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆，联立得到：（5k2+4）x2+10kmx+5m2﹣20=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明∠MON是钝角．

解答：    （Ⅰ）解：由题意可知：c=1，kOQ=，则kAB=﹣2，…（3分）

所以直线AB的方程是y=﹣2（x﹣1），即y=﹣2x+2，即b=2．…（5分）

所以a2=b2+c2=5，

故椭圆的标准方程为：．…（7分）

（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，由题意得∠MON是钝角，…（9分）

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

与椭圆，联立得到：（5k2+4）x2+10kmx+5m2﹣20=0，

则=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2，

由韦达定理，得，，

代入上式可以得到：

=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2

=，…（12分）

因为直线l与圆C2相切，则=1，

所以m2=1+k2，…（14分）

代入上式：=，

所以∠MON是钝角．…（15分）

点评：    本题考查椭圆的标准方程的求法，考查角为钝角的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

22．（15分）设函数f（x）=x2+px+q，p，q∈R．

（Ⅰ）若p+q=3，当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求p的取值范围；

（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．

考点：    二次函数的性质． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    （Ⅰ）由p+q=3便可得到f（x）=x2+px+3﹣p，讨论判别式△的取值，从而判断f（x）≥0解的情况：△=p2﹣4（3﹣p）≤0，即﹣6≤p≤2时，f（x）≥0满足在[﹣2，2]上恒成立；△=p2﹣4（3﹣p）＞0，即p＜﹣6，或p＞2时，对于方程x2+px+3﹣p=0的两根，大根，或小根，所以通过解不等式求出△＞0时p的取值范围，再合并﹣6≤p≤2即可得到p的取值范围；

（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则必须，（1），然后通过解该不等式组能够得出p的取值范围，并求出的范围，可判断f（x）的对称轴在区间[1，5]上，所以f（x）在[1，5]上的最小值f（﹣）≥﹣2，该不等式结合不等式组（1）通过求p的取值范围，能够求出p=﹣6，将p带入前面不等式，同样通过求q的范围能够得到q=7，所以便得到满足条件的实数对只一对为（﹣6，7）．

解答：    解：（Ⅰ）∵p+q=3，∴q=3﹣p；

∴f（x）=x2+px+3﹣p；

x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立：

（1）若△=p2﹣4（3﹣p）≤0，即﹣6≤p≤2时，f（x）满足该条件；

（2）若△=p2﹣4（3﹣p）＞0，即p＜﹣6，或p＞2时，则p需满足：

，或；

解得﹣7≤p≤﹣4，∴﹣7≤p＜﹣6；

综合（1）（2）得﹣7≤p≤2；

∴p的取值范围是[﹣7，2]；

（Ⅱ）要使|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则需满足：

，即（3）；

∴；

①+②得﹣7≤p≤﹣5；

f（x）的对称轴为x=，；

∴f（x）的对称轴在区间[1，5]内；

∴要使|f（x）|＞2，在区间[1，5]上无解，还需满足：

，即，即q；

结合（3）可得到p，q需满足：

，解该不等式组得：

p=﹣6，带入该不等式组可得q=7；

所以满足题意的实数对（p，q）只有一对：（﹣6，7）．

点评：    考查一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，一元二次方程的求根公式，以及二次函数的对称轴，及顶点处的函数值，可结合二次函数f（x），|f（x）|图象求解本题．