福州市2021届高三3月质量检查数学试题+答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则

A.          B.        C.            D.  

2.设复数，则满足的复数z有

A. 7个            B. 5个           C. 4个             D. 3个

3.“”是“”的

A.充分而不必要条件                       B.必要而不充分条件

C.充分必要条件                           D.既不充分也不必要条件

4.若抛物线上一点到其焦点的距离等于 ，则

A.            B.         C.        D. 

5.已知函数，则函数的图象大致为

A               B               C            D

6.在中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F.若，则的值为

A. 2                  B. 3               C. 4               D. 5

7.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线P0，P1，…，Pn，….已知P0是边长为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作而得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉..记Pn的周长为Ln、所围成的面积为Sn.对于，下列结论正确的是

P0            P1            P2      …       Pn     …

A. 为等差数列                      B. 为等比数列

C. ，使                   D. ，使

8. 已知函数的图象过点，在区间上为单调函数，把的图象向右平移π个单位长度后与原来的图象重合.设且，若，则的值为

A.              B.              C. 1               D. 

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. “一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如右所示的列联表，通过计算得到K2的观测值为

A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”

B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”

C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关

D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关

10.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB平面MNP的是

A                B                     C                     D

11.已知P是双曲线在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，的面积为.则以下结论正确的是

A.点P的横坐标为

B. 

C. 的内切圆半径为1

D. 平分线所在的直线方程为

12. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数等.双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达·芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画.则下列结论正确的是

A. 

B. 为偶函数，且存在最小值

C. ， 

D. ，且，

第II卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.

13.设x，y满足约束条件则的取值范围为         .

14. 的展开式中，的系数为              .

15.在三棱锥中，侧面PAC与底面ABC垂直，，，，.则三棱锥的外接球的表面积为           .

16.已知圆C的方程为，过点的直线与圆C交于P，Q两点（点Q在第四象限）.若，则点P的纵坐标为            .

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在①；②，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.

问题：已知单调数列的前n项和为，且满足            .

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

18.（本小题满分12分）

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）求角C的大小；

（2）设CD是的角平分线，求证：.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱台中，，，.

（1）求证：平面；

（2）若，，求二面角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为B1，B2，四边形的周长为.

（1）求E的方程；

（2）设P为E上异于A1，A2，的动点，直线A1P与y轴交于点C，过A1作，交y轴于点D.试探究在x轴上是否存在一定点Q，使得，若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.

21. （本小题满分12分）

从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单.协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户帐户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单，年利率为3.84%，起点金额1000万元.（注：月利率为年利率的十二分之一）

已知某公司现有2020年底结余资金1050万元.

（1）若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；

（2）公司决定将550万元作协定存款，于2021年1月1日存入该银行账户，规定从2月份起，每月首日支取50万元作为公司的日常开销.将余下500万元中的x万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余万元作结构性存款.

①求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；

②假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x万元用于投资高新项目，据专业机构评估，该笔投资到2021年底将有60%的概率获得万元的收益，有20%的概率亏损0.27x万元，有20%的概率保本.问：x为何值时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值.

22.（本小题满分12分）

已知.

（1）判断的零点个数，并说明理由；

（2）若，求实数a的取值范围.

2021年3月福州市高中毕业班质量检测

数学参及评分细则

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. C 2.B 3.B 4.A

5. D 6.C 7.D 8.C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9. AC 10.ABD 11.BCD 12.BCD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.               14. 5            15. 25π              16. 

四、解答题：本大题共6小题，共70分.

17.（本小题满分10分）

【命题意图】本小题主要考查等比数列、与的关系、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数算等核心素养，体现基础性、综合性.满分10分.

【解答】（1）选①，即（i）则

当时，，； 

当时，（ii）

（i）（ii）两式相减得，

所以为等比数列，其中公比为2，首项为.

所以.

选②，即，

所以当时，

即，

所以为等比数列，其中首项为，公比为4，

所以.

由，，得，

同理可得，.

综上，

选③，即，，.

所以为等比数列，设其公比为q，

则解得或

又因为为单调数列，所以，故

所以.

（2）由（1）知，，

所以

，

两式相减得

所以.

18.（本小题满分12分）

【命题意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.

【解答】解法一：（1）因为，

由正弦定理得，

因为，

所以，

所以，

因为，所以，所以

又，所以

（2）因为CD是的角平分线，且，

所以.

在中，，则由面积公式得

，

即.

两边同时除以得.

解法二：（1）因为，

由余弦定理得，

整理得，即，

所以，

所以，

又，所以.

（2）因为CD是的角平分线，且，

所以.

在中，由正弦定理得

，

即.

同理在和中，得

，，

所以，即，

故，即，

故.

19.（本小题满分12分）

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.

【解答】（1）依题意，四边形为等腰梯形，过，分别引AC的垂线，垂足分别为D，E，则

，故.

在中，，

所以，故，即.

因为，，且AB，平面，

所以，

因为，

所以.

（2）因为，，，且AC，，所以，结合（1）可知AB，AC，A1D三条直线两两垂直. 以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，则各点坐标为

，，，，.

由（1）知，为平面的法向量.

，，

设为平面的法向量，则

故取，

所以

设二面角的大小为，则.

20.（本小题满分12分）

【命题意图】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分12分.

【解答】解法一：（1）依题意，

由椭圆的对称性可知，四边形为菱形，其周长为.

所以

所以E的方程为.

（2）设，则，

直线的方程为，故，

由知的方程为，故，

假设存在，使得，则

.

解得. 

所以当Q的坐标为时， 

解法二（1）同解法一. 

（2）当点P与点B1重合时，C点即，而点D即，假设存在，使得，则，即，解得.

以下证明当Q为时，

设，则，

直线A1P的方程为，故.

由知A1D的方程为，故，

所以

.

说明：Q只求出或，不扣分.

21.（本小题满分12分）

【命题意图】本小题主要考查古典概型、概率分布列、等差数列、导数等基础知识；考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、必然与或然思想；考查数学建模、逻辑推理、数算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性.满分12分.

【解答】（1）设恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的事件为A，由题意知，5个股东共有45种选择，而恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的可能情况为种，

所以.

（2）①2021年全年该公司从协定存款中所得的利息为：

（万元）.

②由条件，高新项目投资可得收益频率分布表

所以，存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为：

.

令，得，或.

由，得；由，得.

由条件可知，当时，取得最大值为：（万元）.

所以当时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望取得最大值662.69万元.

22.（本小题满分12分）

【解答】解法一：（1）依题意，，则

当时，；当时，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 

因为，

所以有且只有1个零点.

（2）令，则

.

若，则，为增函数，

，不合题意； 

②若，令，易知单调递增，且值域为，则存在，使得，即.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

，

令，，

当时，；当时，；

所以，

由得，所以.

综上，a的取值范围是.

解法二：（1）同解法一.

（2）令，当时，，

则，故.

令，则，

若，则，为增函数，又，故当时，，不合题意. 

②若，则当时，；当时，；

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

因为，所以

若，则当时，不合题意；

若，则当时，不合题意；

若，则，符合题意. 

综上，a的取值范围是.