算法分析与设计复习大纲(全)

第1章 绪论

考点：

1、  算法的5个重要特性。

答：输入、输出、有穷性、确定性、可行性

2、  掌握扩展递归技术和通用分治递推式的使用。

扩展递归技术：

通用分支递归式：

5、使用扩展递归技术求解下列递推关系式

（1）

（2）

第3章 蛮力法

1、  掌握蛮力法的设计思想：

蛮力法依赖的基本技术——扫描技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素依次处理一次，从而找出问题的解;

关键——依次处理所有元素。

2、  蛮力法的代表算法及其时间复杂度：

顺序查找，O(n)

串匹配（BF O(n*m) ，KMPO(n+m)  

选择排序，O(n2)

冒泡排序，O(n2)

生成排列对象（排列问题），O(n!)

生成子集（组合问题），O(2n)

0/1背包 属于组合问题。

任务分配，哈密顿回路，TSP问题 属于排列问题。

3、  掌握BF和KMP算法的原理，能够画出比较过程。要求给出一串字符串，能够求出对应的next数组，并能使用KMP算法进行比较匹配。

4、  掌握选择排序和冒泡排序算法描述和时间复杂性，要求能够写出伪代码。

选择排序

算法描述：选择排序开始的时候，扫描整个序列，找到整个序列的最小记录和序列中的第一记录交换，从而将最小记录放到它在有序区的最终位置上，然后再从第二个记录开始扫描序列，找到n-1个序列中的最小记录，再和第二个记录交换位置。一般地，第i趟排序从第i个记录开始扫描序列，在n-i+1个记录中找到关键码最小的记录，并和第i个记录交换作为有序序列的第i个记录。

时间复杂性：O(n2)

伪代码：

冒泡排序

算法描述：冒泡排序开始的时候扫描整个序列，在扫描过程中两两比较相邻记录，如果反序则交换，最终，最大记录就能被“沉到”了序列的最后一个位置，第二趟扫描将第二大记录“沉到”了倒数第二个位置，重复上述操作，直到n-1趟扫描后，整个序列就排好序了。

冒泡排序，O(n2)

5、  算法设计题： 

假设在文本“ababcabccabccacbab”中查找模式 “abccac”,求分别采用BF算法和KMP算法进行串匹配过程中的字符比较次数。

由此可知，用BF算法一共要进行3+1+4+1+1+6+1+1+1+6=25次比较方能匹配出

KMP算法：next[]={,0,1,1,1,1,2};

由此可知，用KMP算法一共要进行3+4+6+5=18次比较方能匹配出

第4章  分治法

了解分治法的设计思想

设计思想：将要求解的原问题划分成k个较小规模的子问题，对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再将每个子问题划分为k个规模更小的子问题，如此分解下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止，再将子问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原问题的解。

步骤：（1）划分（2）求解子问题（3）合并

分治法的代表算法及时间复杂度：

归并排序，快速排序，最大子段和，最近对问题，这五种问题的分治算法的时间复杂度为O(nlog2n)

棋盘覆盖为O(4k)

掌握归并排序和快速排序算法的算法伪代码。

归并排序：

算法中数组r中存储原始数据，r1在中间过程中存储排序后的数据，s指需排序数组的起始下标，t指需排序数组的结束下标。最终排序后的数据依然存储在r数组中。

快速排序：

对于待排序列（5, 3, 1, 9, 8, 2, 4, 7）,画出快速排序的递归运行轨迹。

按升序排列

初始序列：5,3,1,9,8,2,4,7

第一次划分：4,3,1,2,5,8,9,7

第二次划分：2,3,1,4,5,8,9,7

第三次划分：1,2,3,4,5,8,9,7

第四次划分：1,2,3,4,5,7,8,9

排序完成，红色字体为每次划分的轴值 

第5章 减治法

了解减治法的设计思想

设计思想：原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中，所以，只需求解其中一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解。

掌握使用减治法的代表问题及时间复杂度：

折半查找，二叉树查找，堆排序，选择问题，淘汰赛冠军问题，假币问题；

以上问题的时间复杂度，如果减治是每次减小为原来规模的1/2，则时间复杂度一般为O(log2n)

掌握折半查找的算法伪代码描述及具体例子的查找过程，会根据折半查找的过程创建判定树。

会根据已知数据序列创建一个二叉查找树。（P100）

掌握堆排序算法中的两种调整堆和新建堆的方法：筛选法

堆调整问题：将一个无序序列调整为堆

（1）筛选法调整堆

        关键问题：完全二叉树中，根结点的左右子树均是堆，如何调整根结点，使整个完全二叉树成为一个堆？    

第6章 动态规划法

了解动态规划法的设计思想

设计思想：将待求解问题分解成若干个相互重叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一个阶段，将子问题的解求解一次并填入表中，当需要再次求解此子问题时，可以通过查表获得该子问题的解而不用再次求解。

步骤：

将原始问题分解为相互重叠的子问题，确定动态规划函数；

求解子问题，填表；

根据表，自底向上计算出原问题的解。

掌握可以用动态规划法解决的问题及时间复杂度：

TSP，多段图的最短路径问题，0/1背包，最长公共子序列问题，最优二叉查找树，近似串匹配问题；

多段图的最短路径问题： O(n+m)

0/1背包问题： O(n×C)

掌握多段图的最短路径问题的动态规划算法

动态规划函数为：

cost[i]中存储顶点i到终点的最短路径长度

cost[i]=min{C[i][j]+cost[j]} (i≤j≤n且顶点j是顶点i的邻接点)

path[i]=使C[i][j]+cost[j]最小的j

先构造cost数组和path数组

掌握0/1背包问题的动态规划算法及具体实现

例题：用动态规划法求如下0/1背包问题的最优解：有5个物品，其重量分别为（3，2，1，4，5），物品的价值分别为（25，20，15，40， 50），背包容量为6。写出求解过程。

0/1背包问题的动态规划函数为：

V(i,j)表示把前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值和。

填表过程：

放入背包中的物品的求解过程：则65表示把5个物品放入容量为6的背包中的最大价值和。

i=5,j=6;  v[5][6]>v[4][6],x[5]=1, j=6-w[5]=1

i=4,j=1; v[4][1]=v[3][1], x[4]=0

i=3,j=1; v[3][1]>v[2][1], x[3]=1, j=1-w[3]=0

i=2,j=0; v[2][1]=v[1][0], x[2]=0

i=1,j=0; v[1][0]=v[0][0], x[1]=0

结果是把第3个和第5个放入了背包

第7章 贪心法

了解贪心法的设计思想

贪心法在解决问题的策略上目光短浅，只根据当前已有的信息就做出局部最优选择，而且一旦做出了选择，不管将来有什么结果，这个选择都不会改变。

贪心法的关键在于决定贪心策略。

掌握可以用贪心法解决的问题：

TSP问题中的两种解决方法：最近领点策略，最短链接策略

最小生成树问题的两种算法：最近顶点策略（Prim算法），最短边策略（Kruskal算法）

背包问题，活动安排问题，多机调度问题。

掌握最小生成树的两种贪心算法：prim算法和kruskal算法（P145-148），给出具体的例子，能够用两种方法画出树的生成过程。

掌握背包问题的贪心算法（P148-151），给出一个具体的例子，能够写出解决问题的过程。习题7-2

问题：求如下背包问题的最优解：有7个物品，价值P=(10,5,15,7,6,18,3),重量w=(2,3,5,7,1,4,1),背包容量W=15.

解决方法：

先对物品的单位重量价值按照降序排列

1+2+4+5+1=13，前5个物品装入背包，还剩下容量为2，第6个物品只能装入2/3

所以总价值为：6+10+18+15+3+5*2/3=55.3333

第8章 回溯法

了解回溯法的设计思想

设计思想：从解空间树根结点出发，按照深度优先策略遍历解空间树，在搜索至树中任一结点时，先判断该结点对应的部分解是否满足约束条件，或者是否超出目标函数的界，也就是判断该结点是否包含问题的（最优）解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，即所谓剪枝（Pruning）；否则，进入以该结点为根的子树，继续按照深度优先策略搜索。直到搜索到叶子结点，则得到问题的一个可能解。

步骤：

确定解向量和分量的取值范围，构造解空间树；

确定剪枝函数；

对解空间树按深度优先搜索，搜索过程中剪枝；

从所有的可能解中确定最优解。

了解可以用回溯法解决的问题：

属于组合问题和排列问题中求最优解的问题都可以用回溯法解决，例如：图着色问题，哈密顿回路问题，八皇后问题（4皇后问题），批处理作业调度问题。

掌握m颜色图着色判定问题的回溯法算法，并能画出解空间树的搜索过程（P168-170），习题8-4

对图8.14使用回溯法求解图问题，画出生成的搜索空间。

解：图着色问题求解的是满足图着色要求的最小颜色数。对图8.14应该从1、2、3、4……种颜色依次尝试用回溯法判定是否满足M着色的要求。

经搜索，1种和2种颜色均不能满足图着色的要求，3种颜色可以满足图着色要求，搜索过程如下，所以图8.14的着色的最少颜色数应该为3

搜索空间为：

掌握0/1背包问题的回溯算法，并能画出解空间树的搜索过程

掌握图着色问题的回溯算法，并能画出解空间树的搜索过程

第9章 分治限界法

了解分支限界法的设计思想

设计思想：

1）首先确定一个合理的限界函数，并根据限界函数确定目标函数的界[down, up] ，并确定限界函数；

2）然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算这些孩子结点的限界函数的可能取值；

3）如果某孩子结点的限界函数可能取得的值超出目标函数的界，则将其丢弃；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表PT）中；

4）依次从表PT中选取使限界函数的值是极值的结点成为当前扩展结点；

5）重复上述过程，直到找到搜索到叶子结点，如果叶子结点的限界函数的值是极值，则就是问题的最优解，否则，找到其他极值结点重复扩展搜索。

步骤：

确定解空间树

确定限界函数

按广度优先搜索解空间树，计算限界函数的值，填入PT表

从PT表中寻找极值，继续扩展结点，直到找到限界函数值为极值的叶子结点。

了解可以使用分支限界法解决的问题：

TSP问题，多段图的最短路径问题，任务分配问题，批处理作业调度问题，0/1背包问题。

掌握TSP问题的分支限界法

掌握0/1背包问题的分支限界法

掌握批处理作业问题的分支限界法