高中数学竞赛模拟试题 1

第一试

一、填空题

1.函数在区间上的最小值为_____.

2.在数列中,且.若,则_____.

3.若集合, ,则中小于的元素个数为_____.

4.若方程在上有两个不等实根,则正整数的最小值为_____.

5.若, ,且为的两实根,则的取值范围为_____.

6.有个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是.若第个椭圆的离心率,则这个椭圆的长轴之和为_____.

7.在四面体中,若点处的三条棱两两垂直,且长度均为,则在四面体表面上与点距离为的点所形成的曲线长度之和为_____.

8.由内的个点及顶点共个点所构成的所有三角形,将分

割成互不重叠的三角形个数最多为_____.

二、解答题

9.设抛物线的焦点为,点在轴上的右侧,以为直径的圆与抛物线在轴上方交于不同的两点,求证:.

10.是否存在,使得的某一排列成等差数列?并说明理由.

11.已知实数满足:, ,且,求证: .

第二试

一、设圆的内接四边形的顶点在直线上的射影分别为,且与的平分线交于点,求证:点在上的充要条件是.

二、已知周长为的的三条边的长分别为,并记,求证:.

三、是否存在互不相同的素数,使得它们的和为,且和都是完全平方数？若存在,求的值；若不存在,说明理由.

四、对个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求的最小值,使得在这个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.