空间向量在立体几何中应用

一、教学目标：

知识技能：1. 进一步理解空间向量数量积及夹角公式；

2．利用向量解决立体几何问题培养学生数形结合的思想方法；

    方法过程：通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。

情感价值：通过空间向量在立体几何中的的应用，让学生感受数学、体会数学的美感，从而激发学数学、用数学的热情。

二、教学重点、难点、关键：

重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。

难点：建立恰当的空间直角坐标系；异面直线所成角与向量夹角的区别。

关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。

三、教学过程：

（一）知识的复习与引人:

师生回忆空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。(用媒体分步显示下列内容)

1．向量的数量积公式（包括向量的夹角公式）:

若与的夹角为θ(0≤θ≤π),且={x1,y1,z1},={x2,y2,z2},则

⑴·=||||cosθ  或·= x1x2+y1y2+z1z2

⑵若与非零向量  cosθ = =

2．向量的数量积的几何性质:

⑴两个非零向量与垂直的充要条件是·=0

⑵两个非零向量与平行的充要条件是·=±||||

（二）新授：空间向量在立体几何中的应用（一）

通过下列例题使学生进一步熟悉空间向量在求立体几何异面直线所成角中的作用。

B1

A1

D1

C1

例1：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=6,

求异面直线DA1与AC1的所成角；

D

C

A

B

分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。

问题1：此题在立体几何中我们应该如何解决？ 

  （异面直线平移相交，求相交直线的交角）

问题2：利用空间向量求解，对几何体如何处理？

（求向量DA1与AC1的数量积，当然应先建立空间直角坐标系）

问题3：如何建立空间直角坐标系？并说明理由。

  （以DA为X轴，以DC为Y轴，以DD1为Z轴）

问题4：建立空间直角坐标系后，各相关点的坐标是多少？

  （请学生个别回答）

归纳利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤：

（1）根据图形建立合理的空间直角坐标系；

（2）确定关键点的坐标；

（3）求空间向量的夹角；

（4）得出异面直线的所成角。

C1

D1

E1

例中的长方体的底面正方形变成菱形，则变式成下列问题：

B1

A1

例2．直棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面是边长

为4的菱形,且∠DAB=60°，AA1=6，AC与BC

交于E，A1C1与B1D1交于E1， 

（1）求：DA1与AC1的所成角；

F

（2）若F是AE1的中点，

求：B1E与FD1的所成角；

C

E

D

A

B

师生对变式题稍作分析后，让学生自已练习，教师巡视学生的求解情况。选择直角坐标系建立方法不同的解法，利用实物投影仪展示给学生们看。

（三）课堂小结：

通过本节课的学习我们掌握了利用空间向量求两条异面直线所成角的的一般步骤：

1、根据图形建立合理的空间直角坐标系；

2、确定关键点的坐标。

3、求空间向量的夹角θ(00≤θ≤1800) ；

4、得出异面直线的所成角α(00＜α≤900) 。

注意向量交角与异面直线所成角的区别。

（四）布置作业

1、习题册   P26/14    P28/11

2、思考题：

如图，在平行六面体ABCD- A1B1C1D1中，底面是边长为4的正方形，AC与BD的交点为E，A1C1与B1D1的交点为E1，点D1的坐标是（4,3,4），

⑴求A1D与AC1的所成角；

⑵若F是AE1的中点，求异面直线DF与B1E的所成角；

D1

Z

C1

A1

B1

E1

C

 E

B

A

Y

D

X

《空间向量在立体几何中应用》教案设计：

由于空间向量知识的，因此空间向量的应用是初步的、简单的。在高中阶段，空间向量在立体几何中的应用，主要有两方面：一是，利用空间向量的夹角求立体几何中异面直线所成角；二是，利用空间向量的垂直平行，解决立体几何中直线的垂直（包括直线与平面的垂直）、平行问题。本节课的主要内容是运用空间向量求异面直线的所成角。我从以下几个方面设计教案，并在教学中实施：

1.教学目标确定。分二个层次，第一层次是认知目标，利用空间向量求异面直线所成角；第二层次是能力目标，培养学生数形结合的能力和研究问题的能力。

2.突出重点。例题和变式题是围绕着运用空间向量求异面直线角这一主线而设计，并运用不同方法处理。

3.循序渐进，突破难点。根据学生的实际情况，在练习变式题之前利用一长方体作铺垫。同时也为合理的建立直角坐标系提供实践的认识，为变式题中以多种形式建立空间直角坐标提供了可能性，同时为学生学习空间直角坐标系的建立创造学习的体验。从而使学生理解、掌握建立空间直角坐标系的原则和方法，培养学生解决问题的能力。

4.承上启下。课堂小结回顾了一节课的主要内容，而思考题则告诉学生我们的学习将进一步深入，而且思考题为学生课后进行学习、讨论和研究提供材料和主题，更是为学生积极主动参与教学创造条件。

5.体现学生是课堂的主人。通过师生互动，学生积极参与，特别是学生的自我讲解或发现、分析他人的错误，使学生达到更高层次的认识，充分体现了让学生活动——发展的教学原则。

6.采用多媒体辅助教学。首先，利用电脑将两个孤立几何体用动态的手法联系起来，这有助于学生理解两个几何体的异同。其次，为了提高40分钟的效率，使用实物投影仪这方便高效的设备。