2020-2021学年山东省济南市高一(上)期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）下列集合与集合A＝{1，3}相等的是（　　）

A．（1，3）    B．{（1，3）}    

C．{x|x2﹣4x+3＝0}    D．{（x，y）|x＝1，y＝3}

2．（5分）命题：“∃x0∈R，x02﹣1＞0”的否定为（　　）

A．∃x∈R，x2﹣1≤0    B．∀x∈R，x2﹣1≤0    

C．∃x∈R，x2﹣1＜0    D．∀x∈R，x2﹣1＜0

3．（5分）“α是锐角”是“α是第一象限角”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分又不必要条件

4．（5分）sin20°cos10°+sin70°sin10°＝（　　）

A．    B．    C．    D．

5．（5分）已知f（x）＝|lnx|，若a＝f（）（），c＝f（3），则（　　）

A．a＜b＜c    B．b＜c＜a    C．c＜a＜b    D．c＜b＜a

6．（5分）要得到函数y＝cos（3x+）的图象，需将函数y＝cos3x的图象（　　）

A．向左平移个单位长度    

B．向左平移个单位长度    

C．向右平移个单位长度    

D．向右平移个单位长度

7．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数y＝2|x|sin2x的图象大致是（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

8．（5分）质数也叫素数，17世纪法国数学家马林•梅森曾对“2P﹣1”（p是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“2P﹣1”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为M＝2127﹣1，第14个梅森素数为N＝2607﹣1，则下列各数中与最接近的数为（　　）

（参考数据：lg2≈0.3010）

A．10140    B．10142    C．10141    D．10146

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）若函数f（x）＝﹣x2+2ax（a∈Z）在区间[0，1]上单调递增，4]上单调递减，则a的取值为（　　）

A．4    B．3    C．2    D．1

10．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　）

A．＜    B．＜    C．a+＞b+    D．a+＞b+

11．（5分）下列说法中正确的是（　　）

A．函数y＝sin（x+）是偶函数    

B．存在实数α，使 sinα cosα＝1    

C．直线x＝是函数y＝sin（2x+）图象的一条对称轴    

D．若α，β都是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ

12．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝，下列说法中正确的是（　　）

A．当﹣＜x1＜x2＜时，恒有f（x1）＞f（x2）    

B．若当x∈（0，m]时，f（x）的最小值为，则m的取值范围为[]    

C．不存在实数k，使函数F（x）＝f（x）﹣kx有5个不相等的零点    

D．若关于x的方程[f（x）﹣][f（x）﹣a]＝0所有实数根之和为0，则a＝﹣

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）8+lg2+lg25的值为　 　．

14．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示（）的值为　           　．

15．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，对任意x∈R都有f（x+3）（x），当x∈[﹣，0]时，f（x），则f（100）的值为　 　．

16．（5分）设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，都有x+k∈D，且f（x+k）（x）恒成立，则称函数f（x）（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x），若f（x）为R上的“2021型增函数”　                　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}．

（1）求A∪B，A∩（∁RB）；

（2）若C＝{x|m﹣1＜x＜m+1}，B∩C≠∅，求实数m的取值范围．

18．（12分）在①2sinα＝3sin2α，②cos＝，③tanα＝2，补充在下面问题中，并解决问题．

已知α∈（0，），β∈（0，），cos（α+β），____，求cosβ．

19．（12分）设函数f（x）＝cosx•cos（x﹣）+sin2x﹣．

（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）当x∈[]时，求函数f（x）

20．（12分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台

在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每万台的销售收入为R（x）万元（x）＝．

（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）

（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．

21．（12分）已知函数f（x）＝1﹣（2b﹣6＜x＜b）是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）证明：f（x）是区间（2b﹣6，b）上的减函数；

（3）若f（m﹣2）+f（2m+1）＞0

22．（12分）已知函数f（x）＝．

（1）若f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；

（2）设函数g（x）＝f（x）﹣x，若g（lnx），e2]恒成立，求实数m的取值范围．

2020-2021学年山东省济南市高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）下列集合与集合A＝{1，3}相等的是（　　）

A．（1，3）    B．{（1，3）}    

C．{x|x2﹣4x+3＝0}    D．{（x，y）|x＝1，y＝3}

【分析】利用集合相等的定义直接求解．

【解答】解：∵{x|x2﹣4x+6＝0}＝{1，8}，

∴与集合A＝{1，3}相等的是{x|x6﹣4x+3＝6}．

故选：C．

【点评】本题考查相等集合的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．（5分）命题：“∃x0∈R，x02﹣1＞0”的否定为（　　）

A．∃x∈R，x2﹣1≤0    B．∀x∈R，x2﹣1≤0    

C．∃x∈R，x2﹣1＜0    D．∀x∈R，x2﹣1＜0

【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案．

【解答】解：命题：“∃x0∈R，”的否定为“∀x∈R，x6﹣1≤0”，

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是命题的否定，特称命题，难度不大，属于基础题．

3．（5分）“α是锐角”是“α是第一象限角”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分又不必要条件

【分析】利用锐角的定义以及第一象限角的定义，结合充分条件与必要条件定义进分析，即可得到答案．

【解答】解：因为α是锐角，故0°＜α＜90°，

若α是第一象限角，不妨取﹣330°，

所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件．

故选：A．

【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判定，涉及了象限角定义的理解，解题的关键是掌握判断充分条件与必要条件的方法．

4．（5分）sin20°cos10°+sin70°sin10°＝（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】利用两角差的余弦公式求解即可得答案．

【解答】解：sin20°cos10°sin

＝cos（70°﹣10°）

＝cos60°＝．

故选：C．

【点评】本题考查三角函数化简求值，是基础题．

5．（5分）已知f（x）＝|lnx|，若a＝f（）（），c＝f（3），则（　　）

A．a＜b＜c    B．b＜c＜a    C．c＜a＜b    D．c＜b＜a

【分析】先由函数f（x）的解析式对a，b，c的值化简，再利用函数y＝lnx的单调性即可比较出大小．

【解答】解：a＝f（）＝|ln，b＝f（|＝ln3，

∵函数y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，

∴ln3＜ln2＜ln5，

即c＜b＜a，

故选：D．

【点评】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，是基础题．

6．（5分）要得到函数y＝cos（3x+）的图象，需将函数y＝cos3x的图象（　　）

A．向左平移个单位长度    

B．向左平移个单位长度    

C．向右平移个单位长度    

D．向右平移个单位长度

【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：将函数y＝cos3x的图象，向左平移，

可得函数y＝cos（3x+）的图象，

故选：A．

【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

7．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数y＝2|x|sin2x的图象大致是（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当＜x＜π时，f（x）＜0，利用排除法进行求解即可．

【解答】解：f（﹣x）＝2|﹣x|sin（﹣2x）＝﹣8|x|sin2x＝﹣f（x），函数为奇函数，排除A，B，

当＜x＜π时，排除C，

故选：D．

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的对称性以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．

8．（5分）质数也叫素数，17世纪法国数学家马林•梅森曾对“2P﹣1”（p是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“2P﹣1”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为M＝2127﹣1，第14个梅森素数为N＝2607﹣1，则下列各数中与最接近的数为（　　）

（参考数据：lg2≈0.3010）

A．10140    B．10142    C．10141    D．10146

【分析】由题意可知＝≈2480，两边同时取常用对数，再利用对数的运算性质即可求出结果．

【解答】解：＝≈2480，

令8480＝k，两边同时取常用对数得：lg2480＝lgk，

∴lgk＝480lg2≈144.48，

∴k＝10144.48，

∴与最接近的数为10142，

故选：B．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质在实际问题中的应用，是基础题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）若函数f（x）＝﹣x2+2ax（a∈Z）在区间[0，1]上单调递增，4]上单调递减，则a的取值为（　　）

A．4    B．3    C．2    D．1

【分析】由已知可得函数是开口向下，对称轴为x＝a的二次函数，则根据二次函数求单调性的方法即可求解．

【解答】解：函数f（x）＝﹣x2+2ax是开口向下，对称轴为x＝a的二次函数，

因为函数f（x）＝﹣x4+2ax（a∈Z）在区间[0，7]上单调递增，4]上单调递减，

所以1≤a≤6，又a是整数，

所以a的可能取值为1，2，7，

故选：BCD．

【点评】本题考查了二次函数的单调性，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．

10．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　）

A．＜    B．＜    C．a+＞b+    D．a+＞b+

【分析】由不等式的性质可判断选项A，C，利用作差法即可判断选项B，取特殊值即可判断选项D．

【解答】解：若a＞b＞0，则＜，故A正确；

﹣＝，由a＞b＞0，所以，即＜，故B正确；

由A可知a+＞b+；

取a＝，b＝＝，b+＝＜b+．

故选：ABC．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质，常用作差法和特值法解题，属于基础题．

11．（5分）下列说法中正确的是（　　）

A．函数y＝sin（x+）是偶函数    

B．存在实数α，使 sinα cosα＝1    

C．直线x＝是函数y＝sin（2x+）图象的一条对称轴    

D．若α，β都是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ

【分析】直接利用正弦型函数的性质，同角三角函数的关系式，象限角的应用判断A、B、C、D的结论．

【解答】解：对于A：函数y＝sin（x+）＝cosx，故A正确；

对于B：由于sinα，故sinα和cosα互为倒数2α+cos5α＝1矛盾，故不存在实数α，使cosα＝1；

对于C：当x＝时，f（）＝﹣1；

对于D：设，，由于α，但是sinβ＞sinα；

故选：AC．

【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，同角三角函数的关系式，象限角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

12．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝，下列说法中正确的是（　　）

A．当﹣＜x1＜x2＜时，恒有f（x1）＞f（x2）    

B．若当x∈（0，m]时，f（x）的最小值为，则m的取值范围为[]    

C．不存在实数k，使函数F（x）＝f（x）﹣kx有5个不相等的零点    

D．若关于x的方程[f（x）﹣][f（x）﹣a]＝0所有实数根之和为0，则a＝﹣

【分析】直接利用函数的图象和函数的性质的应用，利用函数的图象和函数的零点和方程的根的关系判断A、B、C、D的结论．

【解答】解：根据定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，

如图所示：

对于A：当﹣＜x2＜x2＜时，根据函数的图象f（x1）＞f（x2）不一定成立，故A错误；

对于B：要使f（x）的最小值为，令，解得x＝]，故B正确；

对于C：令f（x）＝kx，故x2﹣x+1＝kx，整理得x4﹣（k+1）x+1＝8，由于△＝（k+1）2﹣4＞0，解得k＞1或k＜﹣8，还有一个原点，故C正确；

对于D：f（x）＝或f（x）＝a或，所以）时，此时所有的根之和，0）时，，

故a＝﹣也满足题意；

故选：BC．

【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的零点和方程的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）8+lg2+lg25的值为　5　．

【分析】利用对数的运算性质求解．

【解答】解：原式＝+lg2+lg3＝22+3＝5．

故答案为：5．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．

14．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示（）的值为　　．

【分析】结合图象求出A，T，根据f（）＝2，结合φ的范围，求出φ的值，求出f（x）的解析式，求出f（）的值即可．

【解答】解：由图象得：A＝2，＝﹣（﹣，

故T＝π，故ω＝，

由f（）＝2sin（3×，

故+φ＝，

故f（x）＝4sin（2x﹣），f（﹣）＝8sin＝，

故答案为：．

【点评】本题主要考查利用y＝Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由图求出φ的值，属于基础题．

15．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，对任意x∈R都有f（x+3）（x），当x∈[﹣，0]时，f（x），则f（100）的值为　2　．

【分析】根据题意，分析可得f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），则函数f（x）是周期为6的周期函数，则有f（100）＝f（4）＝﹣f（1）＝f（﹣1），结合函数的解析式可得答案．

【解答】解：根据题意，对任意x∈R都有f（x+3）＝﹣f（x），

则f（x+6）＝﹣f（x+8）＝f（x），

则函数f（x）是周期为6的周期函数，

则f（100）＝f（4+6×16）＝f（4）＝﹣f（1）＝f（﹣1），

当x∈[﹣，0]时，则f（﹣1）＝﹣5，

故f（100）＝f（4）＝﹣f（1）＝f（﹣1）＝2，

故答案为：6．

【点评】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性与周期性，属于基础题．

16．（5分）设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，都有x+k∈D，且f（x+k）（x）恒成立，则称函数f（x）（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x），若f（x）为R上的“2021型增函数”　（﹣∞，）　．

【分析】利用奇函数的性质可得f（x）的解析式，再利用新定义对x分类讨论和绝对值的意义即可得出．

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0．

设x＜0，则﹣x＞5，

∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣|x+a|+2a．

∴f（x）＝，

①当x＞0时，由f（x+2021）＞f（x），

可得|x+2021﹣a|﹣5a＞|x﹣a|﹣2a，化为|x﹣（a﹣2021）|＞|x﹣a|，

由绝对值的几何意义可得a+a﹣2021＜0，解得a＜；

②当x＜0时，由f（2021+x）＞f（x），

分为以下两类研究：当x+2021＜0时，

可得﹣|x+2021﹣a|+8a＞﹣|x﹣a|+2a，化为|x+2021﹣a|＜|x﹣a|，

由绝对值的几何意义可得﹣a﹣a﹣2021＞0，解得a＜﹣．

当x+2021＞0，|x+2021﹣a|﹣2a＞﹣|x+a|+5a，

化为|x+2021﹣a|+|x+a|≥|2021﹣2a|＞4a，

a≤4时成立；当a＞0时，因此可得a＜．

③当x＝0时，由f（2021）＞f（0）可得|2021﹣a|﹣2a＞8，

当a≤0时成立，当a＞0时．

综上可知：a的取值范围是（﹣∞，）．

故答案为：（﹣∞，）．

【点评】本题考查了奇函数的性质、新定义、分类讨论和绝对值的意义等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}．

（1）求A∪B，A∩（∁RB）；

（2）若C＝{x|m﹣1＜x＜m+1}，B∩C≠∅，求实数m的取值范围．

【分析】（1）可求出B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，然后进行并集、补集和交集的运算即可；

（2）根据B∩C≠∅可得出m﹣1＜﹣1或m+1＞4，然后解出m的范围即可．

【解答】解：（1）∵A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣7或x＞4}，

∴A∪B＝{x|x＜2或x＞5}，∁RB＝{x|﹣1≤x≤4}，A∩（∁RB）＝{x|﹣7≤x＜2}；

（2）∵B∩C≠∅，

∴m﹣1＜﹣6或m+1＞4，解得m＜8或m＞3，

∴m的取值范围为：（﹣∞，0）∪（7．

【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、并集和补集的运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．

18．（12分）在①2sinα＝3sin2α，②cos＝，③tanα＝2，补充在下面问题中，并解决问题．

已知α∈（0，），β∈（0，），cos（α+β），____，求cosβ．

【分析】选择条件①，2sinα＝3sin2α．利用二倍角公式求出cosα，再利用同角的三角函数关系求出sinα、α+β的值，由β＝（α+β）﹣α计算cosβ的值．

选择条件②：cos＝，利用二倍角公式求出cosα的值，以下解法同条件①．

选择条件③：由tanα＝2，利用同角的三角函数关系求出sinα、cosα，以下解法同条件①．

【解答】解：选择条件①，2sinα＝3sin2α．

得sinα＝3sinαcosα，

因为α∈（0，），所以sinα＞0；

所以sinα＝＝＝；

由于α∈（0，），β∈（6，），π），

所以sin（α+β）＝＝＝；

所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝．

选择条件②：cos＝，

cosα＝2cos2﹣1＝2×﹣2＝．

选择条件③：因为α∈6（0，），所以sinα＞2；

由tanα＝2，可得，cosα＝；

以下解法同条件①．

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用问题，也考查了计算能力和转化思想，是中档题．

19．（12分）设函数f（x）＝cosx•cos（x﹣）+sin2x﹣．

（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）当x∈[]时，求函数f（x）

【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝sin（2x﹣），利用正弦函数的周期公式可求f（x）的最小正周期，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间；

（2）由已知可求2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的性质即可求解．

【解答】解：（1）f（x）＝cosx•cos（x﹣）+3x﹣

＝cosx（cosx+（3﹣cos2x）﹣

＝sinxcosx﹣5x+

＝sin2x﹣

＝sin（2x﹣），

所以f（x）的最小正周期是T＝＝π，

由﹣+8kπ≤2x﹣≤，k∈Z+kπ≤x≤，k∈Z，

所以函数的单调递增区间为[﹣+kπ，，k∈Z．

（2）当x∈[]时∈[﹣，]，

此时sin（2x﹣）∈[﹣，可得f（x）∈[﹣，]，

综上，f（x）最大值为．

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．

20．（12分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台

在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每万台的销售收入为R（x）万元（x）＝．

（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）

（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．

【分析】（1）分0＜x≤20和x＞20两种情况，由利润＝销售收入﹣成本，知S＝xR （x）﹣（380x+150），再代入R（x）的解析式，进行化简整理即可；

（2）当0＜x≤20时，利用配方法求出S的最大值，当x＞20时，利用基本不等式求出S的最大值，比较两个最大值后，取较大者，即可．

【解答】解：（1）当0＜x≤20时，S＝xR （x）﹣（380x+150）

＝500x﹣2x3﹣380x﹣150＝﹣2x2+120x﹣150，

当x＞20时，S＝xR （x）﹣（380x+150）

＝370x+2140﹣﹣380x﹣150＝﹣10x﹣，

∴函数S的解析式为S＝．

（2）当5＜x≤20时，S＝﹣2x2+120x﹣150＝﹣6（x﹣30）2+1650，

∴函数S在（0，20]上单调递增，

∴当x＝20时，S取得最大值，

当x＞20时，S＝﹣10x﹣）+1990

≤﹣7+1990＝﹣500+1990＝1490，

当且仅当10x＝，即x＝25时，此时S取得最大值，

∵1490＞1450，

∴当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大．

【点评】本题考查函数的实际应用，涉及二次函数的最值以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）＝1﹣（2b﹣6＜x＜b）是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）证明：f（x）是区间（2b﹣6，b）上的减函数；

（3）若f（m﹣2）+f（2m+1）＞0

【分析】（1）由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x）可求得a值，由定义域关于原点对称可求得b值；

（2）利用函数单调性的定义即可证明；

（3）利用函数的奇偶性与单调性列不等式组，即可求得m的取值范围．

【解答】（1）解：函数f（x）＝1﹣（2b﹣8＜x＜b）是奇函数，

所以f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即1﹣，

整理得（a﹣2）（2x+1）＝0，

所以a＝7，

因为b﹣6+b＝0，解得b＝8，

所以a＝2，b＝2．

（2）证明：由（1）得f（x）＝4﹣＝，x∈（﹣2，

设任意x6，x2∈（﹣2，7）1＜x2，

则f（x6）﹣f（x2）＝（1﹣）﹣（5﹣，

因为x4＜x2，所以＜，所以﹣，

而+3＞0，，

所以＞4，

所以f（x1）﹣f（x2）＞7，即f（x1）＞f（x2），

所以f（x）是区间（4b﹣6，b）上的减函数．

（3）解：f（m﹣2）+f（5m+1）＞0，所以f（m﹣2）＞﹣f（2m+1），

因为函数f（x）是奇函数，所以f（m﹣3）＞f（﹣2m﹣1），

因为函数f（x）是区间（﹣7，2）上的减函数，

所以，解得7＜m＜，

所以实数m的取值范围是（6，）．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质解不等式，属于中档题．

22．（12分）已知函数f（x）＝．

（1）若f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；

（2）设函数g（x）＝f（x）﹣x，若g（lnx），e2]恒成立，求实数m的取值范围．

【分析】（1）讨论二次项系数是否为0，结合二次函数的性质建立关系式，解之即可；

（2）g（lnx）≤0对任意的x∈[e，e2]恒成立等价于0≤m（lnx）2﹣mlnx+2≤2（lnx）2在x∈[e，e2]恒成立，然后利用换元法进行参变量分离，从而可求出所求．

【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，即mx2﹣mx+2≥2在R上恒成立，

当m＝0时，2≥4恒成立，

当m≠0时，即得0＜m≤3，

综上，实数m的取值范围是[0．

（2）因为g（x）＝f（x）﹣x＝﹣x，

所以g（lnx）≤5对任意的x∈[e，e2]恒成立等价于0≤m（lnx）4﹣mlnx+2≤2（lnx）3在x∈[e，e2]恒成立，

即（*）在x∈[e，e2]恒成立，

设t＝lnx，因为x∈[e，e2]，所以t∈[1，

不等式组（*）化为，t∈[1，t2﹣t≥3（当且仅当t＝1时取等号），

（i）当t＝1时，不等式组成立，

（ii）当t∈（3，2]时，恒成立，

因为，所以m≥﹣3，

因为在t∈（3，所以，

综上，实数m的取值范围时[﹣1．

【点评】本题主要考查了函数恒成立求参数的问题，解决这一类问题的关键是参变量分类法，同时考查了利用函数的单调性求最值问题，是中档题．