1-1正弦定理和余弦定理(人教版必修5同步测试题)

一、选择题：（共12小题，每小题5分）

1.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( )

A ．1

B ．2个

C ．0个

D ．无法确定 2.在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( )

A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 3.在△ABC 中，已知

a cos A

＝

b cos B

＝

c cos C

，则△ABC 的形状为（）

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．等边三角形

4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．等边三角形

5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →

²BC →

的值为( )

A ．19

B ．14

C ．－18

D ．－19

6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则 cos C ＝( )

A.725 B ．－725 C ．±725 D.24

25

7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2

＝12

c 2.

则tan C 的值为（）；

A ．2 3

B ．2 C. 2 D ．1

8.已知α∈R，sin α＋2cos α＝

10

2

，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43

9．在△ABC 中，若c

b b

c a c a +-=-++1

lg

lg )lg()lg(，则A ＝( ) A ．90° B ．60° C ．120° D ．150°

10.设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是()．

A )1,1(-

B ]1,1(-

C [-1，1]

D [1，2] 11.在△ABC 中，B =120o ，AB

，A 的角平分线AD

,则AC =( ).

A ．6

B . 2

C . 3

D ．

2

6 12．如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为(

)

A ．15 6 m

B ．20 6 m

C ．25 6 m

D ．30 6 m

二、填空题：（共4小题，每小题5分）

13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角

B 的值为________．

14．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，c ＝9，试求AC 边上中线的长为________

15．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20 m ，则建筑物高度为________． 16．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则此三角形的外接圆的半径R ＝( ) 三、解答题

17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，

求B .

(1)求cos A的值；

(2)求c的值．

19.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝3 5 .

(1)若b＝4，求sin A的值；

(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．

20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m→＝(cos A，sin A)，

n→＝(2－sin A，cos A)，且|m→＋n→|＝2．

（1）求角A的大小；

（2）若b＝42，c＝2a，求△ABC的面积．

21．如图，在ABC ∆中，,已知45B ︒=，D 是BC 边上一点AD=10，AC=14，DC=6，求

AB 的长

22．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ． （1）求角A 的值；

（2）若a ＝

3，设角B 的大小为x ，△ABC 的周长为y ，求y ＝f (x )的最大值．

C

B A

高二数学测试题（正弦定理和余弦定理的应用）

1.B 解： (1)∵b sin A ＝6³2

2

＝3，∴b sin A 2.C 解：由已知及正弦定理4sin 45°＝b sin 60°， ∴b ＝4sin 60°

sin 45°

＝

4³

3

222

＝2 6.

3.D 解:令a

sin A

＝k ，由正弦定理得a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .

代入已知条件，得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C

cos C

，即tan A ＝tan B ＝tan C .

又A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形．

4.A 解;由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab 得，a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c

2

2ab ＝

－1

2ab 2ab

＝－1

4

<0，所以90°5.D 解: 由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ²BC ＝19

35

，

∴AB →²BC →＝|AB →|²|BC →|²cos(π－B )＝7³5³⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－1935＝－19.

6.A 解：因为8b ＝5c ，则由C ＝2B ，得sin C ＝sin2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理，得

cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝2³(45)2－1＝7

25

。

7.B 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝1

2

sin 2C .所以－cos2B ＝sin 2C .①又

由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－C ＝－cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32π－2C ＝

sin2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2. 8.C 解：由(sin α＋2cos α)2

＝1022'得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2

α＝104＝52

，

4sin αcos α＋1＋3cos 2

α＝52，2sin 2α＋1＋3³1＋cos 2α2＝5

2

，故2sin 2α＝

－

3cos 2α2，所以tan 2α＝－3

4

， 9.C

10.C 解:在△OMN 中，OM ＝1＋x 20≥1＝ON ，所以设∠ONM ＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得1＋x 20sin α＝1sin 45°，所以1＋x 20＝

2sin α∈[1，2]，所以 0≤x 20≤1，即－1≤x 0≤1，故符合条件的x 0的取值范围为[－1，1]． 11.A 解:由正弦定理得

sin sin AB AD

ADB

B

=

∠

=

，解得sin ADB ∠=

，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒

，2cos30AC AB =︒=.

12.D 解: 设建筑物的高度为h ，由题图知，PA ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝

23

3

h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos∠PBA ＝602＋2h 2－4h 2

2³60³2h

，①

cos∠PBC ＝602＋2h 2

－43

h

22³60³2h

. ②

∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos∠PBA ＋cos∠PBC ＝0. ③

由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度

为30 6 m.

13.答案 π3或2π3 解:由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2

2ac ＝cos B ，结合已知等式得

cos B ²tan B ＝32，∴sin B

＝32，∴B ＝π3或2π

3

.

14. 答案7 解：由已知，cos A＝c2＋b2－a2

2bc

＝

2

3

，设中线长为x，由余弦定理知，

x2＝(b

2

)2＋c2－2²

b

2

²cos A＝49，所以x＝7，所以所求中线长为7．

15. 答案 40 解:如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，在Rt△AOD中，

OA＝OD²tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．

16. 答案52

2

.解:S△ABC＝

1

2

ac sin B＝

2

4

c＝2，∴c＝4 2.

b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－82³

2

2

＝25，∴b＝5.

∴R＝b

2sin B ＝

5

2³

2

2

＝

52

2

.

17.解:由题设和正弦定理得3sin A cos C＝2sin C cos A，故3tan A cos C＝2sin C.

因为tan A＝1

3

，所以cos C＝2sin C，所以tan C＝

1

2

.所以

tan B＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝tan A＋tan C

tan A tan C－1

＝－1，所以B＝135°.

18.解：(1)因为a＝3，b＝2 6，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得

＝

2 6

sin 2A

.所以

2sin Acos A

sin A

＝

2 6

3

.故cos A＝

6

3

.

(2)由(1)知cos A＝

6

3

，所以sin A＝1－cos2 A＝

3

3

.又因为∠B＝2∠A，所以

cos B＝2cos2 A－1＝1

3

.所以sin B＝1－cos2 B＝

2 2

3

.在△ABC中，

sin C＝sin(A＋B)＝sin AcosB＋cos Asin B＝5 3

9

.所以c＝

a sin C

sin A

＝5.

19.解：(1)∵cos B＝3

5

>0，且0B＝

4

5

.由正弦定理得

a sin A ＝b

sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2³

45

4＝2

5

. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45

＝4，∴c ＝5.由余弦定理得

b 2＝a 2＋

c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×3

5

＝17，∴b ＝17.

20．解：（1）|m →＋n →|2＝|m →|2＋|n →|2＋2m →·n →＝4＋2 2(cos A －sin A )，因为|m →＋n →

|＝2，所以

cos A －sin A ＝0，所以tan A ＝1．因为0＜A ＜π，所以A ＝π

4

．

（2）由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2－8

2a ＋32＝0，

解得a ＝4

2，所以c ＝8， 所以S △ABC ＝12

bc sin A ＝16．

21解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 2

2AD ·DC ＝100＋36－1962³10³6

＝－1

2，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得

AB sin ∠ADB

＝

AD sin B

，

∴AB ＝

AD ²sin∠ADB sin B ＝10sin 60°

sin 45°

＝

10³32

2

2＝5 6.

22．解：（1）由b 2

＋c 2

－a 2

＝bc 及余弦定理，可得cos A ＝1

2

，因为0＜A ＜π，所以

A ＝60°．

（2）由a ＝

3，A ＝60°及正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝2，而B ＝x ，C ＝2π3－x ，

则有b ＝2sin x ，c ＝2sin(2π

3

－x )， 所以 y ＝2sin(2π3－x )＋2sin x ＋ 3＝2

3sin(x ＋π6)＋ 3． 由0＜x ＜2π3，得π6＜x ＋π6＜5π6， 所以当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，y min ＝3

3．