高中函数概念

学习重点：理解函数的概念；

教学难点：函数的概念

一、复习引入：

1.初中（传统）函数的定义：

设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就称y是x的函数， x是自变量。

2.初中已经学过的函数：

正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等

问题1：（）是函数吗？

问题2：与是同一函数吗？

二、新课讲解

观察对应：

1.函数的定义：

设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的函数，记作

， xA

其中叫自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合（B）叫做函数y=f(x)的值域.

函数符号表示“y是x的函数”，有时简记作函数.

2.已学函数的定义域和值域

（1）一次函数:定义域R, 值域R;

（2）反比例函:定义域, 值域;

（3）二次函数:定义域R值域：当时，；当时，

3.函数的三要素：  对应法则、定义域A、值域

   注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数

4.函数的值：关于函数值     

例：=+3x+1   则 f(2)=+3×2+1=11

注意：1 在中表示对应法则，不同的函数其含义不一样

 2 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”

 3 与是不同的，前者为变数，后者为常数

5.区间的概念和记号

设a,bR ,且a①满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

②满足不等式a③满足不等式ax这里的实数a和b叫做相应区间的端点.

在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：

这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足xa，x>a，xb，x6.求函数定义域的基本方法

如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合

7.分段函数：

    有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.

8.复合函数：

设 f(x)=2x 3，g(x)=x2+2，则称 f[g(x)] =2(x2+2) 3=2x2+1（或g[f(x)] =(2x 3)2+2=4x2 12x+11）为复合函数

三、例题讲解

例1. 求下列函数的定义域：

① ；② ；③ .

例2 已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).

例3下列函数中哪个与函数是同一个函数？

⑴；⑵；⑶

例4 .下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

①        

②     

③        

例5.已知   ，求f(-1),f(0),f(1),f{f[f(-1)]}

例6.已知f(x)=x2 1  g(x)=求f[g(x)]

例7. 求下列函数的定义域：

①           ② 

③              ④   

⑤ 

注：求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；

④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.

例8.  若函数的定义域是R，求实数a 的取值范

例9. 若函数的定义域为[ 1，1]，求函数的定义域

例10. 已知f(x)满足，求；

例11. 设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.

四、课后练习

1.求下列函数的定义域：

（1）    （2）

（3）

2.已知的定义域是？

3.设的定义域是[ 3，]，求函数的定义域

4.已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x 1, 求f(x)的解析式

5.若,求f(x)

6.已知：=x x+3   求：  f(x+1), f()

7已知函数=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].

8.若 求f(x)