抛物线讲义(备课)

知识要点：

1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

2. 标准方程

   ①坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF的中点重合。

   ②设|KF|=p（p>0），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：

3. 几何性质：以抛物线y2=2px（p>0）为例。

  （1）范围。x≥0，|y|随x增大而增大，但无渐近线。

  （2）对称性。关于x轴对称。（对称轴与准线垂直）

  （3）顶点。对称轴与抛物线的交点。

  （4）离心率。同椭圆、双曲线离心率定义。e=1（注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。

 4. 几个重要的解析结果：

    （1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。

（2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=－p2（p>0）

（3）焦半径公式： 

 （4）焦点弦长公式：|AB|=x1+x2+p（x1、x2分别为A、B的横坐标），由此可知，通径长为焦点长的最小值： 

例题：

例1  在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标.

例2  已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为，求抛物线方程：

例3  如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上?

例4  过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.

例5  直线l1和l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，｜AM｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.

例6  已知抛物线y2=2px(p＞0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，｜AB｜≤2p.

(Ⅰ)求a的取值范围.

(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt△NAB面积的最大值.

习题练习：

A级

一、选择题

1.抛物线y=-x2的准线方程是(    )

A.x=            B.x=            C.y=2            D.y=4

2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于(    )

A.0                B.1                C.2                D.3

3.直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的(    )

A.充分不必要条件                B.必要不充分条件

C.充要条件                        D.既不充分也不必要条件

4.若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是(    )

A.y2=-16x        B.y2=-32x        C.y2=16x            D.y2=32x

5.抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是(    )

A.4                B.8                C.16            D.32

二、填空题

6.抛物线y2=8x关于直线y=x对称的曲线方程是               .

7.抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最近的点的坐标是               .

8.P(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的弦的两端，则y1y2=            .

三、解答题

9.已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.

10.已知A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过定点.

AA级

一、选择题

1.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2mx上的任意一点，则点P到焦点的距离是(    )

A.｜x0-｜                     B.｜x0+｜

C.｜x0-m｜                        D.｜x0+m｜

2.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B两点在抛物线的准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于(    )

A.45°            B.60°            C.90°           D.°120

3.过抛物线y2=4x的焦点F作直线，交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则｜AB｜等于(    )

A.4                B.6                C.8                D.10

4.动点P在曲线y=2x2+1上移动，则点P和定点A(0，-1)连线的中点的轨迹方程是(    )

A.y=2x2            B.y=4x2            C.y=6x2            D.y=8x2

5.F是抛物线y2=2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则｜PF｜+｜PA｜的最小值是(    )

A.2                B.            C.3                D. 

二、填空题

6.若(4，m)是抛物线y2=2px上的一点，F是抛物线的焦点，且｜PF｜=5,则抛物线的方程是                           .

7.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，则线段AB的中点M的横坐标是                            .

8.若抛物线y2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线-=1的右准线重合，则m的值是     .

三、解答题

9.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2，抛物线y2=px(p＞0)与椭圆在第一象限的交点为Q，若∠F1QF2=60°，(1)求△F1QF2的面积；(2)求此抛物线的方程.

10.已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若A(-1，0)，B(0，8)关于直线l对称的点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.

AAA级

一、选择题

1.抛物线y=2ax2(a≠0)的焦点坐标是(    )

A.(,0)            B.(0,)            C.(,0)            D.(0,)

2.长度为4的线段AB的两个端点A、B都在抛物线x2=4y上，则线段AB的中点M的纵坐标的最小值为(    )

A.                B.1                    C.2                    D.4

3.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是(    )

A.(，)            B.(1，1)            C.(，)            D.(2，4)

4.已知抛物线y2=2px(p＞0)上有一点M(4,y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为(    )

A.1                    B.                C.2                    D.2

5.若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，则｜PQ｜的最小值等于(    )

A. -1            B. -1            C.2                    D. ( -2)

二、填空题

6.已知抛物线y2=4ax(a＞0)上一点A(m,n)到焦点F的距离为4a，则m=            ,n=                        .

7.抛物线y2=16x上的一点P到x轴的距离为12，则P与焦点F间的距离｜PF｜=               ；

8.定点A(3，2)是抛物线y2=2px(p＞0)内部的一点，F是抛物线的焦点，点Q在抛物线上移动，已知｜AQ｜+｜QF｜的最小值为4，则P=               .

三、解答题

9.设抛物线y2=2px(p＞0)的弦PQ交x轴于点R，过P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，求证：｜OR｜是｜OM｜和｜ON｜的等比中项.

10.设抛物线C：y2=2px(p＞0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴)，F为焦点，且｜AF｜+｜BF｜=8，又线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6，0).(1)求抛物线C的方程；(2)求△AQB的面积最大值.