山东省莱芜市2016年中考数学试卷及答案解析(Word版)

　一、选择题

1． 4的算术平方根为（　　）

A．﹣2    B．2    C．±2    D．

2．下列运算正确的是（　　）

A．a7÷a4=a3    B．5a2﹣3a=2a    C．3a4•a2=3a8    D．（a3b2）2=a5b4

3．如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若a+c=0，则b+d（　　）

A．大于0    B．小于0    C．等于0    D．不确定

4．投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

5．如图，△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是（　　）

A．76°    B．81°    C．92°    D．104°

6．将函数y=﹣2x的图象向下平移3个单位，所得图象对应的函数关系式为（　　）

A．y=﹣2（x+3）    B．y=﹣2（x﹣3）    C．y=﹣2x+3    D．y=﹣2x﹣3

7．甲、乙两个转盘同时转动，甲转动270圈时，乙恰好转了330圈，已知两个转盘每分钟共转200圈，设甲每分钟转x圈，则列方程为（　　）

A． =    B． =C． =    D． =

8．用面积为12π，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高是（　　）

A．2    B．4    C．2    D．2

9．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（　　）

A．正十二边形    B．正六边形    C．正四边形    D．正三角形

10．已知△ABC中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（　　）

A．3条    B．5条    C．7条    D．

11．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）

A．    B．    C．    D．

12．已知四边形ABCD为矩形，延长CB到E，使CE=CA，连接AE，F为AE的中点，连接BF，DF，DF交AB于点G，下列结论：

（1）BF⊥DF；（2）S△BDG=S△ADF；（3）EF2=FG•FD；（4）=

其中正确的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

　二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

13．0+﹣（）﹣1﹣|tan45°﹣3|=　　．

14．若一次函数y=x+3与y=﹣2x的图象交于点A，则A关于y轴的对称点A′的坐标为　　．

15．如图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为　　．   

16．如图，将Rt△ABC沿斜边AC所在直线翻折后点B落到点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，如果AE=3EB，EB=7，那么BC=　　．

17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为　　．

三、解答题（本大题共7小题，共分）

18．先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a满足a2+3a﹣1=0．

19．企业举行“爱心一日捐”活动，捐款金额分为五个档次，分别是50元，100元，150元，200元，300元．宣传小组随机抽取部分捐款职工并统计了他们的捐款金额，绘制成两个不完整的统计图，请结合图表中的信息解答下列问题：

（1）宣传小组抽取的捐款人数为　　人，请补全条形统计图；

（2）统计的捐款金额的中位数是　　元；

（3）在扇形统计图中，求100元所对应扇形的圆心角的度数；

（4）已知该企业共有500人参与本次捐款，请你估计捐款总额大约为多少元？

20．某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为16米（C，A，D在同一条直线上）．

（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；

（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

21．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，D为△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE=∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连接BD，CE，GF，GH．

（1）求证：GH=GF；

（2）试说明∠FGH与∠BAC互补．

22．为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．

（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？

（2）现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共300个，分别由甲、乙两人进行安装，要求在12天内完成（两人同时进行安装）．已知甲负责A型垃圾箱的安装，每天可以安装15个，乙负责B型垃圾箱的安装，每天可以安装20个，生产厂家表示若购买A型垃圾箱不少于150个时，该型号的产品可以打九折；若购买B型垃圾箱超过150个时，该型号的产品可以打八折，若既能在规定时间内完成任务，费用又最低，应购买A型和B型垃圾箱各多少个？最低费用是多少元？

23．已知AB、CD是⊙O的两条弦，直线AB、CD互相垂直，垂足为E，连接AC，过点B作BF⊥AC，垂足为F，直线BF交直线CD于点M．

（1）如图1，当点E在⊙O内时，连接AD，AM，BD，求证：AD=AM；

（2）如图2，当点E在⊙O外时，连接AD，AM，求证：AD=AM；

（3）如图3，当点E在⊙O外时，∠ABF的平分线与AC交于点H，若tan∠C=，求tan∠ABH的值．

24．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3），直线BC与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；

（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

2016年山东省莱芜市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题

1．4的算术平方根为（　　）

A．﹣2    B．2    C．±2    D．

【考点】算术平方根．【分析】依据算术平方根根的定义求解即可．

【解答】解：∵22=4，∴4的算术平方根是2，故选：B．

【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．

　2．下列运算正确的是（　　）

A．a7÷a4=a3    B．5a2﹣3a=2a    C．3a4•a2=3a8    D．（a3b2）2=a5b4

【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．

【分析】分别利用单项式乘以单项式以及单项式除以单项式、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a7÷a4=a3，正确；B、5a2﹣3a，无法计算，故此选项错误；

C、3a4•a2=3a6，故此选项错误；D、（a3b2）2=a6b4，故此选项错误；故选：A．

【点评】此题主要考查了幂的运算性质以及整式的加减运算，正确掌握相关性质是解题关键．

3．如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若a+c=0，则b+d（　　）

A．大于0    B．小于0    C．等于0    D．不确定

【考点】数轴．

【分析】由a+c=0可知a与c互为相反数，所以原点是AC的中点，利用b、d与原点的距离可知b+d与0的大小关系．

【解答】解：∵a+c=0，∴a，c互为相反数，∴原点O是AC的中点，

∴由图可知：点D到原点的距离大于点B到原点的距离，且点D、B分布在原点的两侧，

故b+d＜0，故选（B）．

【点评】本题考查数轴、相反数、有理数加法法则，属于中等题型．

　4．投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】概率公式．

【分析】根据题意，分析可得掷一枚骰子，共6种情况，其中是3的倍数的有3、6，2种情况，由概率公式可得答案．

【解答】解：根据题意，掷一枚骰子，共6种情况，其中是3的倍数的有3、6，2种情况，

故其概率为；故选C．

【点评】本题考查概率的求法，其计算方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

5．如图，△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是（　　）

A．76°    B．81°    C．92°    D．104°

【考点】三角形内角和定理．

【专题】计算题；三角形．

【分析】由题意利用三角形内角和定理求出∠ABC度数，再由BD为角平分线求出∠ABD度数，根据外角性质求出所求角度数即可．

【解答】解：∵△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，∴∠ABC=60°，∵BD为∠ABC平分线，

∴∠ABD=∠CBD=30°，∵∠BDC为△ABD外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=76°，故选A

【点评】此题考查了三角形内角和定理，以及外角性质，熟练掌握内角和定理是解本题的关键．

　6．将函数y=﹣2x的图象向下平移3个单位，所得图象对应的函数关系式为（　　）

A．y=﹣2（x+3）    B．y=﹣2（x﹣3）    C．y=﹣2x+3    D．y=﹣2x﹣3

【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．

【解答】解：把函数y=﹣2x的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数关系式为y=﹣2x﹣3．

故选D．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移时“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．

　7．甲、乙两个转盘同时转动，甲转动270圈时，乙恰好转了330圈，已知两个转盘每分钟共转200圈，设甲每分钟转x圈，则列方程为（　　）

A． =    B． =C． =    D． =

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】根据“甲转动270圈和乙转了330圈所用的时间相等”列出方程即可；

【解答】解：设甲每分钟转x圈，则乙每分钟转动（200﹣x）圈，

根据题意得： =，故选D．

8．用面积为12π，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高是（　　）

A．2    B．4    C．2    D．2

【考点】圆锥的计算．【分析】根据题意可以求得围成圆锥底面圆的周长和半径，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，

围成的圆锥底面圆的周长为： =4π，设围成的圆锥底面圆的半径为r，则2πr=4π，

解得，r=2，∴则圆锥的高是：，

故选B．

【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是明确扇形弧长公式，圆锥的底面圆的周长等于侧面扇形的弧长．

9．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（　　）

A．正十二边形    B．正六边形    C．正四边形    D．正三角形

【考点】正多边形和圆．

【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得∠AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数．

【解答】解：正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则半径之比为：2，

设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，

则OC=，OA=OB=2，

在直角△AOC中，cos∠AOC==，∴∠AOC=30°，∴∠AOC=60°，

则正多边形边数是： =6．故选：B．

【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．

10．已知△ABC中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（　　）

A．3条    B．5条    C．7条    D．

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】分别以A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形，可画出直线，综合两种情况可求得答案．【解答】解：

分别以A、B、C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个，如图1，

分别为△ABD、△ABE、△ABF、△ACG，∴满足条件的直线有4条；

分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形有3个，如图2，

分别为△ABH、△ACM、△BCN，∴满足条件的直线有3条，

综上可知满足条件的直线共有7条，故选C．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，正确画出图形是解题的关键．

　11．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】分三种情况进行讨论，当0≤x≤1时，当1≤x≤2时，当2≤x≤3时，分别求得△ANM的面积，列出函数解析式，根据函数图象进行判断即可．

【解答】解：由题可得，BN=x，当0≤x≤1时，M在BC边上，BM=3x，AN=3﹣x，则

S△ANM=AN•BM，∴y=•（3﹣x）•3x=﹣x2+x，故C选项错误；

当1≤x≤2时，M点在CD边上，则S△ANM=AN•BC，

∴y=（3﹣x）•3=﹣x+，故D选项错误；当2≤x≤3时，M在AD边上，AM=9﹣x，

∴S△ANM=AM•AN，∴y=•（9﹣3x）•（3﹣x）=（x﹣3）2，故B选项错误；故选（A）．

12．已知四边形ABCD为矩形，延长CB到E，使CE=CA，连接AE，F为AE的中点，连接BF，DF，DF交AB于点G，下列结论：

（1）BF⊥DF；（2）S△BDG=S△ADF；（3）EF2=FG•FD；（4）=

其中正确的个数是（　　）A．1    B．2    C．3    D．4

【解答】解：如图1，连接CF，设AC与BD的交点为点O，∵点F是AE中点，∴AF=EF，∵CE=CA，∴CF⊥AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵点F是Rt△ABE斜边上的中点，∴AF=BF，∴∠BAF=∠FBA，∴∠FAC=∠FBD，

在△BDF和△ACF中，，

∴△BDF≌△ACF，∴∠BFD=∠AFC=90°，∴BD⊥DF，所以①正确；

过点F作FH⊥AD交DA的延长线于点H，在Rt△AFH中，FH＜AF，

在Rt△BFG中，BG＞BF，∵AF=BF，∴BG＞FH，

∵S△ADF=FH×AD，S△BDG=BG×AD，∴S△BDG＞S△ADF，所以②错误；

∵∠ABF+∠BGF=∠ADG+∠AGD=90°，∴∠ABF=∠ADG，∵∠BAF=∠FBA，

∴∠BAF=∠ADG，∵∠AFG=∠DFA，∴△AFG∽△DFA，∴，∴AF2=FG•FD，

∵EF=AF，∴EF2=FG•FD，所以③正确；

∵BF=EF，∴BF2=FG•FD，∴，∵∠BFG=∠DFB，∴△BFG∽△DFB，∴∠ABF=∠BDF，

∵∠BAF=∠ABF，∠BAF=∠ADC∴∠ADC=∠BDF，∴，∵BD=AC，AD=BC，∴，

所以④正确，故选C．

　二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

13．0+﹣（）﹣1﹣|tan45°﹣3|=　﹣1　．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题；实数．

【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【解答】解：原式=1+3﹣3﹣2=﹣1．故答案为：﹣1

　14．若一次函数y=x+3与y=﹣2x的图象交于点A，则A关于y轴的对称点A′的坐标为　（1，2）　．

【考点】两条直线相交或平行问题．

【分析】直接联立函数解析式求出A点坐标，再利用关于y轴对称点的性质得出答案．

【解答】解：∵一次函数y=x+3与y=﹣2x的图象交于点A，

∴x+3=﹣2x，解得：x=﹣1，则y=2，故A点坐标为：（﹣1，2），

∴A关于y轴的对称点A′的坐标为：（1，2）．故答案为：（1，2）．

　15．如图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为　8　．

【分析】先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），再根据△AOD的面积为3，列出关系式求得k的值．

【解答】解：设点D坐标为（a，b），∵点D为OB的中点，∴点B的坐标为（2a，2b），

∴k=4ab，又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，∴A的坐标为（4a，b），

∴AD=4a﹣a=3a，∵△AOD的面积为3，∴×3a×b=3，∴ab=2，∴k=4ab=4×2=8．故答案为：8

【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为3列出关系式是解题的关键．

　16．如图，将Rt△ABC沿斜边AC所在直线翻折后点B落到点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，如果AE=3EB，EB=7，那么BC=　4　．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据相似三角形的判定和性质、以及勾股定理解答即可．

【解答】解：∵DE⊥AB，∠B=90°，

∴DE∥BC，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴DH=DC，∵DE∥BC，∴△AFH∽△ABC，

∴，设EH=3x，BC=DC=DH=4x，∴DE=7x，∵AE=3EB，EB=7，∴AE=21，

∵AD=AB=AE+BE=7+21=28，在Rt△ADE中，DE=，

∴7x=7，∴x=，∴BC=4．故答案为：4．

【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，证明DH=DC是解题关键．

17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为　2+2　．

【考点】轨迹；坐标与图形性质．

【分析】根据题意首先取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，进而求出答案．

【解答】解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在Rt△A1OB1中，∵A1B1=AB=4，点OE为斜边中线，∴OE=B1E=A1B1=2，

又∵B1C1=BC=2，∴C1E==2，

∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E=2+2．故答案为：2+2．

　三、解答题（本大题共7小题，共分）

18．先化简，再求值：（a﹣）÷，

其中a满足a2+3a﹣1=0．

【解答】解：∵a2+3a﹣1=0，

∴a2+3a=1

原式=×=（a+1）（a+2）=a2+3a+2=3．

19．（8分）企业举行“爱心一日捐”活动，捐款金额分为五个档次，分别是50元，100元，150元，200元，300元．宣传小组随机抽取部分捐款职工并统计了他们的捐款金额，绘制成两个不完整的统计图，请结合图表中的信息解答下列问题：

（1）宣传小组抽取的捐款人数为　50　人，请补全条形统计图；

（2）统计的捐款金额的中位数是　150　元；

（3）在扇形统计图中，求100元所对应扇形的圆心角的度数；

（4）已知该企业共有500人参与本次捐款，请你估计捐款总额大约为多少元？

【解答】解：（1）50，补全条形统计图，故答案为：50；（2）150，

故答案为：150；（3）×360°=72°．

（4）（50×4+100×10+150×12+200×18+300×6）×500=100（元）．

20．某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为16米（C，A，D在同一条直线上）．

（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；

（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】（1）根据正弦的定义计算即可；

（2）作FP⊥ED于P，根据正切的定义求出AC，根据正切的概念求出EP，计算即可．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB==6米；

（2）AC==4.8米，则CD=4，.8+16=20.8米，作FP⊥ED于P，

∴FP=CD=20.8，∴EP=FP×tan∠EFP=13.52，DP=BF+BC=5.2，

ED=EP+PD=18.72，EG=ED﹣GH﹣HD=16.52，

则红旗升起的平均速度为：16.52÷30=0.55，

答：红旗升起的平均速度为0.55米/秒．

21．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，D为△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE=∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连接BD，CE，GF，GH．

（1）求证：GH=GF；

（2）试说明∠FGH与∠BAC互补．

【解答】证明：（1）∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，

∵F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，∴GH∥GF，且GH=CE，GF=BD，∴GH=GF；

（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵HG∥CE，GE∥BD，∴∠HGD=∠ECD，∠GFC=∠DBC，

∴∠HGD=∠ACD+∠ECA=∠ACD+∠ABD，∠DGF=∠GFC+∠GCF=∠DBC+∠GCF，

∴∠FGH=∠DGF+∠HGD=∠DBC+∠GCF+∠ACD+∠ABD=∠ABC+∠ACB

=180°﹣∠BAC，

∴∠FGH与∠BAC互补．

22．为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．

（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？

（2）现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共300个，分别由甲、乙两人进行安装，要求在12天内完成（两人同时进行安装）．已知甲负责A型垃圾箱的安装，每天可以安装15个，乙负责B型垃圾箱的安装，每天可以安装20个，生产厂家表示若购买A型垃圾箱不少于150个时，该型号的产品可以打九折；若购买B型垃圾箱超过150个时，该型号的产品可以打八折，若既能在规定时间内完成任务，费用又最低，应购买A型和B型垃圾箱各多少个？最低费用是多少元？

【解答】解：（1）设每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别为x元和y元，

根据题意得，解得，

∴每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别为100元和120元；

（2）设购买A型垃圾箱m个，则购买B型垃圾箱（300﹣m）个，购买垃圾箱的费用为w元，

根据题意得，解得60≤m≤180，

若60≤m＜150，w=100m+120×0.8×（300﹣m）=4m+28800，

当m=60时，w最小，w的最小值=4×60+28800=29040（元）；

若150≤m≤180，w=100×0.9×m+120×（300﹣m）=﹣30m+3600，

当m=1800，w最小，w的最小值=﹣30×180+36000=30600（元）；

∵29040＜30600，

∴购买A型垃圾箱60个，则购买B型垃圾箱240个时，既能在规定时间内完成任务，费用又最低，最低费用为29040元．

　23．已知AB、CD是⊙O的两条弦，直线AB、CD互相垂直，垂足为E，连接AC，过点B作BF⊥AC，垂足为F，直线BF交直线CD于点M．

（1）如图1，当点E在⊙O内时，连接AD，AM，BD，求证：AD=AM；

（2）如图2，当点E在⊙O外时，连接AD，AM，求证：AD=AM；

（3）如图3，当点E在⊙O外时，∠ABF的平分线与AC交于点H，若tan∠C=，求tan∠ABH值．

【分析】（1）根据垂直的定义和垂直平分线的判定好小子即可求解；

（2）如图2，连结BD，先证明四边形ABDC是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质和垂直平分线的性质即可求解；

（3）如图3，过点H作HN⊥AB，垂足为N，在Rt△ABF中和在Rt△BNH中，根据三角函数的定义即可求解．

【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，BF⊥AC，∴∠BEM=∠BFA=90°，

∴∠EBM+∠BME=90°，∠ABF+∠BAF=90°，∴∠BME=∠BAC，∴∠BDM=∠BMD，∴BD=BM，

∵AB⊥CD，∴AB是MD的垂直平分线，∴AD=AM；

（2）证明：如图2，连结BD，∵AB⊥CD，BF⊥AC，∴∠BEM=∠BFA=90°，∵∠EBM=∠FBA，

∴∠BME=∠BAF，∴四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠BDM=∠BAC，∴∠BDM=∠BMD，

∴BD=BM，∵AB⊥CD，∴AB是MD的垂直平分线，∴AD=AM；

（3）解：如图3，过点H作HN⊥AB，垂足为N．

易知∠AHN=∠ABF=∠C，在Rt△ANH中，设HM=3m，

∵tan∠AHN=tan∠C==，∴AN=4m，∴AH=5m，

∵BH平分∠ABF，∴HN=HF=3m，∴AF=AH+HF=8m，

在Rt△ABF中，∵tan∠ABF=tan∠C==，∴BF=6m，∴AB=10m，∴BN=AB﹣AN=6m，

∴在Rt△BNH中，tan∠NBH===，∴tan∠ABH=．

24．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3），直线BC与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；

（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）如图1，运用待定系数法求这个二次函数的解析式；

（2）如图2，先求直线BC的解析式为y=x﹣2，设出点E的坐标，写出点G的坐标（﹣m2+3m+8，﹣ m2+m+2），求出EG的长，证明∴△EFG∽△DOB，根据相似三角形周长的比等于相似比表示△EFG周长═（﹣m2+2m+8）= [﹣（m﹣1）2+9]，根据二次函数的顶点确定其最值；

（3）分三种情况讨论：分别以三个顶点为直角时，列方程组，求出点E的坐标，根据两垂直直线的一次项系数为负倒数得出结论．

【解答】解：（1）如图1，把A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y=ax2+bx+c中，得：

，解得：，则二次函数的解析式y=﹣x2+x+2；

（2）如图2，设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y=kx+b中得：，解得：，

∴直线BC的解析式为y=x﹣2，设E（m，﹣ m2+m+2），﹣2＜m＜4，

∵EG⊥y轴，∴E和G的纵坐标相等，

∵点G在直线BC上，当y=﹣m2+m+2时，﹣ m2+m+2=x﹣2，

x=﹣m2+3m+8，则G（﹣m2+3m+8，﹣ m2+m+2），

∴EG=﹣m2+3m+8﹣m=﹣m2+2m+8，∵EG∥AB，∴∠EGF=∠OBD，

∵∠EFG=∠BOD=90°，∴△EFG∽△DOB，∴=，

∵D（0，﹣2），B（4，0），∴OB=4，OD=2，∴BD==2，

∴=﹣，

∴△EFG的周长=（﹣m2+2m+8），

= [﹣（m﹣1）2+9]，

∴当m=1时，△EFG周长最大，最大值是；

（3）存在点E，

分两种情况：

①若∠EBD=90°，则BD⊥DE，如图3，

设BD的解析式为：y=kx+b，

把B（4，0）、D（0，﹣2）代入得：，

解得：，

∴BD的解析式为：y=x﹣2，

∴设直线EB的解析式为：y=﹣2x+b，

把B（4，0）代入得：b=8，

∴直线EB的解析式为：y=﹣2x+8，

∴，

﹣x2+x+2=﹣2x+8，

解得：x1=3，x2=4（舍），

当x=3时，y=﹣2×3+8=2，

∴E（3，2），

②当BD⊥DE时，即∠EDB=90°，如图4，

同理得：DE的解析式为：y=﹣2x+b，

把D（0，﹣2）代入得：b=﹣2，

∴DE的解析式为：y=﹣2x﹣2，

∴，

解得： ，

∴E（8，﹣18）或（﹣1，0），

③当∠DEB=90°时，以BD为直径画圆，如图5，发现与抛物线无交点，

所以此种情况不存在满足条件的E点；

综上所述，点E（3，2）或（8，﹣18）或（﹣1，0），

故存在满足条件的点E，点E的坐标为（3，2）或（﹣1，0）或（8，18）．