2008年全国中考数学压轴题精选（十二）

1、(2008黑龙江、鸡西、佳木斯、齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．

（1）求点，点的坐标．

（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：解：（1）

， 

， 

点，点分别在轴，轴的正半轴上

（2）求得

（每个解析式各1分，两个取值范围共1分）

（3）；；； 

2、(2008  湖北  天门)如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．

(1)点N的坐标为(________________，________________)；(用含x的代数式表示)

(2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？

(3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值．

答案：解：(1)N()

(2)①AM=AN

, , ,

②MN=AM

(舍去)或

③MN=AN

,

(3)不能

当N()时，△OMN为正三角形

由题意可得：,解得： 

点N的速度为： 

3、(2008江苏常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.

（1）求点A的坐标;

（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;

（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. 

答案：解：（1）∵

∴A(-2,-4)

（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)

四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()

四边形ABP3O为直角梯形时，P1()

四边形ABOP4为直角梯形时，P1()

（3）

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x

①当点P在第二象限时，x<0,

△POB的面积

∵△AOB的面积，

∴

∵，

∴

即    ∴

∴x的取值范围是

②当点P在第四象限是，x>0,

过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′

则四边形POA′A的面积

∵△AA′B的面积

∴

∵，

∴    即    ∴

∴x的取值范围是

4、（2008广西南宁）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

（注意：在试题卷上作答无效）

答案：解：（1）设=,由图①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=， 

故利润关于投资量的函数关系式是=；

因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-②所示，函数=的图像过（2，2），

所以， 

故利润关于投资量的函数关系式是；

（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），

则投入种植树木（）万元，他获得的利润是万元，根据题意，得

=+==

当时，的最小值是14；

因为，所以

所以

所以

所以，即，此时

当时，的最大值是32.

5、（2008安徽芜湖）如图，已知，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．

（1）求C点坐标及直线BC的解析式;

（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;

（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．

答案：解:

（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：

△ABO∽△ACD， ∴．

由已知，可知：．

∴．∴C点坐标为．

 直线BC的解析是为： 

化简得： 

（2）设抛物线解析式为，由题意得： ，   

解得： 

∴解得抛物线解析式为或．

又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．

∴满足条件的抛物线解析式为

（准确画出函数图象）

（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，

故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上．

由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．

如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，

在Rt△BEF中，，

∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为

同理可求得直线与y轴交点坐标为

∴两直线解析式；．

根据题意列出方程组： ⑴；⑵

∴解得：；；； 

∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，，.

6、 （2008山东烟台）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.

答案：

7、（2008浙江台州）如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．

（1）求的度数；

（2）当取何值时，点落在矩形的边上？

（3）①求与之间的函数关系式；

②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？

答案：解：（1）如图，四边形是矩形，．

又，，，

，．

，．

，．

（2）如图1，由轴对称的性质可知，，

，．

由（1）知，，

，．

，，．

在中，根据题意得：，

解这个方程得：．

（3）①当点在矩形的内部或边上时，

，，

，当时， 

当在矩形的外部时（如图2），，

在中，，

，

又，，

在中，

，．

，

，

当时，．

综上所述，与之间的函数解析式是：．

②矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，

而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；

当时，根据题意，得：

，解这个方程，得，因为，

所以不合题意，舍去．

所以．

综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．

8、（2008四川自贡）抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点

B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b.若关

于的一元二次方程有两个相等的实数根.

（1）判断△ABM的形状，并说明理由.

（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形.

（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标.

答案：解：（1）令，得

由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知△ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形

（2）设

∵△ABM是等腰直角三角形

∴斜边上的中线等于斜边的一半

又顶点M(－2，－1)

∴，即AB＝2

∴A(－3，0)，B(－1，0)

将B(－1，0) 代入中得

∴抛物线的解析式为，即

图略

（3）设平行于轴的直线为

解方程组

得，  （

∴线段CD的长为

∵以CD为直径的圆与轴相切

据题意得

∴

解得 

∴圆心坐标为和

9、（2008海南）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.

（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；

（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；

（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由

答案：解：（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，

∴m=-2×(-2)-1=3.  ∴ B(-2,3)

∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，

∴ 点A的坐标为(4,0) .               

设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).  

将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴.

∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即.

（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).

 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，

 则BG⊥直线x=2，BG=4.

在Rt△BGC中，BC=.

∵ CE=5，

∴ CB=CE=5.  

②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，

则点H的坐标为H(0,-5).

又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，

∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.

∴ △DFB≌△DHE （SAS），

∴ BD=DE.

即D是BE的中点.                  

（3）存在.                               

由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，

∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.

将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得  .

∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.

∵ 动点P的坐标为(x，)，

∴ x-1=.                    

解得，.    ∴，.

∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).

10、（2008甘肃兰州）如图1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．

（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；

（2）如图2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．

答案：解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，

在中，，．

．．

点坐标为（2，4）．

在中，，   又．

．   解得：．

点坐标为

（2）如图①，．

，又知，， 

， 又．

而显然四边形为矩形．

，又

当时，有最大值．

（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）

在中，，，为的中点，

．

又，为的中点．

过点作，垂足为，则是的中位线，

，，

当时，，为等腰三角形．

此时点坐标为．

（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）

在中，．

过点作，垂足为．

，．

．

，．

，，

当时，（），此时点坐标为．

综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或．

11、（2008广东中山）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边

AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．

（1）填空：如图1，AC=         ，BD=         ；四边形ABCD是       梯形.

（2）请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

（3）如图2若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.

答案：解：（1），，等腰；

 （2）共有9对相似三角形.

①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)

②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)

③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)

所以，一共有9对相似三角形.

（3）由题意知，FP∥AE，

    ∴ ∠1＝∠PFB，

又∵ ∠1＝∠2＝30°，

  ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,

∴ FP＝BP.

过点P作PK⊥FB于点K，则.

∵ AF＝t，AB＝8，

∴ FB＝8－t，.

在Rt△BPK中，. 

∴ △FBP的面积，

∴ S与t之间的函数关系式为：

  ，或. 

t的取值范围为：.

12、（2008山东东营、菏泽）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．   

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；      

（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？       

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

答案：解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． 

∴ △AMN ∽ △ABC．

∴，即．

∴ AN＝x．   

∴ =．（0＜＜4）  

（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

由（1）知 △AMN ∽ △ABC． 

∴，即．  

∴，

∴．

过M点作MQ⊥BC 于Q，则．  

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴．

∴，． 

∴ x＝．  

∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切． 

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．   

∴． AM＝MB＝2．  

故以下分两种情况讨论： 

当0＜≤2时，．  

∴ 当＝2时， 

  当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形，  

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 

又∵ MN∥BC， 

∴ 四边形MBFN是平行四边形． 

∴ FN＝BM＝4－x．  

∴． 

又△PEF ∽ △ACB．  

∴．

∴． 

＝.

当2＜＜4时， ．    

∴ 当时，满足2＜＜4，．

综上所述，当时，值最大，最大值是2．

13、 （2008建设兵团）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面

的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．

（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？

答案：解：（1）设抛物线的表达式为 

点在抛物线的图象上．

∴

∴抛物线的表达式为 

（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t）

已知窗户高1.6m，∴

（舍去）

∴（m）

又设最多可安装n扇窗户

∴ 

．

答：最多可安装4扇窗户．

（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）

14、(2008江苏镇江)理解发现

阅读以下材料：

对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：

；； 

解决下列问题：

（1）填空：        ；

如果，则的取值范围为．

（2）①如果，求；

②根据①，你发现了结论“如果，那么         （填的大小关系）”．证明你发现的结论；

③运用②的结论，填空：

若，则       ．

（3）在同一直角坐标系中作出函数，，的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空：的最大值为         ．

答案：（1），.

（2）①．

法一：．

当时，则，则，．

当时，则，则，（舍去）．

综上所述：．

法二：，

  ．

②

证明：，

如果，则，．

则有，即．

．

又，．且．

．

其他情况同理可证，故．

③

（3）作出图象．

15、(2008江苏镇江)探索研究

如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．

（1）求证：点为线段的中点；

（2）求证：①四边形为平行四边形；

②平行四边形为菱形；

（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．

答案：

（1）法一：由题可知．

，，

．

，即为的中点．

法二：，，．

又轴，．

（2）①由（1）可知，，

，，

．

，

又，四边形为平行四边形．

②设，轴，则，则．

过作轴，垂足为，在中，

．

平行四边形为菱形．

（3）设直线为，由，得，代入得：

  直线为．

设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：

，，解得．得公共点为．

所以直线与抛物线只有一个公共点．    

16、(2008浙江金华) 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.

（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：解：（1）作BE⊥OA，

 ∴ΔAOB是等边三角形

∴BE=OB·sin60o=，

∴B(,2)

∵A(0,4),设AB的解析式为,所以,解得,的以直线AB的解析式为

（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,

∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=

如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°

∴GD=BD=,DH=GH+GD=+=,

∴GB=BD=,OH=OE+HE=OE+BG=

∴D(,)

(3)设OP=x,则由（2）可得D()

若ΔOPD的面积为： 

解得： 

所以P(,0)

17、（2008湖北荆州）如图，等腰直角三角形纸片ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90º，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（1，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止.设平移时间为t（s），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S.

    （1）求折痕EF的长；

（2）是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

    （3）直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.

答案：

∥BA 交Y轴于P，

P

18、（2008上海）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．

（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；

（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．

答案：解：（1）取中点，联结，

为的中点，，．

又，．

，得；

（2）由已知得．

以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，

，即．

解得，即线段的长为；

（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，

又易证得．

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．

①当时，，．．

，易得．得；

②当时，，．

．又，．

，即，得．

解得，（舍去）．即线段的长为2．

综上所述，所求线段的长为8或2．

19.（本题满分12分）

如图，直角梯形中，∥,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为（2，2），∠= 60°，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.

（1）求的长；

（2）若的面积为（平方单位）. 求与之间的函数关系式.并求为何值时，的面积最大，最大值是多少？

（3）设与交于点.当△为等腰三角形时，求（2）中的值.

       探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论.

答案:

解：（1）∵∥

                   ∴ 

               在中， , 

         ∴， 

∴  而

         ∴为等边三角形

            ∴…（3分）

（2）∵

∴       

∴

=    （）…………………………（6分）

即

∴当时， ………………………………………（7分）

（3）若为等腰三角形，则：

（）若，  

    ∴∥ 

∴即

解得： 

此时………………………………（8分）

（）若， 

    ∴

过点作，垂足为，则有：

即

解得： 

此时……………………………………（9分）

（）若， 

∴∥

此时在上，不满足题意.……………………………………………（10分）

      线段长的最大值为……………………………………………………(12分)

20、（2008四川凉山州）如图，在中，是的中点，以为直径的交的三边，交点分别是点．的交点为，且，．

（1）求证：．

（2）求的直径的长．

（3）若，以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，求直线的函数表达式．

答案：（1）连接DF 

∵CD是圆直径   ∴∠CFD=90°即DF⊥BC     

∵∠ACB=90°∴DF ∥AC

∴∠BDF=∠A

∵在⊙O中∠BDF=∠GEF ∴∠GEF=∠A

(2) ∵D是Rt△ABC斜边AB的中点, 

∴DC=DA 

 ∴∠DCA=∠A

又由(1)知∠GEF=∠A ∴∠DCA=∠GEF

又∵∠OME=∠EMC  ∴△OME与△EMC相似

∴  ∴ 

又∵= ∴==96     

∵MD：CO=2:5   ∴OM：MD=3：2  ∴ OM：MC=3：8

设OM=3   MC=8  ∴  ∴=2

直径CD=10x=20

(3) ∵Rt△ABC斜边AB的中线CD=20 ∴AB=40

 ∵在Rt△ABC中,cos∠B=0.6=  ∴BC=24  ∴ AC=32

设直线AB的函数表达式为根据题意得 A (32,0)   B(0,24)

                      解得        

∴                                                   

∴直线AB的函数解析式为                            

21、 (2008)  如图，圆O1、圆O2、圆O3三圆两两相切，为圆O1、圆O2的公切线，为半圆，且分别与三圆各切于一点。若圆O1、圆O2的半径均为1，则圆O3的半径为何？(   )   

A. 1     B.     C.－1        D.＋1

答案：C