二次根式习题集

一．选择题

1．下列判断正确的是(　　)

A．带根号的式子一定是二次根式    B．一定是二次根式    

C．一定是二次根式    D．二次根式的值必定是无理数

2．下列式子一定是二次根式的是(　　)

A．    B．    C．    D．

3．在式子，﹣，，，中，是二次根式的有(　　)

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

4．下列各式中，二次根式有(　　)

①②③④

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

5．、、、、中二次根式有(　　)

A．5个    B．4个    C．3个    D．2个

6．式子中x的取值范围是(　　)

A．x≥1且x≠2    B．x＞1且x≠2    C．x≠2    D．x＞1

7．已知实数x、y满足y=﹣2，则yx值是(　　)

A．﹣2    B．4    C．﹣4    D．无法确定

8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)

A．x＞    B．x≥    C．x＜    D．x＞0

9．有意义，则x的取值为(　　)

A．x＞3    B．x＞3或x＜﹣3    C．x≧3    D．x≧﹣3

10．如果是二次根式，那么x，y应满足的条件是(　　)

A．x≥1，y≥0    B．(x﹣1)•y≥0    C．≥0    D．x≥1，y＞0

11．已知是整数，则正整数a的最小值是(　　)

A．2    B．3    C．6    D．12

12．已知n是正整数，且也是一个正整数，则正整数n的最小值为(　　)

A．3    B．4    C．5    D．9

二．填空题

13．当x=　　时，式子的值最小．

14．若|2017﹣m|+=m，则m﹣20172=　　．

15．若有意义，则x的范围是　　．

16．使代数式有意义的x的取值范围是　　．

17．使函数y=+有意义的自变量x的取值范围是　　．

18．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　．

19．当﹣4≤x≤1时，不等式始终成立，则满足条件的最小整数m=　　．

三．解答题

20．若a，b，c满足的关系是=+．

求：(1)a，b，c的值；(2) 的值．

21．已知y=，且x，y均为整数．

(1)满足条件的x，y的哪几组？(2)求的值．

2. 二次根式的化简

一．选择题

1．若+a=0，则a的取值范围是(　　)

A．a≥0    B．a≤0    C．a=0    D．a≠0

2．下列各式中，一定能成立的是(　　)

A． =    B． =()2    

C． =x﹣1    D． =•

3．把x根号外的因数移到根号内，结果是(　　)

A．    B．    C．﹣    D．﹣

4．如果=﹣1，则a与b的大小关系为(　　)

A．a＞b    B．b＞a    C．a≥b    D．b≥a

5．若3、m、5为三角形的三条边，则化简的结果为(　　)

A．6    B．2m﹣10    C．2m﹣6    D．10

6．若实数x，y满足x﹣y+1=0且1＜y＜2，化简得(　　)

A．7    B．2x+2y﹣7    C．11    D．9﹣4y

7．代数式的所有可能的值有(　　)

A．2个    B．3个    C．4个    D．无数个

二．填空题

8．当﹣1＜a＜0时，则=　　．

9．已知关于x的一次函数y=mx+n的图象如图所示，则可化简为　　．

三．解答题

10．化简

(1)  +．(1≤x＜4)(2)( )2﹣．

3. 二次根式的乘除法

一．选择题

1．在下列各式中，计算正确的是(　　)

A．(2)2=6    B． =±3    C． =﹣6    D． =2﹣

2．能使=成立的取值范围是(　　)

A．a＞3    B．a≥0    C．0≤a＜3    D．a＜3或a＞3

3．计算÷×结果为(　　)

A．3    B．4    C．5    D．6

4．下列式子中，属于最简二次根式的是(　　)

A．    B．    C．    D．

5．下列二次根式中，最简二次根式是(　　)

A．    B．    C．    D．

6．把化为最简二次根式，结果是(　　)

A．    B．    C．    D．

7．把化成最简二次根式的结果是(　　)

A．    B．    C．    D．

8． •的值是一个整数，则正整数a的最小值是(　　)

A．1    B．2    C．3    D．5

二．填空题

9．计算： =　　．

10．计算：(2)2=　　．

11．计算： =　　．

12．计算： =　　．

13．设=a， =b，请用含有a、b的式子表示=　　．

14．请写出一个无理数使它与﹣1的积是有理数：　　．

三．解答题

15．计算：2×．

16．计算：2．17．计算：÷3×2÷3

18．计算：

(1) ÷3×(﹣5)(2)5x÷3× (3)  5•(﹣)÷3．

19．计算：2ab•3÷．

20．已知a=+2，b=﹣2，求a2+b2+7的值．

21．已知x=2﹣，y=2+，求：x2+xy+y2的值．

22．(1)已知x=﹣，y=+，求﹣的值；(2)若a﹣=，求a+的值．

23．阅读下列材料，然后回答问题：

在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ==； ===﹣1．

以上这种化简过程叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简： ====﹣1．

请任用其中一种方法化简：①；②．

24．阅读下面问题：

==﹣1；

==﹣

==﹣2，根据以上解法

试求：(1) 的值；

(2)  (n为正整数)的值

(3)  +++…++的值．

25．阅读下列材料，然后回答问题．

在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；(Ⅰ)  (Ⅱ)

．(Ⅲ)

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．(Ⅳ)

(1)请用不同的方法化简．

①参照(Ⅲ)式得=　　．

②参照(Ⅳ)式得=　　．

(2)化简：．

4. 分母有理化

一．选择题

1．甲、乙两位同学对代数式 (a＞0，b＞0)，分别作了如下变形：

甲： ==﹣;      乙： ==﹣

关于这两种变形过程的说法正确的是(　　)

A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确    C．只有甲正确D．只有乙正确

二．填空题

2．的倒数是　　．

3．观察下列等式：

第1个等式：a1==﹣1，

第2个等式：a2==，

第3个等式：a3==2﹣，

第4个等式：a4==﹣2，

…

按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an=　　．

4．已知+++…++=﹣1，则a=　　．

三．解答题

5．(1)已知a2+b2=6，ab=1，求a﹣b的值；(2)已知a=，b=，求a2+b2的值．

6．(1)已知x=﹣，y=+，求﹣的值；(2)若a﹣=，求a+的值．

7．已知x=，求(x+)2+2(x+)+2的值．

8．先化简再求值：a=，b=时，求﹣)的值．

9．比较与的大小．

10．已知，试确定a、b的关系．

11．阅读下面计算过程：﹣1；. ﹣2

请解决下列问题:

(1)根据上面的规律，请直接写出=　　．

(2)利用上面的解法，请化简：．

(3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．

12．阅读下面的计算过程：.

==﹣1； ==﹣； ==﹣2

…

根据以上信息，解答下面的问题：

(1)化简=　　(直接写出结果)；

(2)化简=　　(n为正整数，直接写出结果)；

(3)计算：(+1)(  ++…++)

(4)比较﹣与﹣的大小．

13. 化简下列各式:

(1)              (2)  

(3)           (4)  

5. 同类二次根式

一．选择题

1．下列根式与是同类二次根式的是(　　)

A．    B．    C．    D．

2．下列二次根式化简后能与合并成一项的是(　　)

A．    B．    C．    D．

3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是(　　)

A．    B．    C．    D．

4．下列二次根式中与其他三个不是同类二次根式的是(　　)

A．    B．    C．    D．

5．以下各组中不是同类二次根式的是(　　)

A．和    B．和    C．和    D．和

6．在二次根式、、、、中与是同类二次根式的有(　　)

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

7．、、中与是同类根式的共有(　　)

A．18个    B．19个    C．20个    D．21个

二．填空题

8．若最简二次根式与可以合并，则x的值为　　．

9．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=　　．

三．解答题

10．当x取什么最小正整数时，与是同类根式？

6. 二次根式的加减

1．满足的整数对(a，b)的个数是(　　)

A．8    B．6    C．4    D．3

2．已知pq＜0，p2+q2=p2q2．化简p以后得到的结果是(　　)

A．pq或﹣pq    B．pq    C．﹣pq    D．2

3．计算

(1) ．    (2) ；

(3)     (4)3

(5)(3)﹣()       (6) ．

(7)     (8)  62．

(9)  62．     (10)24．

(11)  2．      (12) 26)．

(13) ．          (14) ．

(15) ．      (16) ．

7. 二次根式的化简求值

一．选择题

1．已知，，则的值为(　　)

A．3    B．4    C．5    D．6

2．计算之值为何？(　　)

A．0    B．25    C．50    D．80

3．计算：，结果等于(　　)

A．56    B．38    C．24    D．32

4．设x2，则x6+3x5+11x3+2x+1=(　　)

A．1424    B．1424    C．1432    D．32﹣14

5．如果f(x) 并且f()表示当x时的值，即f(，表示当x时的值，即f(，那么f()+f()+f()+f(的值是(　　)

A．n    B．n    C．n    D．n

二．填空题

6．若m，则m2﹣2m+2=　　．

7．已知x=3+2，y=3﹣2，则式子x2y﹣xy2的值为　　．

8．已知x，则4x2+4x﹣2017=　　．

9．已知m=1，n=1，则代数式的值为　　．

10．如果x2﹣3x+1=0，则的值是　　．

11．求　　．

12．已知m是的小数部分，求的值为　　．

13．化简：　　．

14．若m，则m5﹣m4﹣2015m3=　　．

15．若x，则(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=　　．

16．计算20062的结果是　　．

三．解答题

17．已知x7，y7，求x2﹣y2的值．

18．先化简，再求值：已知a，求代数式的值．

19．已知：x，y．求：(1) ；(2) 的值．

20．已知x=2，求(7﹣4)x2+(2)x的值．

21．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y+5=0，求的值．

22．已知：x，y，求：①x+y；②xy；③x2+y2；④(x2+x+2)(y2+y﹣2)

23．化简求值：

(1)已知：x，求x2﹣x+1的值．

(2)已知：a，b，求：的值．

24．先化简，后求值：，其中．

25．(1)已知a，求的值．

(2)计算：(1)(1)(1)…(1)．

(3) ．

26．已知，求x6+x5+2x4﹣4x3+3x2+4x﹣4的整数部分．

27．设x，y，求xy的值．

28．观察下面的式子：

S1=1，S2=1，S3=1Sn=1

(1)计算：　　，　　；猜想　　(用n的代数式表示)；

(2)计算：S (用n的代数式表示)．

29．小明做二次根式化简时，发现一些二次根式的被开方数仍含有根号，比如：，善于思考的小明进行了如下探索：要将化简，如果能找到两个数m、n，使m2+n2=a且，则将将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2开方，从而使得化简．

例如：

请仿照上例化简：(1)  (2) ．

30．对于“化简并求值：，其中a”，甲、乙两人的解答不同．

甲的解答是： aa；

乙的解答是： aa．

(1)　　的解答是错误的；

(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：　　．

(3)化简并求值：|1﹣a|，其中a=2．