极化恒等式(学生版)

习

目

标

目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值；

目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围；

目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。

阅读以下材料：

M

图1

   （1）

   （2）

（1）（2）两式相加得： 

结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？

      ＝————极化恒等式

对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.

即：（平行四边形模式）

思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？

因为，所以（三角形模式）

例1.(2012年浙江文15)在中，是的中点，，则____       .

解：因为是的中点，由极化恒等式得：

=9-= -16

【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。

目标检测

解：取AB的中点D，连结CD,因为三角形ABC为

正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，

且，所以， 

（也可用正弦定理求AB）

又由极化恒等式得：

因为P在圆O上，所以当P在点C处时， 

当P在CO的延长线与圆O的交点处时， 

所以

【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。

目标检测

例3.（2013浙江理7）在中,是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。则(     )

A.    B. 

 C.      D. 

目标检测

极化恒等式：

平行四边形模型：

三角形模型：

极化恒等式在处理与_________________有关问题时，显得较有优越性。

为              

2.已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为（   ）

A.    B.    C.     D. 

3．在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为              

4． 若点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是              .

5．在，，已知点是内一点，则的最小

值是              .

6.已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（   ）

A．            B．             C．           D． 

7. 正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（   ）

  A.        B.        C.          D. 

8．在锐角中，已知，，则的取值范围是          ．

极化恒等式在处理与_________________有关问题时，显得较有优越性。