福建省泉州市实验中学2018-2019学年八年级下学期期中数学试题

第I卷（选择题)

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A．    B．    C．    D．

2．下列各式中的最简分式是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．将函数的图象向下平移3个单位，则得到的图象相应的函数表达式为　　

A．    B．    C．    D．

4．已知关于x的函数y＝(m﹣1)xm是反比例函数，则其图象(   )

A．位于一、三象限    B．位于二、四象限

C．经过一、三象限    D．经过二、四象限

5．如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）

A．BO=DO    B．CD=AB    C．∠BAD=∠BCD    D．AC=BD

6．已知平行四边形的周长是22，的周长是17，则的长为（    ）

A．3    B．4    C．5    D．6

7．一次函数与反比例函数在同一坐标系内的的图象为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（    ）

A．且    B．    C．且    D．

9．已知函数， 的图象如图所示，则下列结论：①两函数图象的交点的坐标为；②当时， ；③当时，；④当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小．其中正确的结论有（    ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个．

10．如图，函数(x>0)和(x>0)的图象分别是和.设点P在上，PA∥y轴交于点A，PB∥x轴，交于点B，△PAB的面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

第II卷（非选择题)

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12．正比例函数y=（m-1）x图象经过二、四象限，则m的值可以是______（写一个即可）．

13．若分式的值为零，则的值为_______．

14．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC与BD的交点O作AC的垂线交于点E，连接CE，若AB=4，BC=6，则△CDE的周长是______．

15．如果关于x的方程+1有增根，那么k的值为_____

16．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角⋯按此规律进行下去，则等腰直角的面积为_______，等腰直角的面积为______．

18．解分式方程： 

19．“珍重生命，注意安全!”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：

(1)小明家到学校的路程是              米，小明在书店停留了                  分钟

(2)本次上学途中，小明一共行驶了                   米，一共用了                   分钟．

(3)我们认为骑单车的速度超过300米分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗? 

20．如图，在ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．

（1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．

21．为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？

（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？

22．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 

(1)求点的坐标；

(2)设轴上有一点，过点作轴的垂线(垂线位于点的右侧)，分别交和的图象于点、，连接．若，求的面积．

23．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？

（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．

24．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与相交于．点为直线上一点，反比例函数的图象过点且与直线相交于点．

(1)若点与点重合，求的值；

(2)连接、、，若的面积为面积的2倍，求点的坐标；

(3)当时，在轴上是否存在一点 ，使是等腰直角三角形？如果存在，直接写出点坐标：若不存在，说明理由．

参

1．B

【解析】

【分析】

形如(A、B为整式，B中有字母且B)的式子是分式，根据分式的定义即可判断.

【详解】

分母中无字母故不是分式，故A不符合题意；

符合分式的定义，故B符合题意；

是多项式是整式不是分式，故C不符合题意；

是多项式是整式不是分式，故D不符合题意；

故选：B.

【点睛】

此题考查分式的定义，熟记分式的构成特点是解题的关键.

2．D

【解析】

【分析】

根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可得答案．

【详解】

解：A、，故A选项不是最简分式，不符合题意；

B、，故B选项不是最简分式，不符合题意；

C、，故C选项不是最简分式，不符合题意；

D、是最简分式，符合题意，

故选D．

【点睛】

本题考查了最简分式，解答此类问题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．

3．B

【解析】

【分析】

直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．

【详解】

解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是；

故答案选：B．

【点睛】

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．

4．B

【解析】

【分析】

根据反比例函数的定义先求出m的值，再根据m-1的符号判断函数所在的象限．

【详解】

根据反比例函数的定义可知：m=-1，m-1≠0，

解得：m=-1，

此时函数化简为：y=-，该函数的图象经过二、四象限．

故选B．

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．

5．D

【解析】

试题分析：根据平行四边形的性质判断即可：

A、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB（平行四边形的对边相等），正确，不符合题意；

C、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD（平行四边形的对角相等），正确，不符合题意；

D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC=BD，错误，符合题意．

故选D．

6．A

【解析】

【分析】

由平行四边形的周长得到AB+BC的长，根据的周长是17得到AC的长，再根据平行四边形的对角线互相平分的性质得到OA的长.

【详解】

∵平行四边形的周长是22，

∴AB+BC=11，

∵的周长是17，

∴AB+BC+AC=17，

∴AC=6，

∴OA=3，

故选：A.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分.

7．B

【解析】

【分析】

根据选项中k的符合是否一致判断即可得到答案.

【详解】

当k>0时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数在一、三象限，故A不正确，B正确；

当k<0时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数在二、四象限，故C、D均不正确，

故选：B.

【点睛】

此题考查一次函数的性质，反比例函数的性质，正确掌握函数图象所经过的象限与系数间的关系是解题的关键.

8．A

【解析】

【分析】

根据分式方程的解为正数，并且分母不为零，可得到满足条件的m的范围．

【详解】

解：去分母得，m−3=x−1，

解得x=m−2；

∵关于x的分式方程的解为正数，

∴m−2>0，

∴m>2，

∵x−1≠0，

∴x≠1，即m≠3，

∴的取值范围是m>2且m≠3，

故选：A．

【点睛】

本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解，解答本题时，易漏掉m≠3，这是因为忽略了x−1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．

9．C

【解析】

【分析】

根据函数解析式组成方程组判断①，由函数图象的高低判断②，求出x=1时点B、C的坐标得到BC即可判断③，根据函数的增减性即可判断④.

【详解】

①由一次函数与反比例函数的解析式，

解得，故①正确；

②由图象得时， ，故②错误；

③当x=1时，B（1,4），C（1,1），∴BC=3，故③正确；

④在第一象限中，一次函数y随x的增大而增大，反比例函数y随x的增大而减小，故④正确，

故选：C.

【点睛】

此题考查一次函数的性质，一次函数与方程组的关系，正确掌握函数的性质是解题的关键.

10．B

【解析】

【分析】

将点P(m，n)代入反比例函数y=(x>0)用m表示出n即可表示出点P的坐标，然后根据PB∥x轴，得到B点的纵坐标为，然后将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式y=(x>0)即可得到点B的坐标，同理得到点A的坐标；根据PB=m-=，PA=-=，利用S△PAB=PA•PB即可得到答案.

【详解】

解：设点P(m,n)，

∵P是反比例函数y=(x>0)图象上的点，

∴n=，

∴点P(m，)；

∵PB∥x轴，

∴B点的纵坐标为，

将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式y=(x>0)得：x=，

∴B(，)，同理可得：A(m，)；

∵PB=m−=，PA=−=，

∴S△PAB=PA⋅PB=××=.

故选B.

【点睛】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义.

11．-3

【解析】

【分析】

根据零次幂的定义，负指数幂的定义计算即可.

【详解】

1-4=-3，

故答案为：-3.

【点睛】

此题考查计算能力，正确掌握零次幂的定义，负整数指数幂的定义是解题的关键.

12．0

【解析】

【分析】

先根据正比例函数y=（m-1）x，它的图象经过二、四象限得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【详解】

解：∵正比例函数y=（m-1）x，它的图象经过二、四象限， 

∴m-1＜0， 

解得m＜1． 

∴m的值可以是0． 

故答案为：0（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．

13．-3

【解析】

【分析】

由分子等于0，分母不等于0即可列方程及不等式求出x的值.

【详解】

由题意得：且，

解得x=-3，

故答案为：-3.

【点睛】

此题考查分式值为0，正确掌握分式值为0的条件列出方程及不等式是解题的关键.

14．10

【解析】

【分析】

由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=10，继而可得结论．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC．

∵AB=4，BC=6，∴AD+CD=10．

∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=10．

故答案为10．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

15．4

【解析】

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．

【详解】

去分母得：1=k-3+x-2，

由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，

把x=2代入整式方程得：k=4，

故答案为4

【点睛】

此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

16．，        

【解析】

【分析】

先根据点A1的坐标及A1B1∥y轴求出B1的坐标，进而得到A1B1的长及△A1B1C1的面积，再根据A2的坐标及A2B2∥y轴求出B2的坐标，进而得到A2B2的长及△A2B2C2的面积，根据变换规律A3B3的长得到△A3B3C3的面积，再求出AnBn的长得到△AnBnCn的面积即可.

【详解】

∵A1（2,2），A1B1∥y轴交直线于点B1，

∴B1（2,1），

∴A1B1=2-1=1，

∴△A1B1C1的面积=11=，

∵A1C1= A1B1=1，

∴A2(3，3),

∵A2B2∥y轴交直线于点B2，

∴B2(3， ),

∴A2B2=3-=，

∴△A2B2C2的面积==，

∵A2C2= A2B2=，

∴A3(，)，

∵A3B3∥y轴交直线于点B3，

∴B3（， ），

∴A3B3=-=，

∴△A3B3C3的面积==，

∵△A1B1C1的面积=，

△A2B2C2的面积==，

△A3B3C3的面积=，

以此类推，△AnBnCn的面积=，

故答案为：， .

【点睛】

此题考查一次函数的性质，图象上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，根据图象依次计算得到点的坐标规律是计算面积的关键.

17．

【解析】

【分析】

先根据分式的运算法则进行化简，再代入使分式有意义的值计算.

【详解】

解：原式

.

使原分式有意义的值可取2，

当时，原式.

【点睛】

考核知识点：分式的化简求值.掌握分式的运算法则是关键.

18．无解

【解析】

【分析】

先去分母化为整式方程，求出整式方程的解检验即可得到原方程的解的情况.

【详解】

， 

，

2x=2，

x=1，

检验：当x=1时，=0，∴x=1不是原方程的解，

∴原方程无解.

【点睛】

此题考查解分式方程，将方程去分母化为整式方程后求解，然后将整式方程的解代入最简公分母中检验，使最简公分母等于0的未知数的值不是原方程的解，若不等于0则是原方程的解.

19．（1）1500，4；（2）2700，14；（3）12到14分钟时速度最快，不在安全限度内

【解析】

【分析】

（1）由y轴表示路程，起点是家，终点是学校，即可得到小明家到学校的路程是1500米，根据与x轴平行的线段表示路程没有变化，观察图象分析其对应的时间即可；

（2）行驶的路程=家到学校的距离+2折回书店的路程，时间=到学校的时间-从家出发的时间；

（3）根据每一时间段所行驶的路程及时间，分别计算各时间段的速度进行比较即可.

【详解】

（1）∵y轴表示路程，起点是家，终点是学校，

∴小明家到学校的路程是1500米，

由图象可知：小明在书店停留12-8=4分钟，

故答案为：1500，4；

（2）本次上学途中，小明行驶的路程=1500+2（1200-600）=2700（米），

一共用的时间=14-0=14（分钟），

故答案为：2700，14；

（3）0到6分钟时，平均速度=（米/分），

6到8分钟时，平均速度=（米/分），

12到14分钟时，平均速度=（米/分）

∴12到14分钟时速度最快，不在安全限度内.

【点睛】

此题考查一次函数图象的实际意义，掌握图象横纵坐标代表的含义，正确理解题意与图象各段之间的对应关系是解题的关键.

20．（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

【分析】

（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论．

（2）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，∠1=∠2；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF．

【详解】

解：（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

又∵点F在CB的延长线上，

∴AD∥CF．

∴∠1=∠2．

∵点E是AB边的中点，

∴AE=BE，

∵在△ADE与△BFE中，，

∴△ADE≌△BFE（AAS）．

（2）CE⊥DF．理由如下：

如图，连接CE，

由（1）知，△ADE≌△BFE，

∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．

∵DF平分∠ADC，

∴∠1=∠3．

∴∠3=∠2．

∴CD=CF．

∴CE⊥DF．

21．（1）；（2）至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）这次消毒是有效的．

【解析】

【分析】

（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y=，把点（8，6）代入即可；

（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；

（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．

【详解】

解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1

∴k1= 

设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（k2＞0）代入（8，6）为6=，

∴k2=48

∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）

∴  

（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30

即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室． 

（3）把y=3代入，得：x=4

把y=3代入，得：x=16

∵16﹣4=12

所以这次消毒是有效的．

【点睛】

现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

22．（1）A（4，3）；（2）14

【解析】

【分析】

（1）由正比例函数与一次函数的解析式组成方程组求方程组的解即可得到答案；

（2）设点B的坐标为（a， ），得到点C的坐标，根据BC的长求出a，即可求面积.

【详解】

（1）解方程组，得，

∴A（4,3）；

（2）∵A（4,3），

∴OA= ,

∵,

∴BC=7，

设点B的坐标为（a， ），则点C（a，-a+7），

∴BC=-(-a+7)=7，

解得a=8，

∴的面积=.

【点睛】

此题考查一次函数与方程组的关系，勾股定理，直角坐标系中线段的长度.

23．(1) =﹣100x+50000；(2) 该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；(3)见解析.

【解析】

【分析】（1）根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；

（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；

（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．

【详解】（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；

（2）∵100﹣x≤2x，

∴x≥，

∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，

∴y随x的增大而减小，

∵x为正数，

∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，

答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；

（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，

33≤x≤60，

①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，

∴当x=34时，y取最大值，

即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．

②a=100时，a﹣100=0，y=50000，

即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时，均获得最大利润；

③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，

∴当x=60时，y取得最大值．

即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．

【点睛】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，弄清题意，找出题中的数量关系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式是解题的关键.

24．（1）2；（2）点E的坐标为（，2）或（3，2）时的面积为面积的2倍；（3）当时，G（0,1）或（0, ），此时是等腰直角三角形

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质得到点P的坐标，由点E与点P重合得到点E的坐标，将点E的坐标代入中即可求出k的值；

（2）根据题意画出图形，用k表示点E及点F的坐标，得到对应线段的长度，分三种情况利用的面积为面积的2倍分别求出k的值，即可得到点E的坐标；

（3）由知点E在点P的右边，点F在点P的上边，画出图象，设点E的坐标及点F的坐标，分三种情况，根据等腰直角三角形的性质证明全等即可求出答案.

【详解】

（1）由题意得点P(1,2)，

∵点与点重合，

∴E（1,2），

∵的图象过点，

∴k=；

（2）①当0根据题意知：四边形OAPB是矩形，BP=1，AP=2，,

∵点E、F都在反比例函数的图象上，

∴E（，2），F（1，k），

∴BE=，PE=1-，AF=k，PF=2-k，

∵，

，

，

，

∴，

解得， （舍去），

∴E（，2）；

当k=2时，△OEF不存在；

②当k>2时，如图2，过点E作x轴的垂线EC，垂足为C，过点F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点H，则四边形OCHD是矩形，

∵E（，2），F（1，k），

∴PE=-1，PF=k-2，

∴，

∵四边形PEGF是矩形，

∴

∵,

，

=，

∴=2，

解得，（舍去），

∴E（3,2），

综上，点E的坐标为（，2）或（3，2）时的面积为面积的2倍；

（3）存在，

∵k>0，

∴点E在点P的右边，点F在点P的上边，

①如图3，∠FEG=90°，EF=EG,

设E（m，2），则F（1,2m），

∵∠EPF=EBG，EF=EG，∠FEP=∠BGE，

∴△FEP≌△EGB，

∴PF=BE，BG=EP，

∴m=2m-2，

∴m=2，

∴BG=PE=1，

∴G（0,1）；

②如图4，∠EFG=90°，EF=FG，作FM⊥y轴，

设E（m，2），则F（1,2m），

可得△FEP≌△FMG，

∴FM=FP，MG=EP，

∴2m-2=1，

∴m=， 

∴F（1,3），E（，2），

∴MG=PE=-1=，

∴G（0, ）；

③∠EGF=90°的情况不存在，

综上，当时，G（0,1）或（0, ），此时是等腰直角三角形.

【点睛】

此题是反比例函数的一道综合题，考查待定系数法，反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质定理，解题中注意分情况讨论的思想，避免漏解.