直线与平面的位置关系教案

入

下面我们要讨论的是一条直线与一个平面的位置关系，首先我们来做个试验：将圆规看做一条直线，黑板当成一个平面，当圆规贴在黑板上我们看成直线在平面内。方法一：将圆规平移出黑板，观察圆规与黑板的位置关系；方法二：圆规一端不动，另一端移出黑板，观察圆规与黑板的位置关系。

学生可以在下面做试验，看直线与平面是否有交点？有几个交点？

师：根据大家的试验找到直线与平面的交点情况。

生：三种情况：第一：有无数个交点；第二：有一个交点；第三：没有交点

师：总结学生的回答，给出准确的直线与平面的位置关系定义。

引导学生“实践—观察—猜想—归纳”，得出直线与平面的位置关系．

新

课

1．直线在平面内：直线与平面有无数个公共点．

2．直线与平面相交：直线与平面只有一个公共点．这个公共点叫做直线与平面的交点．

3．直线与平面平行：直线与平面没有公共点．

我们把直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，符号表示：a．

    下面我们当圆规为直线m，黑板为平面 ，如图，此时直线 m 在平面  内，让m沿某个方向平移出平面 到直线 l 的位置．直线l与平面 的位置关系是什么？

直线 l 平行于平面，记作l//．

思考：为什么把直线m 平移的时候就与平面平行，如果随便的移动，它们还能平行吗？（能不能平行就看有没有交点，学生动手试验）继续观察，直线m 与直线l 又有什么关系？（平移的实际意义就是两直线平行）

二、直线与平面平行的判定定理

如果一个平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（简记：若线线平行，则线面平行）

用符号表示为：

若 a  ，b  ，且 a // b，则 a // ．

如图所示．

直线与平面平行的判定定理在生活中的应用．

一般画法：

通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形和一边平行或与平行四边形内的一条线段平行．

例  已知：空间四边形 ABCD，E，F 分别是 AB，AD 的中点(如图)．

求证：EF // 平面 BCD．

分析：题目要证的是直线EF与平面BCD平行，那么根据线面平行的判定，首先要在平面BCD中找到一条直线与EF平行，观察发现BD跟EF平行；其次找EF与BD平行的依据，根据题目给的条件，它们可以利用初中知识中位线来证明。

证明：连结 BD，在 △ABD 中，

因为  E，F 分别是 AB，AD 的中点，

所以  EF // BD．

又因为  BD 是平面 ABD 与平面 BCD 的交线，EF  平面 BCD，

所以  EF // 平面 BCD．

练习：

1．如图所示长方体中：

    (1)与直线AB平行的平面有      ；

(2)与直线AA 平行的平面有      ；

(3)与直线AD平行的平面有      ．

2．下列命题是否正确，并说明理由：

(1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；

(2)过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；

(3)如果一条直线与一个平面平行，则它与这个平面内的任何直线平行．

生：理解并记忆．

师：直线l与直线m的位置关系是什么？

生：l//m．

师：直线l与平面  有几个公共点？

生：l//m直线l与平面  没有公共点．

直线l与平面  的位置关系是什么？

生：直线 l 平行于平面，即  l // ．

教师边画图边强调定理中的三个关键点：

⑴平面内的一条直线

⑵平面外的一条直线

⑶这两条直线平行

师：观察图形，找出我们要证明EF与平面 BCD内的哪条线平行呢？ 

生：BD

教师可先让学生自己试着去写证明过程，最后师生统一订正，教师给出具体步骤

师生共同反思：

⒈判定定理

（1）判定定理的实质；

（2）定理的三个条件缺一不可：面内、面外、平行；

（3）运用定理证明关键是在面内找一条直线和已知直线平行．

    学生抢答．教师点评．

从文字语言，符号语言，图形语言三个方面来描述定义，深化对定义的理解．

利用文字语言，符号语言和图形语言的相互转化，有助于学生理解定理的本质，明确利用定理证明的关键． 

    通过生活实例的引入，可帮助学生理解直线与平面平行的判定定理，再次体会数学来源于生活，并服务于生活．

利用文字语言，符号语言和图形语言的相互转化，有助于学生理解定理的本质，明确利用定理证明的关键． 

虽然学生已知线面平行的判定定理，但认识还是不深刻，通过例题再次巩固．

以学生为主,完成证明任务，以便进一步理解线面平行的判定定理．

学习新知后紧跟练习有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．

小

结

2. 直线和平面平行的判定定理，并能利用定理进行简单的证明． 

业

1．直线在平面内：直线与平面有无数个公共点．

2．直线与平面相交：直线与平面只有一个公共点．这个公共点叫做直线与平面的交点．

3．直线与平面平行：直线与平面没有公共点．

4.如果一个平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（简记：若线线平行，则线面平行）

二、情境引入

木工师傅处理如图所示的一块木料，他打算经过点P和BC将木料锯开，已知平面,他应该怎样画线确定截面呢？

请学生举手回答

     请学生分组讨论

承上启下，复习巩固，便于知识的衔接

 创设情境，通过学生的思考，引入新的知识，更利于学生接受

新

课

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．

用符号表示：

若a // ，a  ， ∩ ＝b，则a // b．

如图所示

例  如图，已知平面 ∩ ＝l ，a ，b   ，且a // b．求证：a // b // l

分析：证明直线平行的依据是线面平行，那么只要证明直线l平行于其中一条直线就可以，而线面平行的条件是线线平行、一条直线在平面内、一条直线在平面外。

证明：因为a // b，b  ，a

      所以a // 

      又 ∩ ＝l ，a 

所以a // l

所以a // b // l

练习：

1．直线平面，,过点平行于的直线是（    ）

 A 只有一条，不在平面内

 B 有无数条，不一定在内

 C 只有一条，且在平面内

 D 有无数条，一定在内

 2.若直线，平面，则直线与平面的的位置关系是       。

教师边画图边强调定理中的关键词语：直线与平面平行、直线在一个平面内、两个平面相交有一条交线。 

引导学生根据定理找出证明平行所需要的条件。

直线在哪里？

交线在哪里？

教师可先让学生自己试着去写证明过程，最后师生统一订正，教师给出具体步骤

师生共同反思：

    1.性质定理：

（1）性质定理的实质；

（2）定理的三个条件缺一不可：线面平行、直线在平面内、两平面相交；

（3）运用定理证明关键是证明线面平行

利用文字语言，符号语言和图形语言的相互转化，有助于学生理解定理的本质，明确利用定理证明的关键． 

虽然学生已知线面平行的性质定理，但认识还是不深刻，通过例题再次巩固．

学习新知后紧跟练习有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．

小

结

2. 直线和平面平行的判定定理，性质定理；并能利用定理进行简单的证明． 

业

入

学生操作：取一根细的直钢丝AB，通过AB的中点O固定一条与AB垂直的金属棒l，然后把金属棒两端放在固定的槽内．通过外力让其旋转，观察 l 的轨迹，看它是什么样的图形．

到AB两点距离不相等的点是否一定不在l上？

学生思考后回答．

师：推广到空间，如果A，B是空间中的两点，线段AB的垂直平分线有多少条？所有线段AB的垂直平分线的集合形成怎样的图形？

通过学生动手操作，为下面定义线面垂直奠定基础．

新

课

新

课

新

课

如果一条直线和一个平面内的任何直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．

学生自己在纸上随便画几条直线，有平行的，有相交的，将笔竖立在纸上，观察笔和直线的位置关系，我们会发现无论是哪条直线，它们都与笔垂直。所以直线与平面垂直的定义可以反过来用：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就垂直于平面内的任意一条直线。

画直线与平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直．如图，直线l与平面  互相垂直，记作l．

实验：如图，将一张矩形纸片对折后略微展开，竖立在桌面上，观察折痕与桌面关系．

我们知道，一个平面可由它所含的两条相交直线完全确定．实际上只要检验一条直线与平面内的两条相交直线是否垂直就可以了．

2. 直线与平面垂直的判定

判定定理  如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．

用符号表示为（如下图所示）：

若 l  m，l  n，m ∩ n＝A，m  ，n  ，则 l  ． 

推论  如果在一组平行直线中，有一条直线垂直于平面，那么另外的直线也都垂直于这个平面．

例  如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体。

⑴试判断AC与D1D的位置关系

⑵AC与平面BB1D1D垂直吗？为什么？

⑶求证：AC⊥BD1.

解 ⑴因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以D1D⊥平面ABCD

   因为，所以D1D⊥AC

   ⑵因为D1D⊥AC，BD⊥AC,BD∩平面BB1D1D.,所以AC⊥平面BB1D1D.

⑶因为,AC⊥平面BB1D1D

所以AC⊥BD1

3. 直线与平面垂直的性质

性质定理  如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

用符号表示为（如图所示）：

若 n  ，m  ，则 n // m． 

练习

1．在空间中过一点都能作任意一条直线的垂线吗？为什么？

2．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，分别写出与下列直线垂直的平面．

（1）AA1；   （2）AB；   （3）B1C1．

3．如果一条直线垂直于一个平面内的：

（1）三角形的两条边；

（2）梯形的两条边；

（3）圆的两条直径．

试问这条直线与上述图形所在的平面都垂直吗？

4．三角形的两边可以都垂直于同一个平面吗？

教师强调，直线与平面垂直，则它垂直于平面内的任意直线，这个结论在证明时经常用到．

师：用直线与平面垂直的定义，直接检验直线是否与平面垂直是困难的．想一想，是否有容易操作又比较简单的判别方法？

学生实验探究，并讨论分析．

教师归纳直线与平面垂直的判定定理．

教师边画图边强调定理中的关键词语：“平面内”“两条相交直线”．

结合下图分析证明思路．

教师引导学生列举实际生活中的例子，来验证此性质． 

师生共同合作完成．

通过此实验直观感知直线与平面垂直．为引出直线与平面垂直的判定定理做铺垫．

通过猜测，说理得出线面垂直的判定定理，不做严格证明．

利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，有助于学生理解定理的本质，明确利用定理证明的关键．

通过例题，理解线面垂直的判定定理，体验定理的实际应用．

通过实例的分析可加深对定理的理解，体会数学来源于生活，数学服务于生活．

学习新知后紧跟练习有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．

结

2．直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．

业

入

2．直线与平面的位置关系．

师：空间直线与平面垂直属于哪一种情况？

生：一条直线和一个平面相交，且和这个平面垂直

师：一条直线与一个平面相交但不垂直，会怎样？

新

课

新

课

新

课

如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上一点（除斜足外）向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的摄影．

如图，直线AP是平面的斜线，A是斜足，AP是斜线段．

2．直线与平面所成的角

从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)，如上图所示．

如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90)；

如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直线与平面所成的角是0的角．

一条线段与平面所成的角指的是线段所在直线与平面所成的角．

如图，设线段AB在平面内的射影为AB ，且AB与平面所成的角为 ．易证

|AB |＝|AB| cos  ．

练习

设线段AB＝l，且AB与平面 所成的角为 ，求线段AB在平面内的射影AB 长：

（1）l＝6，＝；

（2）l＝10，＝0；

（3）l＝8，＝．

例1  如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝1，AA1＝．求对角线A1C与平面ABCD所成的角．

解  连接AC，由题意知△A1AC为直角三角形，且A1AC＝90．又由题意，可知

AC＝＝＝．

而AA1＝，所以ACA1＝45．

因此A1C与平面ABCD所成的角为45．

例2  如图，已知 PA是平面的斜线，PO，a  ，a  AO．

求证：a  PA．

证明：因为 PO  ，a  ，所以

PO  a．（线面垂直的定义）

又因为AO  a，且PO∩AO＝O，所以

 a 平面PAO．（线面垂直的判定）

又因为PA  平面 PAO，所以

a  PA．（线面垂直的定义）

例2中，AO是斜线PA在平面内的射影，通常例2的结论也叫做三垂线定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

练习

1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，写出对角线B1D1 与平面AC，平面BA1，平面BC1所成的角，并求这些角的余弦值．

2．如图所示，PA为平面 的斜线，PO，a，a PA．求证：aAO． 

该结论叫做三垂线定理的逆定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．

教师给出定义．

学生理解并记忆定义．

重点强调斜线的射影是过垂足和斜足的直线．

教师可在此处多设计几个图形，让学生练习辨别垂线，斜线及其射影．

学生练习．

展示图形，要求学生找出对角线A1C所在直线在平面ABCD上的射影，讨论如何作图．

教师引导学生对定理进行结构分析，明确各元素之间的制约关系，指导学生抓住“四线一面”中“垂线”这个关键条件．

可借助三角板与铅笔演示三垂线定理，给学生以直观印象．

师生合作共同完成．

引导学生在理解的基础上记忆．

此处加强练习为下面顺利引入三垂线定理奠定基础．

教师用问题引导学生一步步分析如何作出斜线与平面所成的角，培养学生思维的条理性．

此题看似简单，但每一步都分别应用了线面垂直的定义、判定定理等，教师必须在每一步后注明所用定理，给学生以明确的思维指导．

学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师了解学生对本节课的掌握情况．　

结

2．理解直线与平面所成的角的概念，并会求直线与平面所成的角．

业

教材P131练习 B组第1题（选做）．