高中数学新课 圆锥曲线方程 教案 (7)

教学目的：

1. 能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；

2．能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题；

3．体会数学形式的简洁美,增强爱国主义观念

教学重点：焦半径公式的的推导及应用

教学难点：焦半径公式的的推导,应用问题中坐标系的建立

授课类型：新授课 

课时安排：1课时 

教    具：多媒体、实物投影仪 

教学过程：

一、复习引入： 

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

2．标准方程：， （）

3．椭圆的性质：由椭圆方程() 

(1)范围:,，椭圆落在组成的矩形中．

(2)对称性:图象关于轴对称．图象关于轴对称．图象关于原点对称 原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点：， 加两焦点共有六个特殊点.叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为  分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 

(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 

椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例  

4.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

5．椭圆的准线方程：椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 

对于，左准线；右准线

对于，下准线；上准线

焦点到准线的距离（焦参数）

二、讲解新课：

 椭圆的焦半径公式：设是椭圆的一点,和分别是点与点,的距离.那么（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率

推导方法一：， 

， 

即（左焦半径）,（右焦半径）

推导方法二： 

，

同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：        

（ 其中分别是椭圆的下上焦点）

注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关  可以记为：左加右减，上减下加

三、讲解范例

例1 如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km)．

解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、在轴上，

则  ＝|OA|－|O|＝|A|＝6371＋439＝6810

＝|OB|＋|O|＝|B|＝6371＋2384＝8755

解得＝7782.5，＝972.5

.

卫星运行的轨道方程为

例2 椭圆，其上一点P(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程

解：由椭圆的焦半径公式，得

，解得，从而有

所求椭圆方程为  

四、课堂练习：

1．P为椭圆上的点，且P与的连线互相垂直，求P

解：由题意，得＝， 

P的坐标为，，， 

2．椭圆上不同三点与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证

证明：由题意，得＝2

3．设P是以0为中心的椭圆上任意一点，为右焦点，求证：以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切

证明：设椭圆方程为,()，

焦半径是圆的直径，

则由知，两圆半径之差等于圆心距，

所以，以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切

五、小结 ：焦半径公式的推导方法及形式；实际问题中坐标系的建立应使问题易求解   

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：