2020届云师大附中高三高考适应性月考(一)数学(文)试题

2020届云师大附中高三高考适应性月考（一)数学（文)试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)

请点击修改第I卷的文字说明

A． ． ． ．

2．瑞士数学家欧拉在年得到复数的三角方程：，根据三角方程，计算的值为（    ）

A． ． ． ．

3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共位，使用过移动支付的学生共有位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（    ）

A． ． ． ．

4．已知、满足的约束条件，则的最小值为（  ）

A． ． ． ．

5．函数的零点个数是（    ）

A． ． ． ．

6．在等差数列中，，则（    ）

A． ． ． ．

7．函数的大致图象为（  ）

A． ．

C． ．

8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（  ）

A． ． ． ．

9．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标扩大为原来的倍，再把图象上所有的点向上平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的周期可以为（    ）

A． ． ． ．

10．若函数与函数存在公共点，并且在处具有公共切线，则实数（    ）

A． ． ． ．

11．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（    ）

A． ． ． ．

12．四边形是菱形，，，沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为（   ）

A． ． ． ．

第II卷（非选择题)

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14．等比数列的首项，，则___________.

15．设、为椭圆:的两个焦点，为上点，，则的面积为______.

16．边长为的正方体中，点为上底面的中心，为下底面内一点，且直线与底面所成线面角的正切值为，则点的轨迹围成的封闭图象的面积为_____.

（1）根据频率分布直方图，估计这名“低碳族”年龄的平均值，中位数；

（2）若在“低碳族”且年龄在、的两组人群中，用分层抽样的方法抽取人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？

18．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若为的中点，且，求的最大值.

19．如图甲，在直角梯形中，，，，过点作，垂足为，现将沿折叠，使得.取的中点，连接、、 ，如图乙.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

20．已知，.

（1）令，求证：有唯一的极值点；

（2）若点为函数上的任意一点，点为函数上的任意一点，求、两点之间距离的最小值.

21．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线相交于、两点，满足.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为，，求的最小值.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）曲线的普通方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线和曲线的极坐标方程；

（2）射线:依次与曲线和曲线交于、两点，射线:依次与曲线和曲线交于、两点，求的最大值.

23．已知函数.

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）当 时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

参

1．C

【解析】

【分析】

作出函数和圆的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合的元素个数.

【详解】

如下图所示，由函数与圆的图象有两个交点，

因此，集合含有两个元素，故选：C.

【点睛】

本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

2．B

【解析】

【分析】

根据复数的三角方程将复数表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果.

【详解】

由，则，故选B.

【点睛】

本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题.

3．C

【解析】

【分析】

作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以可得出所求结果.

【详解】

根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，

因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值，故选：C.

【点睛】

本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.

4．A

【解析】

【分析】

作出不等式组作表示的可行域，根据代数式的几何意义为可行域内的点到原点的距离，结合图形知，的最小值为原点到直线的距离，由此可得出结果.

【详解】

作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

的几何意义为可行域内的点到点的距离，

过点作直线的垂线，则的最小值为，

故选：A.

【点睛】

本题考查线性规划问题，考查距离型非线性函数的最值问题，要理解非线性目标函数的几何意义，借助数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

5．B

【解析】

【分析】

在平面直角坐标系内作出函数与函数的图象，观察两函数的交点个数，即为函数的零点个数.

【详解】

令，得，则函数的的零点个数等价于函数与函数图象的交点个数，如下图所示：

由图象知与的交点个数为，

因此，函数的零点个数也为，故选：B.

【点睛】

本题考查函数零点个数问题，常用的方法有两种：一种是代数法，另一种是图象法，转化为两个函数的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

6．D

【解析】

【分析】

利用等差中项的性质得出的值，再利用等差中项的性质可得出的值.

【详解】

由等差中项的性质可得，，

因此，，故选：D.

【点睛】

本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题.

7．B

【解析】

【分析】

考查函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符号进行排除，可得出正确选项.

【详解】

设，该函数的定义域为，且，所以，函数为偶函数，排除A、C选项，且当时，，此时，

排除D选项，故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题.

8．B

【解析】

【分析】

根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果.

【详解】

不成立，执行第一次循环，，，；

不成立，执行第二次循环，，，；

不成立，执行第三次循环，，，；

不成立，执行第四次循环，，，；

不成立，执行第五次循环，，，；

不成立，执行第六次循环，，，；

不成立，执行第七次循环，，，；

不成立，执行第八次循环，，，；

成立，跳出循环体，输出的值为，故选B.

【点睛】

本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.

9．B

【解析】

【分析】

先利用三角函数图象变换规律得出函数的解析式，然后由绝对值变换可得出函数的最小正周期.

【详解】

，将函数的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的，可得到函数的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再把所得图象向上平移个単位长度，得到，由绝对值变换可知，函数的最小正周期为，故选B.

【点睛】

本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.

10．C

【解析】

【分析】

由题意得出，解此方程组，可得出实数的值.

【详解】

因为，所以；由，得.

因为与在它们的公共点处具有公共切线，

则，即，解得，故选：C.

【点睛】

本题考查两函数在公共点处有公切线问题，解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.

11．A

【解析】

【分析】

以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系，得出点、的坐标，设点，利用两点间的距离公式结合条件得出点的轨迹方程，然后利用坐标法计算出的表达式，再利用数形结合思想可求出的最小值.

【详解】

以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系，

则、，设，，，

两边平方并整理得，

所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

则有，如下图所示：

当点为圆与轴的交点（靠近原点）时，此时，取最小值，且，

因此，，故选：A.

【点睛】

本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.

12．B

【解析】

【分析】

取的中点为，设球心在平面内的射影为 ，在平面内的射影为，利用二面角的定义得出，并设，计算出的值，可得出的长度和的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥外接球的半径，最后利用球体体积公式可计算出结果.

【详解】

如下图所示，取的中点为，设球心在平面内的射影为 ，在平面内的射影为，则二面角的平面角为，，

所以，，，设，

则，，则，，

，，

球的半径，所求外接球的体积为，

故选：B.

【点睛】

本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

13．

【解析】

【分析】

利用平面向量数量积的运算律和定义计算，可得出结果.

【详解】

由于、为单位向量，，则，且，

因此，，

故答案为.

【点睛】

本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s

14．

【解析】

【分析】

设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，再利用等比数列求和公式可计算出的值.

【详解】

，，所以，所以，因此，，

故答案为：.

【点睛】

本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般是通过建立首项和公比的方程组，求出这两个量，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

15．1

【解析】

【分析】

利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.

【详解】

由题意可知，，，，则.

如下图，由题意知，由勾股定理得，

由椭圆定义得，

将该等式两边平方得，，

因此，的面积为，故答案为.

【点睛】

本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

【解析】

【分析】

作出图形，设正方体底面的中心为点，可得出平面，由直线与平面所成角的定义得出，可得出，从而可知点的轨迹是半径为的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果.

【详解】

如下图所示，

由题意知，在底面内的投影为底面的中心，连接，

则即为直线与底面所成的角，所以，，

则，所以的轨迹是以底面的中心为圆心，以为半径的圆，

因此，的轨迹围成的封闭图象的面积为，故答案为：.

【点睛】

本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.

17．（1）平均值为，中位数为；（2）年龄在的人，在的人.

【解析】

【分析】

（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为计算出矩形的面积；

（2）先计算出年龄在、的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在、的人数.

【详解】

（1）位“低碳族”的年龄平均值为，

设中位数为，前三个矩形的面积为，

前四个矩形的面积为，则，

由题意可得，解得，因此，中位数为；

（2）年龄在、的频率分别为，，

频率之比为，所抽取的人中，年龄在的人数为，

年龄在的人数为.

【点睛】

本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.

18．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理边角互化思想得出，再利用两角差的余弦公式可得出的值，结合角的范围可得出角的大小；

（2）由中线向量得出，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出的最大值，再利用三角形的面积公式可得出面积的最大值.

【详解】

（1）由正弦定理及得，

由知，

则，化简得，.

又，因此，；

（2）如下图，由，

又为的中点，则，

等式两边平方得，

所以，

则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.

【点睛】

本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

19．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）可证明出，由折叠的性质得出，，利用直线与平面垂直的判定定理得出平面，再由，可得出平面；

（2）证明平面，由为的中点可知三棱锥的高为，计算出的面积，然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥的体积，即为所求结果.

【详解】

（1）在图甲中，直角梯形中，，，，

，则.

折叠后，在图乙中，，，又，平面.

，平面；

（2）由（1）知，，又，且，平面.

为的中点，所以，三棱锥的高为，

，易知四边形是矩形，则，

的面积为，

因此，.

【点睛】

本题考查立体几何的翻折问题，考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，在处理翻折问题时，要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

20．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，利用函数的单调性以及零点存在定理，说明函数在定义域上有唯一零点，再分析函数在该零点处函数值符号，可得证函数有唯一极值点；

（2）根据函数与关于直线，将直线平移后与分别与曲线、切于、，由此可得出的最小值.

【详解】

（1）由题意知，所以，

由单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，，

所以存在唯一的，使得，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

因此，函数有唯一的极值点；

（2）由于与互为反函数，两个函数图象关于直线对称，

如下图，

将直线平移使得平移后的直线与函数的图象相切，，

令，，可得点.

将直线平移使得平移后的直线与函数的图象相切，，

令，，可得点，

因此，、两点间距离的最小值为.

【点睛】

本题考查函数极值点个数，同时也考查反函数对称性的应用，在求解函数极值点个数问题时，要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

21．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，利用韦达定理并结合条件可求出实数的值，由此得出抛物线的方程；

（2）由（1）得出直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出关于的表达式，可得出的最小值.

【详解】

（1）因为直线过焦点，设直线的方程为，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，

所以有，，，因此，抛物线的方程；

（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为，设直线的方程为，

联立抛物线的方程，所以，，

则有，，

因此

.

因此，当且仅当时，有最小值.

【点睛】

本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题.

22．（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为.

【解析】

【分析】

（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由可将两曲线的方程化为极坐标方程；

（2）作出图形，设点、的极坐标分别为、，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出、的表达式，可得出，利用基本不等式可求出的最大值.

【详解】

（1）由曲线的参数方程为（其中为参数），

所以曲线的普通方程为，

由则曲线的极坐标方程为.

又曲线的普通方程为，

由，得曲线的极坐标方程为；

（2）如图，由题意知，

点、的极坐标分别为、，

将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得，

，

，

，

当且仅当，即，不等式取等号，

因此，.

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及利用极坐标解决最值问题，解题时要注意极坐标方程法的适用情况，考查运算求解能力，属于中等题.

23．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意得出关于的方程的两根分别为和，可得出，从而求出实数的值；

（2）利用绝对值三角不等式得出函数的最小值为，可得出，再令，可得出，解出，即，从而可解出实数的取值范围.

【详解】

（1）由题意得出关于的方程的两根分别为和，

则，即，解得；

（2）当时，由绝对值三角不等式得，

又对一切实数恒成立，所以，

令，化简得，解得，

所以，实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.