Riemann积分 Lebesgue积分

摘  要  积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。本文主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系.

关键词  黎曼积分;勒贝格积分;区别;联系

一、Lebesgue积分的引入

1、R积分的定义

设是定义在上的有界函数，任取区间的一个划分T

将区间分成n部分，在每个小区间上任取一点,1,2,3,….作和

令，如果对任意的分发与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上的黎曼积分，记为 

如果设=sup{f(x):};

=inf{f(x):}

则有f（x）在[a,b]上Riemann可积

=

对任意的ε,η>0,总存在一个划分T，使得对任意的划分，只要比T更精细，则有所有振幅ε的小区间的长度之和小于ε。

注：振幅为区间内任意两点距离的上确界。

2、Riemann积分的局限性

 a、从Riemann可积的充分必要条件可看出, 可积性涉及到分割小区间（）的长度以及函数在其上的振幅（）。若要函数可积, 则在r趋于0的过程中（）不能缩小的那些对应项子区间的长度必须是无穷小。也就是说, Riemann函数的不连续点可用长度为任意小的区间簇覆盖, 粗略地说, Riemann可积函数必须是“ 基本上是连续的”

b、积分运算不完全是微分运算的逆运算（微积分基本定理的条件太严）

微积分基本定理在微积分理论中起的重要作用是不言而喻的。设

 定理：若f(x)在 [a,b]上可导，且(x)在[a,b]上是Riemann可积的，则有

X属于a到b。

这一结论沟通了积分和微分之间的关系, 然而它必须受到(x)在[a,b]上是可积的条

件的。在1881年valterra就作出了可微函数, 其导数是有界的, 但导数不是

可积的。可见微积分基本定理这一重要的结论的适应面过窄。

c、积分与极限可交换的条件太严。

数列的极限与积分交换次序是在数学分析中经常碰到的问题。然而, 要交换次序往往需要函数列一致收敛, 这一条件太强, 不易满足, 也不易验证。"

,例：设{rn}为[0,1]中全体有理数，作[0,1]上的函数列

………

则 {fn(x)}在[a,b]上Riemann可积,但

不Riemann可积。

故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即：

不一定成立。

再说，设|,|是[a,b]上的可积函数列，且||，n=1,2,……

以及

注:和一致收敛于

则必有dx=dx

然而f(x)的积分可能是不存在的。也就是说, 上述积分的极限并不依赖于本身，而依赖于f（x）。既然如此，定义积分为

也无妨, 这说明Riemann积分的定义太窄。

3、Lebesgue积分应运而生

由于Riemann积分存在着种种缺陷,1902年，Lebesgue发表了一篇标志着古典分析向近代分析转折的论文“ 积分、长度与面积”。他其积分理论不仅基本包含了Riemann积分理论, 而且在较大程度上克服了Riemann积分的缺陷

将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加以归类。

具体的定义如下

（1）非负简单函数的积分：设f是可测集D上的非负简单函数。于是有D的分划{}及非负实数组使

此时我们定义f在D上的Lebesgue积分为

并且当<时，称f在D上L可积。（2）非负可测函数的积分：设f(x)是可测集D上的非负可测函数，{}是收敛于f(x)的非负上升简单函数列。此时f在D上的Lebesgue积分定义为

称

若积分值有限，则称f(x)在D上Lebesgue可积。

（3）一般可测函数的Lebesgue积分：对每一个,令

则和分别称为函数f的正部和负部。若和的Lebesgue积分不同时为，则f在D上的Lebesgue积分定义为

=—此外当有限时，称f在D上L可积。

二、Riemann积分与Lebesgue积分的主要的区别与联系

1、可积函数的连续性

闭区间【a，b】连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是连续函数，比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼可积的。那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件。它将函数的可积性归结到了函数的内在性质—连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚。这个可积条件是：函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集。这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的。

定理 为使【a，b】上的有界函数f是R可积，充分必要条件是f在【a，b】上几乎处处连续。此外当f为R可积时，f必L可积，而且两个积分值相等。

例如黎曼函数

这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的.（因为该函数在区间(0,1)内的极限处处为0）。虽然在中有无穷多个有理点，即黎曼函数在上的不连续点有无穷多个，但这个函数在上仍是黎曼可积的，且有

事实上，中的全体有理数组成一个零测度集，所以黎曼函数是黎曼可积的.

 现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质。

（积分的绝对连续性）设，则对任何>0，存在>0，使得对D上的任何可测子集A,只要m(A)<,就有

||<.

2．积分的可加性

这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性。黎曼积分具有有限可加性，但没有可数可加性。但对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可列可加性。

设f,是D的一个分化，则

Lebesgue积分克服了黎曼积分的缺陷。对于这两种积分的可加性，究其原因，我们将不难理解。我们知道，黎曼积分建立在区间之上，勒贝格积分建立在勒贝格测度之上，而区间只具有有限可加性，勒贝格测度具有可数可加性，由于它们之间的密切联系，区间和勒贝格测度的性质也就反映到了相应的积分上来了。

3．积分极限定理

Riemann积分极限号与积分号要交换次序往往需要函数列一致收敛，但Lebesgue积分的交换条件就弱了一些，我们有如下两个定理

（Lovi单调收敛定理）设f和都是可测集D上的非负可测函数，而且对几乎所有的，单增收敛于f(x),则

（控制收敛定理）设f和都是可测集D上的可测函数。若以下两条件满足：

（i）存在，是对每一个n1，在D上几乎处处有；

（ii）在D上几乎处处收敛于f(x)

则有f和fn在D上都可积，并且

推广设和是可测集E上的两列可测函数，且，今若

f，并且则

。

与黎曼积分的有界收敛定理相比，显然条件宽松得多，从而使我们又一次看到了勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性。

4. f可积与|f|可积的不同，在黎曼可积中若f黎曼可积，则绝对可积，但反过来不一定成立，但勒贝格积分中可积与绝对可积等价

三、总结

从这两种积分的定义可以看出，它们的主要区别是：黎曼积分将给定函数的定义域分小而产生的，而勒贝格积分是划分函数的值域而产生的。前者的优点是的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大；后者的优点是函数在上的振幅，但一般不再是区间，而是可测集。其度量的值一般不易给出。然而就是这一点点差别，使这两种积分产生了本质的区别，使勒贝格积分具备了很多为黎曼积分所不具有的良好性质，比黎曼积分的应用范围更广泛，使用起来更方便。由此可见，比起黎曼积分来，勒贝格积分是向前迈了一大步。