2020年安徽中考数学试题及答案

一、选择题

1．下列各数中，比﹣2小的数是（）

A．﹣3B．﹣1C．0D．2

2．计算（﹣a）6÷a3的结果是（）

A．﹣a3B．﹣a2C．a3D．a2

3．下面四个几何体中，主视图为三角形的是（）

A．B．

C．D．

4．安徽省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示为（）

A．5.47×108B．0.547×108C．547×105D．5.47×107

5．下列方程中，有两个相等实数根的是（）

A．x2+1＝2x B．x2+1＝0C．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0

6．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）

A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是13 7．已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（）

A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（2，3）D．（3，4）

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（）

A．B．C．D．4

9．已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（）

A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形

B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°

C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB

D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC

10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A．

B．

C．D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．计算：﹣1＝．

12．分解因式：ab2﹣a＝．

13．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为．

14．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：

（1）∠PAQ的大小为°；

（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解不等式：＞1．

16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上．

（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；

（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．观察以下等式：

第1个等式：×（1+）＝2﹣，

第2个等式：×（1+）＝2﹣，

第3个等式：×（1+）＝2﹣，

第4个等式：×（1+）＝2﹣．

第5个等式：×（1+）＝2﹣．

…

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：；

（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．

18．如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．

（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．

（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；

时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份a x a﹣x

2020年4月份 1.1a 1.43x

（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．

20．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．

（1）求证：△CBA≌△DAB；

（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

六、（本题满分12分）

21．某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”

问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为°；

（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；

（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．

七、（本题满分12分）

22．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．

（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；

（2）求a，b的值；

（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．

八、（本题满分14分）

23．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．

（1）求证：BD⊥EC；

（2）若AB＝1，求AE的长；

（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．

1．下列各数中，比﹣2小的数是（）

A．﹣3B．﹣1C．0D．2

【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．

解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．

故选：A．

2．计算（﹣a）6÷a3的结果是（）

A．﹣a3B．﹣a2C．a3D．a2

【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．

解：原式＝a6÷a3＝a3．

故选：C．

3．下面四个几何体中，主视图为三角形的是（）

A．B．

C．D．

【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．

解：A、主视图是圆，故A不符合题意；

B、主视图是三角形，故B符合题意；

C、主视图是矩形，故C不符合题意；

D、主视图是正方形，故D不符合题意；

故选：B．4．安徽省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示为（）

A．5.47×108B．0.547×108C．547×105D．5.47×107

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

解：54700000用科学记数法表示为：5.47×107．

故选：D．

5．下列方程中，有两个相等实数根的是（）

A．x2+1＝2x B．x2+1＝0C．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．

解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；

B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；

C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；

D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．

故选：A．

6．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）

A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是13【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．

解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；

将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D 符合题意；

＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；

S2＝[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差为，于是选项C不符合题意；

故选：D．

7．已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（）

A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（2，3）D．（3，4）

【分析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论．

解：A、当点A的坐标为（﹣1，2）时，﹣k+3＝3，

解得：k＝1＞0，

∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；

B、当点A的坐标为（1，﹣2）时，k+3＝﹣2，

解得：k＝﹣5＜0，

∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；

C、当点A的坐标为（2，3）时，2k+3＝3，

解得：k＝0，选项C不符合题意；

D、当点A的坐标为（3，4）时，3k+3＝4，

解得：k＝＞0，

∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．

故选：B．

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（）

A．B．C．D．4

【分析】在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，

∴AB＝，

∴，

∵∠DBC＝∠A．

∴cos∠DBC＝cos∠A＝，

∴，

故选：C．

9．已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（）

A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形

B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°

C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB

D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC

【分析】根据垂径定理，平行四边形的性质判断即可．

解：A、如图，

若半径OB平分弦AC，则四边形OABC不一定是平行四边形；原命题是假命题；

B、若四边形OABC是平行四边形，

则AB＝OC，OA＝BC，

∵OA＝OB＝OC，

∴AB＝OA＝OB＝BC＝OC，

∴∠ABO＝∠OBC＝60°，

∴∠ABC＝120°，是真命题；

C、如图，

若∠ABC＝120°，则弦AC不平分半径OB，原命题是假命题；

D、如图，

若弦AC平分半径OB，则半径OB不一定平分弦AC，原命题是假命题；

故选：B．

10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A．

B．

C．

D．

【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．

解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．

∵△ABC和△DEF均为等边三角形，

∴△GEJ为等边三角形．

∴GH＝EJ＝x，

∴y＝EJ•GH＝x2．

当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．

如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．

y＝FJ•GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．计算：﹣1＝2．

【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．

解：原式＝3﹣1＝2．

故答案为：2．

12．分解因式：ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．

解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1），

故答案为：a（b+1）（b﹣1）

13．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为2．

【分析】分别求出矩形ODCE与△OAB的面积，即可求解．

解：一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y ＝k，令y＝0，则x＝﹣k，

故点A、B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k），

则△OAB的面积＝OA•OB＝k2，而矩形ODCE的面积为k，

则k2＝k，解得：k＝0（舍去）或2，

故答案为2．

14．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：

（1）∠PAQ的大小为30°；

（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为．

【分析】（1）由折叠的性质可得∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AQP＝90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，即可求解；（2）由平行四边形和折叠的性质可得AR＝PR，由直角三角形的性质可得AP＝2PB＝2QR，AB＝PB，即可求解．

解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，

∵∠QRA+∠QRP＝180°，

∴∠D+∠C＝180°，

∴AD∥BC，

∴∠B+∠DAB＝180°，

∵∠DQR+∠CQR＝180°，

∴∠DQA+∠CQP＝90°，

∴∠AQP＝90°，

∴∠B＝∠AQP＝90°，

∴∠DAB＝90°，

∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，

故答案为：30；

（2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，

∵四边形APCD是平行四边形，

∴AD＝PC，

∴AR＝PR，

又∵∠AQP＝90°，∴QR＝AP，

∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，

∴AP＝2PB，AB＝PB，

∴PB＝QR，

∴＝，

故答案为：．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．解不等式：＞1．

【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．

解：去分母，得：2x﹣1＞2，

移项，得：2x＞2+1，

合并，得：2x＞3，

系数化为1，得：x＞．

16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上．

（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；

（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．

【分析】（1）分别作出A，B的对应点A1，B2即可．

（2）作出点A1的对应点A2即可．

解：（1）如图线段A1B1即为所求．

（2）如图，线段B1A2即为所求．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．观察以下等式：

第1个等式：×（1+）＝2﹣，

第2个等式：×（1+）＝2﹣，

第3个等式：×（1+）＝2﹣，

第4个等式：×（1+）＝2﹣．

第5个等式：×（1+）＝2﹣．

…

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：×（1+）＝2﹣；

（2）写出你猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣（用含n的等式表示），并证明．

【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；

（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．

解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；

（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．

证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，

∴等式成立．故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．

18．如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．

（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）

【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可．

解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，

∴tan42.0°＝≈0.9，

∴AD≈0.9BD，

在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，

∴tan36.9°＝≈0.75，

∴CD≈0.75BD，

∵AC＝AD﹣CD，

∴15＝0.15BD，

∴BD＝100米，

∴CD＝0.75BD＝75（米），

答：山高CD为75米．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．

（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；

时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）

2019年4月份a x a﹣x

2020年4月份 1.1a 1.43x 1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．

【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a，x的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；

（2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代数式表示），再将其代入中即可求出结论．

解：（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，

∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元．

故答案为：1.04（a﹣x）．

（2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），

解得：x＝，

∴＝＝＝0.2．

答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．

20．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．

（1）求证：△CBA≌△DAB；

（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

在Rt△CBA与Rt△DAB中，

∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；

（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，

∴∠E＝∠BFE，

∵BE是半圆O所在圆的切线，

∴∠ABE＝90°，

∴∠E+∠BAE＝90°，

由（1）知∠D＝90°，

∴∠DAF+∠AFD＝90°，

∵∠AFD＝∠BFE，

∴∠AFD＝∠E，

∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，

∴∠DAF＝∠BAF，

∴AC平分∠DAB．

六、（本题满分12分）

21．某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”

问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为60，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为108°；

（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；

（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．

【分析】（1）用被调查的职工人数乘以最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数；

再由四种套餐人数之和等于被调查的人数求出C对应人数，继而用360°乘以最喜欢C 套餐人数所占比例即可得；

（2）用总人数乘以样本中最喜欢B套餐的人数所占比例即可得；

（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得答案．

解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人），

则最喜欢C套餐的人数为240﹣（60+84+24）＝72（人），

∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360°×＝108°，

故答案为：60、108；

（2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×＝336（人）；

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，

∴甲被选到的概率为＝．

七、（本题满分12分）

22．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．

（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；

（2）求a，b的值；

（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．

【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y ＝x+m上；（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；

（3）设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（，+q），根据题意得出+q ＝+1，由抛物线y＝﹣x+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q＝﹣﹣1＝﹣（p﹣1）2+，从而得出q的最大值．

解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：

∵直线y＝x+m经过点A（1，2），

∴2＝1+m，解得m＝1，

∴直线为y＝x+1，

把x＝2代入y＝x+1得y＝3，

∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；

（2）∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，

∴抛物线只能经过A、C两点，

把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，

解得a＝﹣1，b＝2；

（3）由（2）知，抛物线为y＝﹣x2+2x+1，

设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（，+q），

∵顶点仍在直线y＝x+1上，

∴+q＝+1，

∴q＝﹣﹣1，

∵抛物线y＝﹣x+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，

∴q＝﹣﹣1＝﹣（p﹣1）2+，

∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．

八、（本题满分14分）

23．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．（1）求证：BD⊥EC；

（2）若AB＝1，求AE的长；

（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．

【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，则结论得出；

（2）证明△AEF∽△DCF，得出，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a ＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解方程即可得出答案；

（3）在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，

∴∠EAF＝∠DAB＝90°，

又∵AE＝AD，AF＝AB，

∴△AEF≌△ADB（SAS），

∴∠AEF＝∠ADB，

∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，

即∠EGB＝90°，

故BD⊥EC，

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AE∥CD，

∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，

∴△AEF∽△DCF，

∴，

即AE•DF＝AF•DC，

设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解得或（舍去），

∴AE＝．

（3）如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，

在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），

∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，

∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△PAG为等腰直角三角形，

∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．