八年级数学培优竞赛专题02 乘法公式

阅读与思考

乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：

1．熟悉每个公式的结构特征；

2．正用   即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；

3．逆用   即将公式反过来逆向使用；

4．变用   即能将公式变换形式使用；

5．活用   即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．

例题与求解

【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是         ．

（全国初中数字联赛试题）

解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．

【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是(     )

A．          B．          C．          D．        

（山西省太原市竞赛试题）

（2）已知满足，则的值等于（    ）

A．2             B．3             C．4                D．5                        

（河北省竞赛试题）

解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．

【例3】计算下列各题：

（1）；                    （天津市竞赛试题）

（2）；                    （“希望杯”邀请赛试题）

（3）．

解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．

【例4】设，求的值．                     （西安市竞赛试题）

解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．

【例5】观察： 

（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．

【例6】设满足求：

（1）的值；

（2）的值．

（江苏省竞赛试题）

解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．

能力训练

A级

1．已知是一个多项式的平方，则        ．       （广东省中考试题）

2．数能被30以内的两位偶数整除的是        ．

3．已知那么        ．     

（天津市竞赛试题）

4．若则        ．

5．已知满足则的值为        ． 

（河北省竞赛试题）

6．若满足则等于        ．

7．等于（     ）

A．            B．            C．              D． 

8．若，则的值是（     ）

A．正数               B．负数                C．非负数              D．可正可负

9．若则的值是（   ）

A．4        B．19922              C．21992            D．41992                

（“希望杯”邀请赛试题）

10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？                                           （“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）

11．设，证明：是37的倍数．                  （“希望杯”邀请赛试题）

12．观察下面各式的规律：

写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．

B级

1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为           ．                                   （《学习报》公开赛试题）

1

1    2    1

1    3    3    1

1    4    6    4    1

1    5    10    10    5    1

…    …    …    …    …    …    …

2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为           ． 

（天津市竞赛试题）

3．已知满足等式则           ．

4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为           ．

（全国初中数赛试题）

5．已知，则多项式的值为（     ）

A．0        B．1        C．2        D．3

6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（    ）

A．16种        B．14种        C．12种        D．10种            

（北京市竞赛试题）

7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（    ）

A．1        B．2        C．3        D．4            

（山东省竞赛试题）

8．已知，则的值是（    ）

A．3        B．9        C．27        D．81 

 （“希望杯”邀请赛试题）

9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．                  

 （天津市竞赛试题）

11．若，且， 求证：．

12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如

因此4，12，20这三个数都是神秘数．

（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？               （浙江省中考试题）