【期望杯】2011年九年级数学竞赛试题(含答案)

∴点（3，4）满足反比例函数，

∴4=，即m2+2m﹣1=12，

∴点（3，4）是反比例函数为y=上的一点，

∴xy=12；

A、∵x=2，y=6，∴2×6=12，故本选项正确；

B、∵x=2，y=﹣6，∴2×（﹣6）=﹣12，故本选项错误；

C、∵x=4，y=﹣3，∴4×（﹣3）=﹣12，故本选项错误；

D、∵x=3，y=﹣4，∴3×（﹣4）=﹣12，故本选项错误；

故选A．

由第一个图可得：

|x+y|+|x﹣y|﹣2y=x+y+y﹣x﹣2y=0，成立；

由第二个图可得：

|x+y|+|x﹣y|﹣2y=x+y+x﹣y﹣2y=2x﹣2y≠0，不成立；

由第三个图可得：

|x+y|+|x﹣y|﹣2y=x+y+y﹣x﹣2y=0，成立；

由第四个图可得：

|x+y|+|x﹣y|﹣2y=x+y+x﹣y﹣2y=2x﹣2y≠0，不成立；

所以可能成立的有2种．

故选B．

y轴x轴的交点为C，D，连接各点这时周长最小作，容易得到m、n 的关系．

有：=﹣（m为负数）．

故选C．

∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG，

∴∠BAE=30°，

∴∠EAD=90°﹣30°=60°，

∵AE=AD，AG公共，

∴Rt△ADG≌Rt△AEG，

∴∠DAG=30°，

而AD=1，

∴AD=GD，

∴GD=，

∴S△ADG=•AD•DG=×1×=，

∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣2S△ADG=1﹣2×=1﹣．

故选D．

（1）当x≥3时，此函数解析式为y=2，函数图象在第一象限，以（3，2）为端点平行于x轴的射线，故可排除C、D；

（2）当x＜3时，此函数是反比例函数，图象在二、四象限，可排除A．

故选B．

三角形数阵中1，3，6，10，15，…这列数的第50个数．

1，3，6，10，15，…中，

1=×1×（1+1）

3=×2×（2+1）

6=×3×（3+1）

10=×4×（4+1）

15=×5×（5+1）

…

由此可得到第n个数表示为：n（n+1）．

因此第50个数为：×50×（50+1）=1275．

即即第50行的最后一个数是1275．

故选：D．

∴△BEF为直角三角形，

∴∠FEB=90°，而四边形ABCD为正方形，

∴∠D=∠C=90°，

∴△FDE∽△ECB，

∴DE：CB=EF：EB，即DE：CB=3：4，

∴设DE为3x，则BC是4x，

∴EC是x，

∵三角形EBC为直角三角形，

∴EB2=EC2+BC2，

∴16=x2+（4x）2，

∴x2=，

∵S正方形ABCD=（4x）2=cm2．

故选D．

如所给图，5个点三边同色的三角形最少有0个

再加上第6个点A，则三边同色三角数至少为5个

下证小于5个不行

非同色三角形组成条件，就是只要有一个点出发的两条线段是非同色的，则其组成的三角一定为非同色的．所以，分以下情况：

1，包含A点：其他五条为蓝色，组成5个非同色三角形

2，未包含A点：因为5个点三边同色的三角形最少有0个，所以最多有10个非同色三角形

如此，三边同色三角数至少为20﹣5﹣10=5个

所以a，2b是方程x﹣zx+100=0的两个根，那么z2﹣400≥0，

即z≥20（z为正数），

因此篱笆最少需要20m长．

∴EF=BC=EF，DF=AB=AF，DE=AC=AE．

∴△DEF∽△ABC，且相似比为1：2，

则S△ABC=4S△DEF=4×3.5=14．

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；三条对应边的比相等的两个三角形相似；

相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线的性质．

可以直接根据三边对应成比例证明△DFE和△ABC相似，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．

∴∠B=∠C，

∴∠A+2∠B=180°①，

∵△DEF是等边三角形，α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，

∴∠1=120°﹣β，∠2=120°﹣γ，

在△AEF中，∠A+∠1+γ=180°，即∠A+120°﹣β+γ=180°②，

在△BDF中，∠B+α+∠2=180°，即∠B+α+120°﹣γ=180°③，

①②③联立，解得α=．

故答案为：α=．

0+4=4    2+4=6   4+4=8，所以第四个正方形右上角的数为，6+4=10．

8=2×4﹣0  22=4×6﹣2  44=6×8﹣4   所以m=8×10﹣6=74．

故答案为：74．

设甲车有x辆，乙车有8﹣x辆，则40x+50（8﹣x）≥360

解得：x≤4

整数解为1、2、3、4．

汽车的租金W=400x+480（8﹣x）即W=﹣80x+3840

W的值随x的增大而减小，因而当x=4时，W最小．

故取x=4，W的最小值是3520元．

∵AN=BM，AB=AC，

∴AN：CN=a； 

在△BAN和△CBM中：

∵△ABC为正三角形，

∴AB=BC，∠BAN=∠CBM=60°，

又∵BM=AN，

∴△BAN≌△CBM（SAS），

∴S△BAN=S△CBM，

∴S△BAN﹣S△BOM=S△CBM﹣S△BOM，

∴S四边形AMON=S△BOC；

又∵S△OBC=2，

∴S四边形AMON=2； 

∴S△AON=S四边形AMON﹣S△AOM=2﹣m…①

而S△ABC=7，

∴S△BOM+S△CON=S△ABC﹣S△BOC﹣S四边形AMON=3； 

∵△AOM和△BOM的高相等（都是点O到AB得距离），

∴S△BOM：S△AOM=BM：AM=a，

∴S△BOM=am…②

∴S△CON=3﹣S△BOM=3﹣am，

同理，S△AON：S△CON=AN：CN=a，

∴（2﹣m）：（3﹣am）=a，即2﹣m=3a﹣a2m…③

同理，S△ACM：S△BCM=AM：BM=1：a，

∴[m+（2﹣m）+（3﹣am）]：（am+2）=1：a，即（5﹣am）：（am+2）=1：a，

∴am+2=5a﹣a2m…④

④﹣③得，（a+1）m=2a 

∴m=； 

将m值代入③式，得

2﹣=3a﹣a2•，即（a+1）（2a﹣1）（a﹣2）=0，

∴a=1，或者a=2； 

当a=时，；

当a=2时，；

故答案为：或．

（2）只要证出点P的坐标符和生成函数的解析式即可．

y=m（x+1）+n（2x）

=m（1+1）+n（2×1）

=2m+2n

=2（m+n），

∵m+n=1，

∴y=2；

（2）点P在此两个函数的生成函数的图象上，

设点P的坐标为（a，b），

∵a1×a+b1=b，a2×a+b2=b，

∴当x=a时，y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2），

=m（a1×a+b1）+（a2×a+b2）

=mb+nb=b（m+n）=b，

即点P在此两个函数的生成图象上．

整理得，2x2+2x+a+4=0，①

△=b2﹣4ac=22﹣4×2×（a+4）=﹣8a﹣28，

（1）当方程①有两个相等的实数根时，△=0，

即﹣8a﹣28=0，

解得a1=﹣，

此时方程①有一个根x=﹣，验证可知x=﹣的确满足题中的等式，

（2）当方程①有两个不相等的实数根时，△＞0，

即﹣8a﹣28＞0，

解得a＜﹣，

（i）若x=1是方程①的根，则原方程有增根x=1，代入①得，2+2+a+4=0，

解得a2=﹣8，

此时方程①的另一个根x=﹣2，它的确也满足题中的等式；

（ii）若x=﹣1是方程①的根，则原方程有增根x=﹣1，代入①得，2﹣2+a+4=0，

解得a3=﹣4，

此时方程①的另一个根x=0，验证可知x=0的确满足题中的等式；

因此a1=﹣，a2=﹣8，a3=﹣4即为所求，

a1+a2+a3=﹣﹣8﹣4=﹣．

故答案为：﹣．

，

，

解得：t=25，a=40，

经检验：t=25，a=40是原方程的解．

答：汽车在途中排除故障共花了40分钟．

（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨；

（3）易得|AM﹣MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标．

得，

解得，

∴抛物线的解折式为y=x2﹣x+1；（2分）

（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2﹣m+1，

即E点的坐标（m，m2﹣m+1），

又∵点E在直线y=x+1上，

∴m2﹣m+1=m+1

解得m1=0（舍去），m2=4，

∴E的坐标为（4，3）．（4分）

（Ⅰ）当A为直角顶点时，

过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（﹣2，0），

由Rt△AOD∽Rt△P1OA得

即，

∴a=，

∴P1（，0）．（5分）

（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点，

由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，

即=，

∴EP2=，

∴DP2==

∴a=﹣2=，

P2点坐标为（，0）．（6分）

（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、0），

由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，

由得，

解得b1=3，b2=1，

∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0），（8分）

综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；

（3）抛物线的对称轴为，（9分）

∵B、C关于x=对称，

∴MC=MB，

要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，

由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大．（10分）

易知直线AB的解折式为y=﹣x+1

∴由，

得，

∴M（，﹣）．（11分）

求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．