2010年春季高考数学真题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，考试时间90分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共30小题，每小题2分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出)

1．若集合M＝{0}，则下列关系中正确的是

(A) M＝

2．集合{ x |－2≤x＜3} 用区间表示为

(A) (－2，3) (B) [－2，3] (C) [－2，3) (D) (－2，3]

3．已知2，m，8构成等差数列，则实数m 的值是

(A) 4 (B) 4或－4 (C) 10 (D) 5

4．函数y＝lg(1－x)＋1x＋2 的定义域是

(A) { x | x＜1 } (B) { x | x＜1且x≠－2 }

(C) { x | x≤1 } (D) { x | x≤1且x≠－2 }

5．已知点M(2，－3)，N(－5，1)，则向量→MN 的坐标是

(A) (－7，4) (B) (7，－4) (C) (－3，－2) (D) (－10，－3)

6．若a2＝N (a＞0且a≠1)，则有

(A) log 2 a＝N (B) log 2 N＝a (C) log a N＝2 (D) log N a＝2

7．不等式x2＋2x－3＞0的解集是

(A) { x | x＜－3或x＞1} (B) { x |－3＜x＜1}

(C) { x | x＜－1或x＞3} (D) { x |－1＜x＜3}

8．书架上有5本不同的课外书，有3位同学每人从书架上各取一本，不同取法的种数是(A) 10 (B) 60 (C) 125 (D) 243

9．已知二次函数f (x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x－5是偶函数，则实数m 的值是

(A) ＋－2 (B) 0 (C) 2 (D) －2

10．函数y＝f (x) 的图象与直线x＝k (k 是常数)的交点的个数

(A) 有且只有一个(B) 至少有一个(C) 至多有一个(D) 有一个或两个

11．已知角终边上一点P(5，12)，则的值是

(A) 125 (B) 512 (C) 513 (D) 1213

12．给出下列命题：

①|→BA|＝|→AB|；

②向量→a与向量→b的方向相同或相反，则→a//→b；

③若→a，→b都是单位向量，则→a＝→b；

④方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是共线向量；

其中，正确的命题是

(A) ①②(B) ①④(C) ①②④(D) ①②③④

13．下列四个点中，在曲线x2－2 x y＋y2＝0上的点是(A) (0，1) (B) (－1，1) (C) (1，－1) (D) (－1，－1)

14．函数f (x)＝x3－x2＋3的导函数是

＝3 x2－2 x＋3 ＝x2－x

(C) f ＝3 x2－2 x ＝3 x2＋2 x

15．依次抛掷三枚质地均匀的硬币，用(x，y，z) 表示这个随机试验的结果，其中x，y，z 分别表示第1，2，3枚硬币朝上一面是正面或反面的情况，那么这个随机试验的样本空间中的基本事件的个数是

(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 27

16．已知集合M＝{ x | p }，N＝{ x | q }，且，则

(A) p 是q 的充分条件(B) p 是q 的必要条件

(C) p 是q 的充要条件(D) p既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件17．若点P(－1，－2)关于坐标原点的对称点是，2b)，则实数a，b 的值分别是(A) 110 ，－1 (B) 110 ，1 (C) 10，－1 (D) 10，1

18．已知数列{an} 的前n 项和Sn ＝n2＋n，则第二项a2 的值是

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

19．8名同学聚会时，每两人握手一次，则握手的总次数是

(A) 12 (B) 18 (C) 28 (D) 56

20．已知|→a|＝3，|→b|＝4，且＜→a，→b＞＝，则|→a－→b| 的值是

(A) 1 (B) 13 (C) 7 (D) 37

21．二元一次不等式x＋y－2≥0表示的区域是

22．若＝35 ，，则－的值是

(A) －3＋4310 (B) 3＋4310 (C) －3－4310 (D) 3－4310

23．从3名男生和4名女生中，任选2人参观世博会，恰好选到1名男生和1名女生的概率是

(A) 47 (B) 37 (C) 27 (D) 17

24．已知点M(1，2)，N(3，4)，则以线段MN 为直径的圆的标准方程是

(A) (x＋2)2＋(y＋3)2＝2 (B) (x－2)2＋(y－3)2＝2

(C) (x＋2)2＋(y＋3)2＝8 (D) (x－2)2＋(y－3)2＝8

25．如图，点P，Q，M，N 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与MN 成异面直线的一个图是

26．曲线 f (x)＝x3＋2 x －4在点 M (1，－1) 处的切线方程是

(A) y ＝5 x －4 (B) y ＝2 x －3 (C) y ＝3 x ＋2 (D) y ＝5 x －6

27．抛物线 x2＝4 y 的准线 l 与 y 轴交于点 P ，l 绕点 P 按逆时针方向旋转，则 l 恰好与抛物线第一次相切时，l 旋转的角度是

(B) － (D) －

28．已知 y ＝f (x) 是奇函数，在区间 (－∞，－1] 上是减函数且有最小值3，则 y ＝f (x) 在

区间 [1，＋∞) 上

(A) 是增函数且有最小值3 (B) 是增函数且有最小值－3

(C) 是减函数且有最大值3 (D) 是减函数且有最大值－3

29．函数 y ＝3 sin(2 x －的单调递增区间是

(A) [－π12＋，5π12＋（） (B) [－＋，＋（） ＋，＋（） ＋，＋（）

30．已知双曲线 x2 2 －y2 k ＝1的两个焦点分别是为 F1，F2，其一条渐近线方程是 y ＝x ，若点P(m ，1)在双曲线上，则 →→PF2 的值是

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 2

第Ⅱ卷（非选择题，共40分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分．)

31．已知底面半径为1的圆柱，其侧面展开图是正方形，则此圆柱的侧面积是 ．

32．若直线 l 过两点(－2，0)，(0，1)，则直线 l 的一般式方程是 ．

33．已知 △ABC 中，b ＝3，c ＝2，∠C ＝，则∠B ＝ ．

34．函数 y ＝x2＋xx2＋1 的最大值是 ．

三、解答题(本大题共4小题，共28分．)

35．已知函数 f (x)＝A sin(ω x ＋，其中 A ＞0，ω＞0，＜，此函数的部分图象如图

所示．

求：(1) 函数 f (x) 的最小值和最小正周期；

(2) 函数 f (x) 的解析式；

(3) 函数 y ＝＋的最大值．(7分)

∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝90°，点E，F

分别是BC，DE 的中点，如图所示．

(1) 求证；

(2) 求线段AF 的长．(7分)

37．已知椭圆与双曲线x29－y227＝1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和是135，如图所示．

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 设点P 是该椭圆上一点，且＝，求△PF1F2 的面积．(7分)

38．某房地产公司在2010年对某户型推出两种售房方案：第一种是一次性付款方案，购房的优惠价为28.5万元；第二种是分期付款方案，要求购房时缴纳首付款10万元，然后从第二年起连续十年，在每年的购房日向银行付款2.25万元．

假设在此期间银行存款的年利率为3%，若不考虑其他因素，试问：对于购房者来说，采用哪种方案省钱？请计算说明．(7分)