人教版八年级下册数学18平行四边形教案

一、教学目的

1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．

2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．

3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．

二、重点、难点

4．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．

5．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

三、教学过程

1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？

平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？

你能总结出平行四边形的定义吗？

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．

①∵AB//DC ,AD//BC ，

 ∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； 

②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．

注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）

2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．

让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？ 

（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．

（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）

（2）猜想  平行四边形的对边相等、对角相等．

下面证明这个结论的正确性．

已知：如图ABCD，

求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．

分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．

（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．） 

证明：连接AC，

∵　 AB∥CD，AD∥BC，

∴　 ∠1＝∠3，∠2＝∠4．

又　 AC＝CA，

∴　 △ABC≌△CDA （ASA）．

∴　 AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．

又 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3，

∴　 ∠BAD＝∠BCD．

由此得到：

平行四边形性质1　　平行四边形的对边相等．

平行四边形性质2    平行四边形的对角相等．

四、例题分析

例1（见教材例1）

    例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，

求证：AF=CE．

分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．

五、随堂练习

1．填空：

（1）在ABCD中，∠A=，则∠B=    度，∠C=    度，∠D=    度．

（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A=   度，∠B=   度，∠C=   度，∠D=   度． 

（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB=    cm，BC=    cm，CD=    cm，CD=    cm．

2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．

六、作业设计：

第二课时 平行四边形的性质（2） 

一、教学目的

   1.理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．

2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．

3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．

二、重点、难点

4.重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．

5.难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

三、教学过程

1．复习提问：

（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：

（2）平行四边形的性质：

①具有一般四边形的性质（内角和是）．

②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．   

边：平行四边形的对边相等． 

2．【探究】：

请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？

结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；

         （2）平行四边形的对角线互相平分．

四、习题分析

例1（补充）　 已知：如图4－21， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．

求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

证明：在 ABCD中，AB∥CD，

∴　∠1＝∠2．∠3＝∠4．

又  OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，

∴  △AOE≌△COF（ASA）．

∴　OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．

∵  ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．

∴  AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD．

※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．

　　解略

例2已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．

分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算

五、随堂练习

1．在平行四边形中，周长等于48，

1已知一边长12，求各边的长

2已知AB=2BC，求各边的长

3已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长

2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．

3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成，的两条线段，则ABCD的周长是__   ___．

六、作业设计：

第三课时 平行四边形的判定（1）

一、教学目标：

1.在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．

2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．

3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．

二、重点、难点

重点：平行四边形的判定方法及应用．

难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．

三、教学过程

（一）温故知新

1.如图在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠A=65°，CE⊥BD于E，则∠BCE=                  .

2.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，已知AE=4，AF=6，□ABCD的周长为40，试求□ABCD的面积。

（二）学习新知

1.自学课本P86－P87，掌握平行四边形的判定定理，注意定理条件和结论，并会证明。

2.自学例子，并证明。  完成P87的练习。

（三）释疑提高

1.以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有    个。

2.一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，

这个四边形是            。

3.如图，在△ABC的边AB上截取AE=BF，过E作ED∥BC交AC于D，

过F作FG∥BC交AC于G，求证：ED+FG=BC。

4.如图，线段AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别为OC、OD的中点，连结AF、BE，求证AF∥BE。

5.如图，已知O是平行四边形ABCD对角线AC的中点，过点O作直线EF分别交AB、CD于E、F两点，（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）填空，不填辅助线的原因中，全等三角形共有         对。

6.如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论。

四.小结归纳

五.作业设计

第四课时 平行四边形的判定（2）

重点、难点

1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，根据不同条件能正确地选择判定方法．

2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用． 

一.温故知新

1.如图在□ABCD中，EF∥AD，MN∥AB，EF、MN相交于点P，图有    个

平行四边形。

2.如果平行四边形的两条对角线长分别为8和12，那么它的边长不能取（   ）

A. 10    B. 8    C. 7    D. 6

3.如图，在□ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O分别交AB、CD于E、F，AO、CO的中点分别为G、H，求证：四边形GEHF是平行四边形。

二.学习新知

1.自学课本P88平行四边形的判定定理，注意定理条件和结论，并会证明。

2.自学例子，掌握三角形中位线概念和中位线定理，并会证明。

3.掌握平行线间的距离。        4.完成P90面练习1.2.3。

三.释疑提高

1.如图，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，DE∥AC，若△ABC周长为8，则PD+PE+PF=        。

2.四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC交AD于E， DF平分∠ADC交BC于点F，求证：四边形BFDE是平行四边形。

3.已知□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H，求证：四边形EGFH为平行四边形。

4.如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120°，∠B=60°，∠BCD=150°，求AD的长。

5.已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，求证MN∥BC。

6.如图，在□ABCD中，EF∥AB交BC于E，交AD于F，连结AE、BF交于点M，连结CF、DE交于点N，求证：（1）MN∥AD；（2）MN=AD

四.课堂练习

1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（    ）．

（A）AB∥CD，AD=BC    （B）∠A=∠B，∠C=∠D  

（C）AB=CD，AD=BC     （D）AB=AD，CB=CD

2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，并说明理由．

五．作业设计

第五课时  平行四边形的判定（3）

一、教学目标：

1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．

2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．

3．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．重点、难点

二、重点、难点

1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．

2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）． 

三、课堂引入

1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？

2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？

3．创设情境

实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）

图中有几个平行四边形？你是如何判断的？

四、例习题分析

    例1（教材P98例4） 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．

    分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．

    如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．

（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

【思考】：

（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？ 

（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ 

（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）

三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．

〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）

五、课堂练习

1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是      m，理由是                               ．

2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．

3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

（1）若EF=5cm，则AB=     cm；若BC=9cm，则DE=      cm；

（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．

六．作业设计

第六课时  矩形（1）

一.明确目标，预习交流

【学习目标】

1. 掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。

2. 会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题。

【重、难点】

重点：矩形的性质。

难点：矩形的性质的灵活应用。

二.合作探究，生成总结

探讨1. 如图，矩形ABCD，对角线相交于O，①观察矩形的对角线AC和BD有何关系？②对角线所分成的三角形，你有什么发现？

归纳：矩形的性质（1）矩形的四个角都是       。

（2）矩形的对角线           。

（对角线所分成的四个三角形都是                  ）

练一练：

1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（        ）

A.对边相等    B.对角相等    C.对角互补    D.对角线平分

2.在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于O，∠ACD=30°，AB=4.

（1）判断△AOD的形状；

（2）求对角线AC、BD的。

3.如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，于E，于F。求证BE=CF。

4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.

A

P

第4题图

D

C

B

5.如图,矩形纸片ABCD,且AB=6cm,宽BC=8cm，将纸片沿EF折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长。

探讨2. 在Rt△ABC中,点O为斜边AC的中点，是考虑中线BO与斜边AC有何关系？

归纳：直角三角形斜边上的         等于          的一半。

练一练：

1.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是（       ）

A.26    B.13     C.8.5     D.6.5 

2.矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，AB=5则△ABO的周长为等于             .

三.达标测评

1.如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长＿＿。

2.矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=120°，AC+AB=18，则矩形的对角线长为          。

3.矩形的各边中点围成的四边形的周长是20 ，则矩形的对角线长为     。

4.如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是S1        S2

（填“＞”或“＜”或“＝”）

5. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，则矩形的对角线的长是（    ）

A、2        B、4        C、            D、

（第4题）

四．作业设计

第七课时  矩形（2）

【学习目标】：

1. 经历探索矩形的判定方法的过程，理解矩形的判定定理. 

2. 能利用矩形的判定解决问题． 

【学习重点】：理解矩形的判定定理，应用矩形的判定定理解决问题．

【学习难点】：合理应用矩形的判定定理解决问题．

一、矩形的性质回顾：

1、矩形是属于特殊的          。2、矩形的四个角都是       。3、矩形的对角线         。

4、矩形与对角线可以形成       三角形；若有60°的角存在很有可能有       三角形。

5、直角三角形斜边上的    线是斜边长的        。

二、矩形的判定：

矩形的判定方法有：

1、有一个角是      的平行四边形是矩形；  

2、对角线      的平行四边形是矩形；      

3、有    个角是直角的        是矩形。

例题讲解：

1、如图，□ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10。

求证：四边形ABCD是矩形。

2、如图，□ABCD中，∠1=∠2，此时

四边形ABCD是矩形吗？为什么？

3、如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于点A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠CAN、∠CAF的

角平分线，求证：四边形ABCD是矩形。

练习：

1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（     ）

A、对角线相等    B、对角线垂直    C、对角线互相平分且相等  D、对角线垂直且相等

2、下面命题正确的个数是（     ）

①矩形是轴对称图形；     ②两条对角线相等的四边形是矩形；

③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形

A、①③④    B、②③     C、①④      D、①②③

3、如图，AO=CO，BO=DO，要使它变为矩形，需要添加的条件是（     ）

A、AB=CD      B、AD=BC      C、AB=BC      D、AC=BD

4、如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请添加一个条件，使□ABCD变为矩形，需要添加的条件是       。（写一个即可）

5、如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC，DF⊥BC，求证：四边形AEFD是矩形。

6.如图，在□ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE．

求证：（1）△ABF≌△DCE；    （2）四边形ABCD是矩形．

7、已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，

求证：四边形EFGH是矩形．

三．作业设计

第八课时 菱  形（1）

一、教学目的

　　1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．

　　2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．

　　3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．

　　4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．

二、重点、难点

1．教学重点：菱形的性质1、2．

　　2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用． 

三、课堂引入

　　1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？

2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】　菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．

让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．

四、习题分析

例1 （补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 

　　求证：∠AFD=∠CBE． 

证明：∵　四边形ABCD是菱形，

∴　 CB=CD， CA平分∠BCD．

∴　 ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，

∴   △BCE≌△COB（SAS）．

∴　 ∠CBE=∠CDE． 

∵　在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC

∴　∠AFD=∠CBE．

    例2 （教材P108例2）略

五、随堂练习

1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为               ．

2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．

3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．

4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE． 

六、作业设计：

第九课时 菱形（2）

一、教学目的

1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；

2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

二、重点、难点

1．教学重点：菱形的两个判定方法．

2．教学难点：判定方法的证明方法及运用． 

三、课堂引入

1．复习

（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形； 

（2）菱形的性质1  菱形的四条边都相等；

性质2  菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）

2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？

3．【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？

通过演示，容易得到：

菱形判定方法1　 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

    通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：

菱形判定方法2　 四边都相等的四边形是菱形．

四、习题分析

例1   已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．

证明：∵　 四边形ABCD是平行四边形，

∴　 AE∥FC．

∴　 ∠1=∠2．

又　 ∠AOE=∠COF，AO=CO，

∴　 △AOE≌△COF．

∴　 EO=FO．

∴　 四边形AFCE是平行四边形．

又　 EF⊥AC，

∴　 AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．

五、随堂练习

1．填空：

（1）对角线互相平分的四边形是                         ；

（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；

（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；

（4）两组对边分别平行，且对角线              的四边形是菱形．

2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．

3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。

六、作业设计

第十课时 正方形（1）

一、教学目的

1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

   2. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．  

二、重点、难点

教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．  

教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．    

自学教材100－101页，落实：

1．正方形的四条边____  __，四个角___  ____，两条对角线____   ____．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；（   ）

②对角线互相垂直的矩形是正方形；（   ）

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（   ）

④四条边都相等的四边形是正方形；（   ）

⑤四个角相等的四边形是正方形．（   ）

3．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别

为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．

求证：∠AFE＝∠AEF．

4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，

求∠EAD与∠ECD的度数．

五、作业设计

第十一课时 正方形（2）

一、温故知新

1.有一组邻边____  __，且有一个角____  __的平行四边形是正方形。

2.正方形的四边____  __，四角____  __，对角线____  __且____  __；正方形既是矩形，又是____  _；既是轴对称图形，又是____  ______  __。

3.如图正方形ABCD的边长为8，DM=2，N为AC上一点，则DN+MN的最小值为          .

4.如图，正方形ABCD边长为2，两对角线交点为O，OEFG也为正方形，则图中阴影部分面积为     .

5.如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为        ．

6. 如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是           .

二、学习新知

作业精编55页例1、例2（写出过程）

三、释疑提高

1.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE，求证：BE+DF=AE.

2. 如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，DF=CF，DC+CE =AE，求证：AF平分∠DAE.

3.如图，BF平行于正方形ADCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.

四、作业设计

第12----13课时 复习与小结

【本章知识框架】

【本章重点】

1．几种特殊四边形的特征

平行四边形：

(1)两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等；(3)一组对边平行且相等；(4)两条对角线互相平分；(5)两组对角分别相等．

矩形：

(1)有三个角都是直角；(2)是平行四边形，并且有一个角是直角；(3)是平行四边形，并且两条对角线相等．

菱形：

(1)四条边相等；(2)是平行四边形，并且一组邻边相等；(3)是平行四边形，并且两条对角线互相垂直．

正方形：

(1)是矩形，并且有一组邻边相等；(2)是菱形，并且有一个角是直角．

等腰梯形：

(1)是梯形，并且同一底上的两个角相等；(2)是梯形，并且两条对角线相等．

【解题思想】

1．转化思想

(1)边形问题化归为三角形问题来处理．

(2)梯形问题化归为三角形、平行四边形问题来处理．

2．代数一计算法

通过计算来解决几何问题的方法就是代数法．如：列方程等．

3．运用变化思想

即运用平移、旋转、对称等变换来构造图形解决几何问题的方法．

【经典例题精讲】

一、有关图形判定问题

此类问题仍是根据定义或识别方法来证明是什么图形，只要牢记识别方法，并能灵活运用即可．

例1  如图12-1，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的，试说明四边形EFGH是正方形．

解：

∵矩形ABCD的外角都是直角，HE、EF都是外角平分线，

∵∠BAE＝∠ABE＝45°，

∴∠E＝90°．

同理可证∠F＝∠G＝90°．

∴四边形EFGH是矩形．

∵AD＝BC，∠HAD＝∠HDA＝∠FBC＝∠FCB，

∴△ADH与△BCF重合，

∴AH＝BF．

又∵∠EAB＝∠EBA，

∴AE＝BE，

∴AE＋AH＝EB＋BF，

∴EH＝EF，

∴四边形EFGH是正方形．

二、有关平行四边形、梯形特征问题

平行四边形、梯形特征主要作用：证角相等、线段相等、直线平行、直线垂直、线段互相平分等．

例2  如图12-2，正方形ABCD中，EF⊥GH，试说明EF＝GH．

解：

作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N．

∵ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠B＝90°，

∴EM平行且等于BC，HN平行且等于AB，

∴EM＝HN，EM⊥HN．

∵EF⊥HG，∠HOF＝∠EON，

∴∠FEM＝∠GHN．

又∵∠EMF＝∠HNG，

∴△EMF与△HNC重合，

∴EF＝GH．

三、有关旋转变换、平移变换、对称变换的问题

例3  已知如图12-3，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，试说明BE＝CF＋AE．

分析：要说明BE＝CF＋AE，如果把△ABE绕点B沿顺时针旋转90°成△BCN，现在只须说明BN＝NF，而∠BFN＝∠ABE＋∠EBF，∠ABE＝∠CBF，从而有∠BFN＝∠FBN，所以BN＝NF＝CN＋CF＝AE＋CF＝BE．

解：

将△ABE绕点B沿顺时针旋转90°成△BCN．

∴∠ABF＝∠CBE，BE＝BN．

∵四边形ABCD为正方形，

∴CD∥AB，

∴∠NFB＝∠ABF．

∵∠ABF＝∠ABE＋∠EBF，

∠NBF＝∠NBC＋∠CBF，

∠EBF＝∠FBC，

∴∠NBF＝∠NFB，

∴BN＝NF＝CN＋CF．

∴BE＝AE＋CF．

说明：旋转变换就是图形绕点旋转，其性质为：旋转前后的图形重合．

四、实际问题

例4  如图12-4，是由电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的正方形面积为1，求这个矩形色块图的面积．

分析：只需设其中一个正方形的边长为x，则其余的正方形均可用x表示．

解：不妨设正方形Ⅰ边长为x，则正方形Ⅱ边长为x＋1，正方形Ⅲ边长为x－1，正方形Ⅳ边长为x－2，进而矩形长为x＋x＋1＝2x＋1，宽为x＋x－1＝2x－1，于是矩形面积

整理得，解得．．

∵时，正方形Ⅳ边长为x－2＝0不合题意，舍去．

∴x＝6，