高中数学回归课本(极限)

一．考试内容：

　　教学归纳法.数学归纳法应用.

　　数列的极限.

　　函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.

二．考试要求：

　(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

　(2)了解数列极限和函数极限的概念.

　(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限.

　(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.

三．基础知识:

1.特殊数列的极限 

（1）.

（2）.

（3）（无穷等比数列()的和）.

2. 函数的极限定理

.

3.函数的夹逼性定理  

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：

（1）;

（2）（常数）,

则.本定理对于单侧极限和的情况仍然成立.

4.几个常用极限

（1），（）；

（2），.

5.两个重要的极限 

（1）；

（2）(e=2.718281845…).

6.函数极限的四则运算法则 

若，，则

(1)；

(2);

(3).

7.数列极限的四则运算法则 

若，则

(1)；

(2)；

(3) 

(4) ( c是常数).

四．基本方法和数学思想

1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n＝n0 (k≥n0)时成立；(2)假设n=k时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论。数学归纳法是一种完全归纳法，其中两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论；

2. 数列极限（1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛an｝{bn}的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或积），再求极限；（3）常用的几个数列极限：（C为常数）；，（<1,q为常数）; (4)无穷递缩等比数列各项和公式（0<）;

3.函数的极限：

（1）当x趋向于无穷大时，函数的极限为a 

（2）当时函数的极限为a:

（3）掌握函数极限的四则运算法则；

4.函数的连续性：（1）如果对函数f(x)在点x=x0处及其附近有定义，而且还有，就说函数f(x)在点x0处连续；（2）若f(x)与g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x), (g(x)≠0)也在点x0处连续；（3）若u(x)在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x0处也连续；

5.初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的极限运算:如果函数在点x0处有极限，那么；

五．高考题回顾

一.数列的极限

1. 计算： =_________。

2. (湖南卷）已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则)=    

　　A．2　　    B．　　C．1　　    D． 

3. （山东）

二.函数的极限

4. （江西卷

    A．－1    B．1    C．－    D． 

5. (辽宁卷)极限存在是函数在点处连续的        

    A．充分而不必要的条件    B．必要而不充分的条件

    C．充要条件        D．既不充分也不必要的条件

6. （全国卷Ⅲ）(   )

A               B               C              D 

7. （湖北卷）若，则常数的值为        

    A．    B． C． D． 

三、无穷递缩等比数列各项和：

8（04年上海卷.4）设等比数列的公比，且，则     . 

9.（04年重庆卷.理15）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…..Pn…,记纸板Pn的面积为，则.

六.课本中习题归纳

一 数学归纳法及其应用

1(1) =         ;

(2) =          ;

 (3) =          ; (4) =      ;

 (5) =         ;  (6) =          ;

 (7) =        ;

 (8) =            .

2下列说法不正确的是(为正整数)

A,能被整除.  B,能被整除.

C,能被6整除.    D,不一定能被9整除.

3平面内有()条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,设交点的个数为.

()试求, ,的值;()猜测的值,并给予证明.

4平面内有()个圆,其中每两个圆都相交两点,每三个圆都无公共点,设交点的个数为.

()试求, ,的值;()猜测的值,并给予证明.

二 极限及其运算

5(1) =      ;(2) =     ;(3) =       ;

 (4) =     ;(5) =      ;(6) =        ;

 (7) =     ;(8) =     ;(9) =     ;

 (10) =    ;(11) =       .

6设函数,则=     ; =     ; =     .

7已知,则=           ; =                  .

8下列说法正确的是

A,若,则;  B若,则;

C若,则;D,若,则.

9下列函数在处没有极限的是

A,  B,  

C,  D, 

10在求时,甲,乙两位同学得到如下两种不同的解法:

(甲)解:                (乙) 

     =            =

     =0+0+0++0=0                        ==

我认为     的解法是错误的,错因是                                    .

11在半径为R的圆内接正边形中,是边心距,是周长,是面积(n=3,4,).

 ()试求与,之间的关系;()求.

12从的边上一点作于,从再作于点,从再

 作于点,这样无限进行下去.已知=5, =4.

 ()试求的长; ()求.

三 函数的连续性

13如图,在A,B,C,D这四个图象所表示的函数中,在点处没有定义但极限存在的是     ;在点处有定义,有极限,但不连续的是      ;的是     ;在点处没有极限的是       .

14要使函数在点处连续,需添加的条件是         .

15设函数在定义区间内连续,则=         .