八年级上数学期末专题复习

14、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于　______米．

15、如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P．连接PB、PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是　______

16、等腰三角形的周长为30cm，一边长是12cm，则另两边的长分别是　______

17、如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′=BB′=AB，则∠BAC的度数为

18、如图，△ABC是等边三角形，分别延长CA，AB，BC到A′，B′，C′，使AA′=BB′=CC′=AC，若△ABC的面积为1，则△A′B′C′的面积是　______

 (第十四题)                    (第十五题)                 (第十七题)               (第十八题)    

5、等边△ABC是边长为1，BD=CD，∠BDC=120°，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，求△AEF的周长。

16、如图，△ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF=BE，连结CF、EF，过点F作直线FD⊥CE于D，试发现∠FCE与∠FEC的数量关系，并说明理由．

17、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证CT=BE。

18、如图，已知△ABC中，AD⊥BC于D，∠C=35°，且AB+BD=DC，求∠B度数。

19、已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来。只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

20、如图1，已知△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。

（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①证明DM=DN；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

（2）旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。

21、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．

求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．

22、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为BC上的点，连接AM，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离．

23、如图，△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F 作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：

（1）AD∥FG；（2）△AEF是等腰三角形．

24、如图，在等边△ABC中，AB=2，点P是AB边上任意一点（点P可以与点A重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，求当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？

25、已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．

问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．

全等三角形

18. 如图在中，，AC=BC，AD平分交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm

则的周长是（    ）

A. 6cm    B. 7cm    C. 8cm    D. 9 cm

19如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB与CD相等吗？请你说明理由. 

20.已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

   (!)求证：BF=AC；    (2)求证：CE=BF；

21.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于(   )

A..90°－∠A    B. 90°－∠A     C.  180°－∠A   D.  45°－∠A

22.(2007年绵阳市）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．① AD平分∠BAC，② DE⊥AB，DF⊥AC，③ AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②  ③，①③  ②，②③  ①．

（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；

（2）请证明你认为正确的命题．

23．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

（提示：过B点作BH⊥BC交CE的延长线于H点）

24、在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，CE⊥BD的延长线于E，∠1=∠2求证：BD＝2CE． 

(提示:延长BA交CE的延长线于F)

25.（2007年十堰）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC－BD，则∠B∶∠C的值为多少？

26．已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系．

27.如图，已知为等边三角形，D.E.F分别在边BC.CA.AB上，且也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？

写出变化过程．

28.已知：如图5—132，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB．

1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；

（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．

你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．   

（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ 

3已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

4已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A

15如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

直角三角形

**1.如图14-70，在ΔABC中，高AD、BE交于点H，M、N分别是BH、AC的中点，∠ABC=450，求证：DM=DN。【4】

**2.如图14-71，已知M是RtΔABC斜边AB的中点，CD=BM，DM与CB的延长线交于点E，求证：∠E=∠A。【6】

**3.如图14-72，在RtΔABC中，∠ACB=900，∠BAC=300，ΔADC和ΔABE是等边三角形，DE交AB于点F，求证：F是DE的中点。【8】

**4.如图14-73，在ΔABC中，高BE、CF相交于点H，M、N分别是BC、EF的中点，直线MN与线段EF之间具有怎样的关系？证明你的结论。【4】

**5.如图14-74，已知AE与BD相交于点C，AB=AC，DE=DC，M、N、P分别是BC、CE、AD的中点，求证：PM=PN。【5】

**6.如图14-75，在ΔABC中，三边BC、AC、AB上的高AE、BF、CD相交于点M，P为BM的中点，Q为AC的中点，求证；PQED。【6】

**7.如图14-76，在ΔABC中，∠B=22.50，∠C=600，AB的垂直平分线交BC于点D，BD=6，AE⊥BC于点E，求EC的长。p.116【5】

**8.如图14-77，在ΔABC中，∠B=22.50，边AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F，并与BC边上的高AE交于占G，求证：EG=EC。【5】

**9.如图14-78，在ΔABC中，D是BC边上一点且DA⊥AC，∠B=∠2C，AB=5cm，求DC的长。【3】

**10.如图14-79，在ΔABCK ，∠B=∠2A，CD⊥AB于点D，E为BC的中点，EF∥CA交AB于点F，求证：DF=BC。【4】

***11.如图14-80，在RtΔABC中，ACB=900，M是AB的中点，如果分别延长AC、BC到点E、F使CE=CF=AB，那么∠EMF的度数等于几？是否是常数？【5】

***12.如图14-81，已知C是线段AB上一点，且AC:CB=1:2, ΔACD和ΔBCE均为等边三角形，求∠DEB的度数。【4】

***13.如图14-82，已知在ΔABC中，∠A=600，高BD、CE交于点H，HD=3，HE=4，求BD、CE的长。【4】

***14.如图14-83，已知AB=2BC，两条对角线各垂直其中一条边即∠ACB=∠ADB=900，又DA=DB，作DE⊥AB，求∠EDC的度数。【5】

***15.如图14-84，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠BAC=900且AB=AC，BD=BC，AC、BD交于点E，求∠DEC的度数。【5】

***16.如图14-85，在RtΔACB中，CD平分∠ACB，CF是AB的中线，EFAB交CD的延长线于点E。求证：CF=EF。【5】

***17.如图14-86，在ΔABC中，∠C=900，D为AB上一点，作DEBC于点E，若BE=AC。BD=0.5，DE+BC=1，求∠BAC的度数。【8】

***18.（1）在ΔABC中，AB=AC，BDAC于点D，若BD=1，SΔABC=1，求∠A；【4】

（2）在ΔABC中，高AD、BE所在直线交于点H，且BH、AC，求∠ABC。【6】 

***19.如图14-87，在ΔABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直一部分线MN相交于点N，过N分别作ND⊥AB于点D，NE⊥BC于点E，求证：AD=CE。【4】

***20.如图14-88，已知F为∠GBC、∠BAC角平分线的交点，过点B作CF的垂线BE，交AC的延长线于点E，垂足为H，求证：BC=CE。【6】

***21.如图14-，已知在ΔABC中，∠ABC=900，AD平分∠BAC，BE⊥AC，E是垂足，DF∥BE，EF=1，求（1）点F到BC的距离；（2）若∠C=300，求AC。【6】

***22.如图14-90，已知∠MON和线段AB，求作一点P，使PA=PB并使点P到OM、ON的距离相等。【3】

横向拓展

***1. 如图14-91，在RtΔABC中，∠C=900，M是AB的中点，∠EMF=900，将∠EMF绕着M点旋转，使ME、MF分别与AC、BC相交于点E、F。（1）在AE、EF、FB中是否始终有最大的线段？若有，最长的是哪一条？（2）AE、EF、FB能否构成直角三角形？若能，请加以证明。【8】

***2. 如图14-92，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=900，D、E是BC上两动点（与B、C不重合）且∠DAE=450。

      问：（1）BD、DE、EC中哪条线段最长？

         （2）BD、DE、EC三条线段能否构成直角三角形？若能，请加以证明。【10】

***3. 如图14-93，已知∠MCN=900，A是∠MCN平分线上一定点，B为CM上一动点，点D在CN上且∠BAD=450。问：RtΔBCD的周长是否是定值？请说明理由。【10】

****4.如图14-94，腰长为6cm的等腰RtΔFED和腰长为9cm的等腰RtΔABC部分重叠在一起，且BE=1cm，求阻影部分的面积。p.117【5】

****5.如图14-95，在ΔABC中，AC=50厘米，BC=40厘米，∠C=900，点P从点A开始沿AC边向点C以2厘米/秒的速度移动，同时，另一点Q由C点开始以3厘米/秒的速度沿着CB边移动，则几秒钟后，ΔPCQ的面积等于450平方厘米？【8】

一次函数

．如图①，A、B、C三个容积相同的容器之间有阀门连接．从某一时刻开始，打开A容器阀门，以4升/分的速度向B容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B阀门，以10升/分的速度向C容器内注水5分钟，然后关闭．设A、B、C三个容器的水量分别为yA、yB、yC(单位：升)，时间为t(单位：分)．开始时，B容器内有水50升．yA、yC与t的函数图象如图②所示．请在0≤t≤10的范围内解答下列问题：

(1)求t＝3时，yB的值．(2)求yB与t的函数关系式，在图②中画出其图象．

(3)求yA∶yB∶yC＝2∶3∶4时t的值．

5．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2 min后沿原路以原速返回．设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1 m，小明爸爸与家之间的距离为s2 m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间函数关系的图象。

（1）求s2与t之间的函数关系式；

（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远

2．有一批物资，先用火车从M地运往距M地180千米的火车站，再由汽车运往N地．甲车在驶往N地的途中发生故障，司机马上通知N地，并立即检查和维修．N地在接到通知后第12分钟时，立即派乙车前往接应．经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇．为了确保物资能准时运到N地，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达N地．下图是甲、乙两车离N地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象。请结合图象信息解答下列问题：

（1）请直接在坐标系中的（    ）内填上数据；

（2）求直线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）求乙车的行驶速度．

例2某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示；每个售票窗口票数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示．某天售票厅排队等候购票的人数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示，已知售票的前分钟开放了两个售票窗口．

（1）求的值；

（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；

（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？

1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）

请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：

（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；

（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；

（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

2.（2009 黑龙江大兴安岭）邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校．小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离(千米)和小王从县城出发后所用的时间(分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：

（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案．

（2）小王从县城出发到返回县城所用的时间．

（3）李明从A村到县城共用多长时间？

3.（2009年乌鲁木齐市）星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量（立方米）与时间（小时）的函数关系如图2所示．

（1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？

（2）当时，求储气罐中的储气量（立方米）与时间（小时）的函数解析式；

（3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．

4.（2009年）某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程（单位：千米）与所用时间（单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．

（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象．

（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）

（3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．

4（2005年徐州市）有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm，如图2-1，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移（如图2-2），设平移的长度为xcm（0≤x≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为。

                         图2-1                   图2-2

（1）当x=0（如图2-1），S=________，当x=10时，S=_________。

（2）当时，（如图2-2），求S关于x的函数关系式；

（3）当时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值。

分析：（1）当x=0和x=10这两个特殊值时，重叠部分是两个等腰直角三角形；

（2）当时，重叠部分是直角梯形

（3）由函数最值问题，首先想到的是二次函数的最值。