湖北省仙桃中学2012届高三五月模拟考试数学理试题

湖北省仙桃中学2012届高三五月模拟考试

数  学（理工类）

本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数（为虚数单位）的虚部是（　　）

A．             B．            C．             D．

2．设全集，，

则右图中阴影部分表示的集合为            （  ）

A．      B．  C．   D．

3.下列命题中错误的是

A．命题“若x2-5x+6=0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2-5x+6≠0”

B．若x,yR，则“x=y”是成立的充要条件

C．已知命题p和q，若q为假命题，则命题p与q中必一真一假

D．对命题p：，使得x2＋x+1＜0，则则x2＋x+1≥0

4. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是

A．    B．    C．    D．

5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填（ ）

A． ?        B．?         C．?            D．?

6.下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是                

A．         B．   

C．          D．    

7.现安排甲，乙等5名同学去参加3个运动项目，要求每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求且甲乙两人不参加同一个项目的安排方法数为（）

A．114      B.162    C.108      D132 

8.已知三棱锥中，A、B、C三点在以O为球心的球面上， 若，

，三棱锥的体积为，则球O的表面积为

A.               B.             C.              D. 

9．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数，则其表达式为

A．y＝(3n＋5)1.2n＋2.4                   B．y＝8×1.2n＋2.4n

C．y＝(3n＋8)1.2n＋2.4                   D．y＝(3n＋5)1.2n－1＋2.4

10.设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，，则该双曲线的离心率为

    A．    B．    C．    D．

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 

 (一)必考题（11—14题）

11. 已知实数，x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最小值是＿＿＿＿

12. 设函数，若f（a）＞1，则实数a的取值范围是＿  ＿＿＿

13. 设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间上的均匀随机数和，由此得到N个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为      。

14.已知a,b,c>0且a+2b+c=1,则的最小值为    

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）

15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=           .         

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知直线与圆相交于AB,则以AB为直径的圆的面积为　　　    . 

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.已知函数的图象过点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）在△中，角，，的对边分别是，，.若，求的取值范围．

18.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan＋1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．

19某单位为了提高员工素质，举办了一场跳绳比赛，其中男员工12人，女员工18人，其成绩编成如图所示的茎叶图（单位：分），分数在175分以上（含175分）者定为“运动健将”，并给予特别奖励，其他人员则给予“运动积极分子”称号.

 ⑴ 若用分层抽样的方法从“运动健将”和“运动积极分子”中抽取10人，然后再从这10人中选4人，求至少有1人是“运动健将”的概率；

 ⑵ 若从所有“运动健将”中选3名代表，用表示所选代表中女“运动健将”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.

20．如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且

（1）证明：无论入取何值，总有AM⊥PN；

（2）当入取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？

并求该角取最大值时的正切值。

（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面

角为30º，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由。

21在平面直角坐标系中，已知，若实数使得（为坐标原点）.

   (Ⅰ) 求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；

   (Ⅱ) 当时，是否存在过点的直线与(Ⅰ)中点的轨迹交于不同的两点（在之间），且. 若存在, 求出该直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由.

22.设，

（Ⅰ）若在上单调递增，求k的取值范围

（Ⅱ设若求k的取值范围

（Ⅲ），证明：

成立。

仙桃中学2012届高三五月考试数学（理科）答案及评分标准

一、选择题

A卷:1．B 2．B  3．C  4．A 5．D 6．D 7．A 8 C.  9．A 10．C

B卷：1.D. 2.C  3.C   4.D  5.D 6 A 7. D  8.B  9.A  10.A

二、填空题

11． -1    12．∪ 13．  14．9  15.    16. 

 三．解答题

17. 解：（Ⅰ）由．…3分

因为点在函数的图象上，

所以，解得.                   …6分

    (Ⅱ) 因为，

所以=2，

所以，即.          ……7分

又因为，所以，所以.               ……8分

又因为，所以，.                   ……10分

所以， ，所以.…11分

所以的取值范围是.                            …12分

19.解：（1）根据茎叶图，有“运动健将”12人，“运动积极分子”18人------------1分

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为，所以选中的运动健将有

运动积极分子有                                 ------------3分

设事件：至少有1名‘运动健将’被选中，则

                                                               -----------5分

（2）由茎叶图知男“运动健将有”8人，女“运动健将”有4人，故的取值为

                                                             -----7分

                                                   ----------9分

的分布列为：

                       -------------- 12分

20.解：.解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），

B1（1，0，1）， M（0，1，），N（，0）

，，

C

N

（1）∵，∴

∴无论取何值，AM⊥PN……………………………………（4分）

（2）∵（0，0，1）是平面ABC的一个法向量。

∴sinθ=|cos<|=

∴当＝时，θ取得最大值，此时sinθ=,cosθ=,tanθ=2

答：当＝时，θ取得最大值，此时tanθ=2………（8分）

（3）设存在，，设是平面PMN的一个法向量。

则得令x=3，得y=1+2,z=2-2

∴

∴|cos<>|=化简得4

∵△＝100-4413＝-108<0

∴方程（*）无解

∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º…（13分）

21.(Ⅰ) 化简得： 

    ①时方程为轨迹为一条直线  

     ②时方程为轨迹为圆

    ③时方程为轨迹为椭圆   

    ④时方程为轨迹为双曲线.   

                                    ………………………………  6分

   (Ⅱ)点轨迹方程为.

 由已知得,则,.

    设直线直线方程为，联立方程可得：

    ,  同号

           …………………………  8分

    设    ,则   

 ,．．……………………  13

22.