初中数学二次函数的图象与性质基础练习题2(附答案详解)

1．二次函数y=(x-2)2+1的对称轴表达式是

A．x=2 ．x=-2 ．x=1 ．x=-1

2．设A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(0，y3)是抛物线y＝(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(  )

A．y1＞y2＞y3 ．y1＞y3＞y2

C．y3＞y2＞y1 ．y3＞y1＞y2

3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②2a+b=0；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0；④4a+2b+c＞0，其中正确结论的个数是（    ）

A．1个 ．2个 ．3个 ．4个

4．将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（　　）

A．y=﹣（x+1）2+1 ．y=﹣（x﹣1）2+3 ．y=﹣（x+1）2+5 ．y=﹣（x+3）2+3

5．已知点、、在函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）

A． ． ． ．

6．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y=ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（　　）

A．a≤﹣1或a≥2 ．≤a≤2

C．﹣1≤a＜0或1＜a≤2 ．﹣1≤a＜0或0＜a≤2

7．如图，抛物线的顶点坐标为P(2，5)，则函数y随x的增大而减小时x的取值范围为(　　)

A．x＞2 ．x＜2

C．x＞6 ．x＜6

8．函数有最值为（ ）

A．最大值 ．最小值 ．最大值 ．最小值

9．在同一直角坐标系中，函数y=2x+3与y=的图象可能是（  ）

A． ． ． ．

10．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③3a＋c＞0；④3a+b＞0．其中正确的结论有（  ）

A．①② ．①④ ．①③④ ．②③④

11．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象的函数表达式是____．

12．将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是_____．

13．二次函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到的，则________，________．

14．抛物线的顶点坐标是__________．

15．一条抛物线的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则该抛物线的函数表达式是_____．

16．二次函数，当________时，有________值，这个值为________；当________时，随的增大而增大；当________时，随的增大而减小．

17．已知函数y=﹣2x2+x﹣4，当x________时，y随x增大而减少．

18．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．

19．如图，二次函数的图象经过点且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________．（填代号）

20．将抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：_____

21．观察表格：根据表格解答下列问题：

(l) a＝______，b＝_____，c＝_____；

(2) 在下图的直角坐标系中画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象，并根据图象，直接写出当x取什么实数时，不等式ax2＋bx＋c > －3成立；

（3）该图象与x轴两交点从左到右依次分别为A、B，与y轴交点为C，求过这三个点的外接圆的半径．

22．如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC、OA、AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O、C、P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标；

（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

23．当行驶中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量．汽车的撞击影响I可以用汽车行驶速度v(km/min)来表示，下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据：

(2)填写下表，并根据表中数据的呈现规律，猜想用v表示I的二次函数表达式；

24．二次函数的图象过，，，点在函数图象上，点，是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点，，求：

一次函数和二次函数的解析式；

写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围．

25．已知抛物线与轴交于点，对称轴为．

试用含的代数式表示、．

当抛物线与直线交于点时，求此抛物线的解析式．

求当取得最大值时的抛物线的顶点坐标．

26．如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与轴交于C点．

（1）A点的坐标是　   　；B点坐标是　   　；

（2）直线BC的解析式是：　   　；

（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；

（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．

27．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标．

28．己知二次函数.  

(1)写出其顶点坐标为          ，对称轴为          ;

(2)在右边平面直角坐标系内画出该函数图像;

(3)根据图像写出满足的的取值范围     .

参

1．A

【解析】

【分析】

根据二次函数的对称轴是直线x=b,顶点坐标分别为 (b, c) 判断即可.

【详解】

解：二次函数y=(x-2)2+1的对称轴为直线x=2,

故选:A.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质.

2．A

【解析】

【分析】

根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．

【详解】

∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a， 

∴对称轴是x=-1，

∴点A关于对称轴的点A′是（-2，y1），

那么点A′、B、C都在对称轴的左边，而对称轴左边y随x的增大而减小，

于是y1＞y2＞y3．

故选A．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断．

3．D

【解析】

根据函数图象，我们可以得到以下信息：a＜0，c＞0，对称轴x=1，b＞0，与x轴交于（﹣1，0）（3，0）两点．

①abc＜0，正确；

②∵对称轴x=﹣=1时，

∴2a+b=0，正确；

③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0，正确；

④当x=2时，y=4a+2b+c＞0，正确；

故选D．

4．B

【解析】

解：∵将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y=﹣（x+1﹣2）2+3=﹣（x﹣1）2+3．故选B．

5．C

【解析】

【分析】

)把点、、代入,求出，，的值,比较即可得到大小关系.

【详解】

把点、、代入得，

y1=9，y2=，y3= ,

∴，，的大小关系为>.

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上的点的坐标满足二次函数解析式.

6．D

【解析】

【分析】

分a<0和a>0两种情况，确定开口最小经过的点，代入解析式求出a的取值范围即可.

【详解】

解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）

∴-1=a×12

∴a=-1

∴-1≤a<0

若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）

∴2=a×12

∴a=2

∴0∴a的取值范围是-1≤a<0或0故选D

【点睛】

本题考查了二次函数的图象，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．

7．A

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点坐标是P（2，5），可得抛物线的对称轴为x=2；

依据图象分析对称轴的左，右两侧是上升还是下降，即可确定x的取值范围.

【详解】

∵抛物线的顶点坐标是P（2，5），

∴对称轴为x=2.

∵图象在对称轴x=2的右侧，是下降的，即函数y随自变量x的增大而减小，

∴x的取值范围是x＞2.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质.

8．A

【解析】

【分析】

把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．

【详解】

∵y=-x2+2x+=-（x-1）2+，

∴二次函数有最大值．

故选A．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式是解题的关键．

9．A

【解析】

试题解析：因为的图象经过第一、二、三象限，

故选A．

10．C

【解析】

【分析】

由二次函数图象开口方向、对称轴的位置、图象与y轴交点的位置得到a、b、c的符号，即可判①；由图象可知，当x=0时，y＜0，根据对称轴为x=1可得当x=2时，y＜0，观察图象即可判定②；由图象可知，x=-1时，y＞0，即可得a-b+c=0，根据对称轴- =1，可得b=-2a，代入即可判定③；由- =1可得2a+b=0，所以3a+b=2a+b+a=a＞0，即可判定④．

【详解】

由二次函数图象开口向上，得到a>0；与y轴交于负半轴，得到c<0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，则b<0，所以abc>0，①正确；

②由图象可知，当x=0时，y＜0，根据对称轴为x=1可得当x=2时，y＜0，当x＞2时，y值得符号不确定，∴②不正确；

③∵当x=-1时，y＞0，

∴a-b+c=0，

∵- =1，

∴b=-2a，

∴a+2a+c＞0，

∴3a+c＞0，

∴③正确；

④∵- =1，

∴2a+b=0，

∴3a+b=2a+b+a=a＞0，

∴④正确．

综上，正确的结论为①③④.

故选C．

【点睛】

本题考查了抛物线图象与系数的关系，熟练运用抛物线的图象与系数的关系是解决问题的关键．

11．y＝(x－1) 2＋3．

【解析】

根据二次函数图象平移规律,左加右减,上加下减的平移规律,所以将二次函数y＝x2的图像向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到的新图像的函数表达式是y＝(x－1) 2＋3,故答案为: y＝(x－1) 2＋3.

12．2

【解析】

【分析】

根据平移规律“左加右减，上加下减”填空.

【详解】

解：将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，得到抛物线解析式为y=（x+m-2）2．其对称轴为：x=2-m=0，

解得m=2．

故答案是：2.

【点睛】

主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.

13．-8, 7    

【解析】

【分析】

把y=2x2-4x-1化为顶点坐标式，按照“左加右减，上加下减”的规律，右平移1个单位，再向上平移2个单位得抛物线跟y=2x2+bx+c的系数对比则可．

【详解】

把y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，向右平移1个单位，再向上平移2个单位，

得y=2（x-2）2-1=2x2-8x+7，

所以b=-8，c=7．

故答案为-8；7.

【点睛】

此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．

14．（1，0）

【解析】

试题解析：抛物线的顶点坐标是 

故答案为: 

点睛：根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可．

15．（或）

【解析】

设抛物线解析式为y=a（x-2）2+1，

把B（1，0）代入得a+1=0，解得a=-1，

所以抛物线解析式为y=-（x-2）2+1，即y=-x2+4x-3

故答案为：（或y=-x2+4x-3）．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

16． 最小   

【解析】

【分析】

先把解析式配成顶点式得到y=（x-1）2-3，根据二次函数的性质得到当x=1时，y有最小值，最小值为-3；当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小．

【详解】

解：y=x2-2x-2

=（x-1）2-3，

∵a=1＞0，

∴当x=1时，y有最小值，最小值为-3；当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小．

故答案为=1，最小，-3，＞1，＜1．

【点评】

本题考查了二次函数的最值：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−时，y=．

17．＞ 

【解析】

【分析】

把抛物线解析式化为顶点式，可求得其对称轴，再利用二次函数的增减性可求得答案．

【详解】

∵y=-2x2+x-4=-2（x-）2- ，

∴抛物线开口向下，对称轴为x=，

∴当x＞时，y随x的增大而减小，

故答案是：＞．

【点睛】

考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．

18．－3＜x＜1

【解析】

试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．

解：根据抛物线的图象可知：

抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），

根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），

所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．

故答案为﹣3＜x＜1．

考点：二次函数的图象．

19．①②③④

【解析】

【分析】

观察图象，通过抛物线的开口方向，对称轴x＝−b2a＞−1，以及与x轴交于两点这些条件，即可解答出该题．

【详解】

①∵抛物线的开口方向向下，

∴a＜0，由图象可看出抛物线的对称轴x＝＜0，

∴b＜0，故①正确．

②由图象看出当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故②正确．

③由图象看出当x＝−2时，y＝4a−2b＋c＜0，故③正确．

④∵抛物线的对称轴大于−1，即x＝＞−1，得出2a−b＜0，故④正确．

故答案为：①②③④．

【点睛】

本题综合考查了抛物线的性质，体现了数形结合的思想，同学们要熟练掌握．

20．

【解析】

【分析】

根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．

【详解】

∵抛物线y=-5x2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，

∴新抛物线顶点坐标为（-5，-3），

∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+5）2-3，

故答案为y=-5（x+5）2-3．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．

21．（1）1，-2，-3；（2）图象见解析，或；（3）.

【解析】

【分析】

（1）直接将代入求出即可，进而将代入求出，再分别将代入求出的值；

（2）再利用函数解析式进而得出函数图象，进而得出不等式的解集．

（3）根据题意求得外接圆的圆心的坐标为，进而求得圆的半径.

【详解】

(1)过(1,1)，

∴1=a，

∴当x=2时,  

过(0,−3),(2,−3)，a=1，

解得：b=−2，

 当x=1时，y=−4，

故答案为1，−2，−3；

(2)如图所示：当或时,不等式 

(3)由(2)可知A(−1,0),B(3,0),C(0,−3)，

则作BC、AB的垂直平分线的交点Q(1,−1)，

∴外接圆的半径

22．(1) y=x2﹣x；（2）点P坐标为（0，）或（0，）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；

（2）∠EOC=30°，由OA=2OE，OC=，推出当OP=OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似；

（3）如图，取Q（，0）．连接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出，推出E′Q=BE′，推出AE′+BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+E′B的最小值就是线段AQ的长.

【详解】

（1）过点A作AH⊥x轴于点H，

∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠AOH=60°，

∴OH=1，AH=，

∴A点坐标为：（-1，），B点坐标为：（2，0），

将两点代入y=ax2+bx得：

，

解得：，

∴抛物线的表达式为：y=x2-x；

（2）如图，

∵C（1，-），

∴tan∠EOC=，

∴∠EOC=30°，

∴∠POC=90°+30°=120°，

∵∠AOE=120°，

∴∠AOE=∠POC=120°，

∵OA=2OE，OC=，

∴当OP=OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似，

∴OP=，OP′=，

∴点P坐标为（0，）或（0，）．

（3）如图，取Q（，0）．连接AQ，QE′．

∵ 

，∠QOE′=∠BOE′，

∴△OE′Q∽△OBE′，

∴，

∴E′Q=BE′，

∴AE′+BE′=AE′+QE′，

∵AE′+E′Q≥AQ，

∴E′A+E′B的最小值就是线段AQ的长，最小值为．

【点睛】

本题考查二次函数综合题、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构造相似三角形解决最短问题，属于中考压轴题．

23．解：(1)如图所示；(2)2v2；(3)4.5，12.5，40.5.

【解析】

试题分析：将表（1）里各个数据在直角坐标系里描出，连接各点，形成的光滑曲线就是速度与撞击影响之间的函数图象.从表格里可看出速度与撞击影响的函数表达式为I=2v2;当V=1.5,2.5,4.5时，代入函数表达式中可求得撞击影响.

解：(1)如图所示．

(2)由表格得I＝2v2.

(3)当V=1.5,2.5,4.5时，I=4.5，12.5，40.5.所以撞击影响分别是4.5，12.5，40.5.

24． ，； 或

【解析】

【分析】

（1）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得二次函数的解析式，进而可根据抛物线的对称轴求出D点的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；

（2）根据（1）画出函数图象，即可写出一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

【详解】

二次函数的图象经过点，，，

则，

解得．

故二次函数图象的解析式为，

∵对称轴，

∴点的坐标为，

设，

∵过、两点，

∴，

解得．

∴；

函数的图象如图所示，

∴当时，的取值范围是或．

【点睛】

此题主要考查了一次函数和二次函数解析式的确定以及根据函数图象比较函数值大小，画出函数图象熟练运用数形结合是解决第2问的关键．

25．（1）；（2）抛物线为；（3）抛物线的顶点坐标为．

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线与y轴的交点可以得到c与a的关系，根据对称轴可以得到b与a的关系；

（2）间已知点的坐标代入函数关系式并结合上题求得的系数的关系得到a、b、c的值即可求得其解析式；

（3）b（c+6）=-2a（3a+6）=-6a2-12a=-6（a+1）2+6，从而确定a的值，确定二次函数的解析式后即可确定其顶点坐标．

【详解】

解：∵抛物线与轴交于点

∴

∵对称轴为，

∴

∴；

∵抛物线与直线交于点，

∴在抛物线上，

∴

∴

∴  

∴抛物线为；∵

当时，的最大值为；

∴抛物线

故抛物线的顶点坐标为．

【点睛】

考查了二次函数的性质，二次函数最值以及待定系数法求二次函数解析式，正确的利用三个系数之间的关系是解题的关键.

26．（1）A（，0）   B（8，0）；（2） ； （3）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16 ；（4）（，0），（4， 0），（，0），（，0）.

【解析】

【分析】

可得a的值，求出解析式.由解析式可得出C和B的坐标，从而得出直线的解析式.运用假设法，连接辅助线可以设出P,D的坐标，表达出相应△PBC的面积解析式，分析可得出结果.由平行四边形的定义可求出答案.

【详解】

（1）A（，0）   B（8，0）；

（2） ；

 （3）假设存在点P，连结PB、PC，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，

设点P（m，）

则点D（m，）

所以PD= 

       =

∴

∵点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合）

∴

∴当时，△PBC的面积最大，最大面积是16

∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16   

（4）（，0），（4， 0），（，0），（，0） .

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解析式的结构，和直线解析式的求解，以及品行四边形的定义，熟练掌握这些是解决本题的关键.

27．（1）y=x2﹣4；（2）M（0，﹣2）

【解析】

（1）将A、B点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值；

（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；

解：（1）由题意可得：，

解得；

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4；

（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD．

则BD与y轴的交点即为M点；

设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），则有：

，

解得；

∴直线BD的解析式为y=x﹣2，

∴点M（0，﹣2）．

点睛：本题主要考查待定系数法及二次函数的性质.利用二次函数的对称性是解题的关键.

28．（1，-2），直线x=1, x＜-1或x＞3．

【解析】

试题分析：（1）利用配方法将二次函数的解析式由一般式该写为顶点式，由此即可得出该函数的顶点坐标以及对称轴；

（2）利用五点法画出函数图象即可；

（3）观察函数图象，根据二次函数图象与的上下位置关系即可得出不等式的解集．

试题解析：  

∴该二次函数的顶点坐标为(1,−2)，对称轴为x=1.

故答案为(1,−2)；x=1.

(2)找出函数图象上部分点的坐标，如图所示：

(3)观察函数图象可知：当x<−1或x>3时，函数图象在y=2的上方，

∴满足y>2的x的取值范围为x<−1或x>3.

故答案为x<−1或x>3.