(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．

给定一个函数在点处可微，则有：

这样当时可得近似公式

或  

，

即在点附近，可以用一个的线形函数（一次多项式）去逼近函数，但这时有两个问题没有解决：

（1） 近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数．

（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量，如果要求误差不得超过，用去替代行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．

在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．

2.1　Taylor公式

    首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个的次多项式在附近去逼近，即令

                    （2.1）

从几何上看，这表示不满足在附近用一条直线（曲线在点的切线）去替代，而是想用一条次抛物线去替代它．

我们猜想在点附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数，…如何确定呢？

假设本身就是一个次多项式，显然，要用一个次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有

于是得：

求一次导数可得：

又求一次导数可得：

这样进行下去可得：

，，… ，

因此当是一个次多项式时，它就可以表成：

  （2.2）

即附近的点处的函数值可以通过点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数，只要它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式

称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数  ，称为泰勒系数．因而次多项式的次泰勒多项式就是它本身．

2.2 Taylor公式的各种余项

对于一般的函数，其次多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点附近能近似地用它在点的次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的定理就是回答这个问题的．

定理1 (带拉格朗日型余项的公式)

假设函数在上存在直至阶的连续导函数，则对任一,泰勒公式的余项为

其中为与间的一个值.即有

      (2.3)

   推论1 当，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：

所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．

    推论2 在定理1中,若令

则称为一般形式的余项公式, 其中．在上式中，即为拉格朗日型余项．若令，则得

,

此式称为柯西余项公式．

当，得到泰勒公式：

，  （2.4）

则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．

定理２ （带皮亚诺型的余项的公式） 若函数在点处存在直至阶导数，则有

，

．

则当时，．即有

    （2.5）

定理3所证的（2.5）公式称为函数在点处的泰勒公式，， 称为泰勒公式的余项的，形如的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式

当（2.5）式中时，可得到

        （2.6）

（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用． 

由于，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．

定理３ 设，函数在内具有阶连续导数，且，在内的泰勒公式为

 （2.7）

则．

证明：在内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：

将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出

，

从而

，

令，得

，

故．

    由上面的证明我们可以看得出，当趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．

第3章  泰勒公式的应用

由于泰勒公式涉及到的是某一定点及处函数及阶导数值：，，…，，以及用这些值表示动点处的函数值，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．

3.1 应用Taylor公式证明等式

例3.1.1 设在上三次可导，试证： ，使得

证明： (利用待定系数法)

设为使下列式子成立的实数：

           （3.1）

这时，我们的问题归为证明：，使得：

令，则．

根据罗尔定理，，使得，即：

这是关于的方程，注意到在点处的泰勒公式：

其中，比较可得原命题成立．

例3.1.2 设在上有二阶导数，试证：，使得

． （3.2）

证明：记，则在处泰勒公式展开式为：

             （3.3）

对（3.3）式两端同时取上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：，使得

因此原命题式成立．

因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．

3.2 应用Taylor公式证明不等式

例3.4设在上二次可微，，试证：，

，，．

证明：取，将在处展开

其中．

以乘此式两端，然后个不等式相加，注意

得：

．

例3.2.2 设在上有二阶导数，当时，，．试证：当时，．

证明：在处的泰勒展开式为：

其中将分别换为，可得：

 （3.4）

 （3.5）

所以（3.4）式减（3.5）式得：

从而，

例3.2.3 设在上二阶可导，，证明：，有

．

证明：在，处的泰勒展开式分别为：

，

，

令，则有

，     （3.6）

  ，      （3.7）

（3.7）－（3.6）得：

则有

令，即有

．

例3.2.4  设二次可微， ， ，试证：

．

证明：因在上连续，故有最大值，最小值．又因，，故最大值在内部达到，所以使得

于是为极大值，由费马定理有：，

在处按Taylor公式展开：使得：

，                 （3.8）

．               （3.9）

因此

而时，

，

  时，

．

所以，．

由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．

3.3 应用Taylor公式求极限

例3.3.1求．

解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有

所以，．

像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．

例3.3.2 设函数在上二次连续可微，如果存在，且在上有界，试证：．

证明：要证明，即要证明：，．当时．

利用公式，，                                                

                  （3.10）

即

                  （3.11）

记，因有界，所以，使得

，   

故由（3.11）知

              （3.12）

，首先可取充分小，使得， 然后将固定，因，  所以，当时

从而由（3.12）式即得：．即

例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程．

（1）；

（2）．

解：（1）首先设所求的渐近线为 ，并令 ，则有：

从中解出：，．所以有渐近线：．

（2）设，，则有

从中解出：，．

所以有渐近线：．

    从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．

上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．

3.4 应用Taylor公式求中值点的极限

例3.4.1 设

(1)在内是阶连续可微函数，此处；

(2)当时，有 ，但是；

(3)当时有

． （3.13）

其中，证明：

．

证明：要求出的极限必须设法解出，因此将（3.13）式左边的及右端的在处展开，注意条件(2)，知使得    

，          （3.14）

，     （3.15）

于是（3.13）式变为

从而

．

因，利用的连续性，由此可得

．

    这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．

3.5 应用Taylor公式近似计算

由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．

例3.5.1 求：（1）计算的值，使其误差不超过；

（2）用泰勒多项式逼近正弦函数，要求误差不超过，以的情形讨论的取值范围．

解：(1) 由于的麦克劳林的泰勒展开式为：

当时，有

故．  当时，有

从而省略而求得的近似值为：

(2) 当时，

      ，使其误差满足：

只需（弧度），即大约在原点左右37°29′38″范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过．

3.6 应用Taylor公式求极值

定理3.1  设在附近有阶连续导数，且

， 

（1）如果为偶数，则不是的极值点．

（2）如果为奇数，则是的严格极值点，且当时，是的严格极小值点；当 时，是的严格极大值点．

证明：将在点处作带皮亚诺型余项的展开，即：

于是

由于

故，中，与同号．

（1）如果为偶数，则由在附近变号知，也变号，故不是的极值点．

（2）如果为奇数，则为偶数，于是，在附近不变号，故与同号．

若，则，，为的严格极小值点．

若，则，，为的严格极大值点．

例3.6.1 试求函数的极值．

解：设，由于，因此是函数的三个稳定点．的二阶导数为

，

由此得，及．所以在时取得极小值．

求三阶导数

，

有，．由于，则为偶数，由定理3.1知在不取极值.

再求的四阶导数

，

有．因为，则为奇数，由定理3.1知在处取得极大值．

综上所述，为极大值，为极小值．

由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．

3.7 应用Taylor公式研究函数图形的局部形态

定理3.2  设为任一非空集合，，函数在处阶可导，且满足条件：，．

（1）为偶数，如果，则曲线在点的邻近位于曲线过此点的切线的上（下）方．

（2）为奇数，则曲线在点的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线在点处与该点的切线横截相交．

证明：因为在处阶可导，并且，，所以在的开邻域 内的阶公式为

于是

由于

由此可见：，，有：与同号．

（1）当为偶数，

如果，则

，

这就表明在点邻近，曲线位于切线的上方；

如果，则有

，

因此，在点邻近，曲线位于切线的下方．

（2）当为奇数，这时若，则

，  

，  

由此知，在的右侧，曲线位于切线的上（下）方；而在的左侧，曲线位于切线的下（上）方．因此，曲线在点处与该点的切线横截相交．

3.8 应用Taylor公式研究线形插值

例3.8.1（线形插值的误差公式） 设为实一元函数，为两点与所决定的线形函数，即，称为在区间上的线形插值．

如果在区间上二阶可导，在上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．

应用带Lagrange型余项Taylor公式：，，使得

其中，，最后一个式子是由于，．

以及Darboux定理推得．

如果为的上界（特别当在上连续时，根据最值定理，取

），则误差估计为

，

这表明，愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当很小时，曲线的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．

3.9 应用Taylor公式研究函数表达式

例3.9.1 设在内有连续三阶导数，且满足方程：

，．(与无关)       （3.16）

试证：是一次或二次函数．

证明：要证是一次或二次函数，就是要证或．因此要将（3.16）式对求导，注意与无关，我们有

                  （3.17）

从而

            （3.18）

令，对（3.17）式两边取极限得：，即

若，由此知，为一次函数；

若，则（3.17）式变成：．此式两端同时对求导，减去，除以，然后令取极限，即得，即为二次函数．

实际上在一定条件下证明某函数的问题，我们称之为归零问题， 因此上例实际上也是，的归零