2018年全国高中数赛安徽赛区初赛试卷Word版含答案

第Ⅰ卷（共分）

一、填空题（每题8分，满分分，将答案填在答题纸上）

1.设三个复数，，在复平面上对应的三点共线，且，则          ．

2.设是正整数，且满足，则          ．

3.函数的最小正周期=          ．

4.设点，分别在函数和的图象上，则的最小值=          ．

5.从中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=          ．

6.在边长为的正方体内部有一小球，该小球与正方体的对角线段相切，则小球半径的最大值=          ．

7.设是的垂心，且，则          ．

8.把按照顺时针螺旋方式排成行列的表格，第一行是.例如：.设在的第行第列，则          ．

第Ⅱ卷（共86分）

二、解答题 （本大题共4小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 

9. 如图所示，设是矩形，点，分别是线段，的中点，点在线段上，点，关于线段的垂直平分线对称.求证：.

10. 设是坐标原点，双曲线上动点处的切线交的两条渐近线于，两点.

（1）求证：的面积是定值；

（2）求的外心的轨迹方程.

11. （1）求证：对于任意实数，，都有.

（2）是否存在实数，使得对于任意实数，，下式恒成立？

试证明你的结论.

12. 在正边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.

试卷答案

一、填空题

1.或    2.    3.          4. 

5.    6.    7.    8. 

二、解答题

9.解：由，分别是，的中点，得.

设是关于的对称点，则，故四边形是等腰梯形.

进而，，从而.

再由，得.

因此.

10.解：（1）处的切线方程.

与渐近线方程联立，得，.

从而，是定值.

（2）由（1）可设，，，为非零常数.

由，得.

从而有，.

上述两式相乘，得的轨迹方程为.

11.解：（1）由均值不等式，，，.

故.

（2）

上式恒成立当且仅当且.

化简得且.显然，满足要求.

12.设是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，是以第个顶点为端点的红色线段数目，则有

，.

当且仅当每个或时，取得最小值.

是可以取到的，例如把线段染成红色，其它线段染成蓝色.