常微分方程期末考试试题与答案

考试科目：常微分方程     适用专业名称：基础数学、应用数学、计算数学    

1、选择填空，只有一个答案正确（30分，每小题5分）

(1)考虑线性系统dx/dt=A(t)x,其中A是n n实矩阵函数、t R, x  Rn。其所有的解构成一个__a____ 。

(a) n维线性空间，(b) n2维线性空间，(c) 无穷维线性空间, (d) 不是线性空间。

(2) 设X(t)是(1)考虑的系统的基本解矩阵，若C是n n可逆实矩阵，下列也是基本解矩阵的是___b___ 。

(a)CX((t),  (b) X((t)C,  (c) C+ X((t)， (d) C- X((t)。

(3) X(t)是(1)考虑的系统的基本解矩阵，则它具有初值条件x(t0)=x0的解为___c___ 。

(a)x(t)=exp(A(t-t0))x0  (b) x(t)=X(t-t0)x0,  

(c) x(t)= X(t)X-1(t0)x0 ,  (d) x(t)= x0 exp(trA(t-t0))。

(4)考虑系统dx/dt=f(t,x)关于x(t0)=x0初值问题, 其中(t, x ) R, 即R Rn中以(t0, x0)为中心的有界闭矩形。该初值问题存在唯一解的条件是___d___ 。

(a)f连续，(b) f连续且对x有界，

(c) f连续且对x可微， (d) f连续且对x连续可微。

(5)在(4)中考虑的初值问题解对初值连续依赖的条件是__c___ 。

(a)f连续，(b) f连续且对x有界，

(c) 连续且对x是Lipschitz的，(d) f连续且对x可微。

(6)设系统dx/dt=f(x)的初值问题具有存在唯一性且满足f(0)=0。系统关于初值x(0)=x0的解记为x (t,x0)。系统零解的渐近稳定性是指其零解稳定并且__d__ 。

(a)存在x0使x (t, x0) 0当t0，  (b) 对0附近所有x0有x (t, x0) 0当t0，

(c) 存在x0使x (t, x0) 0当t+，(d) 对0附近所有x0有x (t, x0) 0当t+.

2、（20分）假设初值问题dx/dt=ax+f(t), x(t0)=x0满足解的存在唯一性条件，其中a为实数，t R, x R。(1) 写出这个初值问题解的表达式。(2)用常数变易法证明这个表达式。

[解] (1)  x(t)=exp(a(t-t0)x0+  t0 t exp(a(t-s) f(s) ds.    [10分]

(2) 首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=c exp(at)。

设方程有形如x(t)=c(t) exp(at)的解。代入方程得dc/dt= exp(-as) f(s),

从而得到特解x(t)= exp(at)   exp(-as) f(s) ds和通解

x(t)=exp(at)c+   exp(a(t-s) f(s) ds.

通过初始条件可以确定c，并证得(1)的表达式。[10分]

3、（15分）求方程(xy2+4x2y)+(3x2y+4x3)dy/dx=0的通解。

[解] 左式=( xy2dx+3x2y dy)+ (4x2y dx+4x3 dy)                   [5分]

           =(x/y) (y3dx+3xy2 dy)+ 4x2 (y dx+x dy)               [5分]

           =(x/y) d(xy3)+ 4x2 d(xy) 

=(x/y) {d(xy3)+ 4xy d(xy) }

      =(x/y) d{xy3+ 2(xy)2 }，                          [4分]

从而得到  xy3+ 2(xy)2=C。                                                   [1分]

4、（15分）计算方程d2x/dt2+x=cos t的通解。进而计算方程关于初值x(0)=1, dx/dt(0)=0的解。

[解] (1) 特征方程为 2+ 1=0,  =i, -i 。通解为x(t)=C1exp(it)+C2 exp(-it).

 实通解为x(t)=C1 cos(t)+C2 sin(t).                        [5分]

    (2) 考虑算子形式的复系统 (D2+ 1)z=exp(it). 从而

z(t)= exp(it){1/( (D+i)2+ 1)}1= exp(it)(1/( (D2+2iD))1

   = exp(it)(1/( (D+2i))t= exp(it)(1/( (D+2i))t

   =(1/(2i))(t-1/(2i)) exp(it)=(cos(t)/4+t sin(t)/2)+i(sin(t)/4- t cos(t)/2).

从而，x(t)=Re z(t)= cos(t)/4+t sin(t)/2 .                   [5分]

通解为x(t)= C1 cos(t)+C2 sin(t)+ cos(t)/4+t sin(t)/2.         [1分]

(3) 代入初始条件得C1 + 1 /4=1, C2 =0, 即C1 =3/4, C2 =0. 最终解为

x(t)= (3/4) cos(t)+ cos(t)/4+t sin(t)/2= cos(t)+t sin(t)/2.       [4分]

5、（20分）方程d2x/dt2+(k/m)x=0描述了线性弹簧振子的自由振动，其中质量m>0,Hook常数k 0。记y表示运动的速度，即y=dx/dt. 

（1）写出方程的等价一阶微分方程组。

（2）求通解。

（3）分别对k>0和k<0判断奇点（0，0）的定性性质（类型及稳定性），并给出论据。

（4）画相平面轨道的草图。

[解] (1) 等价一阶微分方程组为

        dx/dt=y,     dy/dt= -(k/m)x.                   [4分]

(2)特征方程为 2+(k/m)=0，当k<0时特征值为

 1=(- k/m)1/2， 2= -(- k/m)1/2。

       当k>0时特征值为

             1=( k/m)1/2i， 2= -( k/m)1/2i。             [3分]

       因此当k<0时通解为

            x(t)=C1exp((- k/m)1/2)+ C2 exp(-(- k/m)1/2),

       当k>0时通解为

            x(t)= C1cos(( k/m)1/2t)+ C2 sin(( k/m)1/2t).      [3分]

    (3) 当k<0时奇点（0，0）的是鞍点，是不稳定的。  [3分]

       当k>0时奇点（0，0）是中心，是稳定的。      [3分]

     (4) 草图(略)                                    [4分]