安徽省合肥一六八中学2020-2021学年高一下学期期中数学试卷

一、选择题（共12小题）.

1．欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

2．若A是直线m外一点，过点A且与m平行的平面（　　）

A．存在无数个    B．不存在    

C．存在但只有一个    D．只存在两个

3．如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝2，则△ABC的边AB上的高为（　　）

A．    B．    C．4    D．

4．在△ABC中，点D是线段BC（不包括端点）上的动点，若＝x，则（　　）

A．x＞1    B．y＞1    C．x+y＞1    D．xy＞1

5．下列命题中正确的是（　　）

A．若x∈C，x2+1＝0，则x＝i    

B．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0    

C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2    

D．若复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，则复数z的虚部为﹣1

6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．AC＝3，BC＝4，P为线段AB上的点，且＝•+•，则xy的最大值为（　　）

A．3    B．2    C．1    D．4

7．已知单位向量与的夹角为α，且cosα＝，向量＝3﹣2与＝3﹣的夹角为β，则cosβ等于（　　）

A．    B．    C．    D．

8．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为（　　）

A．（ +4）π    B．（ 2+4）π    C．（ 3+4）π    D．（4+4）π

9．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘（如图阴影部分），为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是（　　）

①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1．

A．①和②    B．①和③    C．②和③    D．①和②和③

10．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且，则（　　）

A．    B．    

C．    D．

11．已知△ABC是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若OP＝1，则的最小值是（　　）

A．﹣11    B．﹣6    C．﹣3    D．﹣15

12．设O为△ABC所在平面内一点，满足2﹣7﹣3＝，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（　　）

A．6    B．    C．    D．4

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）

13．已知z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），则z•（z+1）＝　     　．

14．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为　    　．

15．南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”．他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”．世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S＝（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示，在△ABC中，a、b、C分别为角A、B、C所对的边，若a＝3，且bcosC﹣ccosB＝，则△ABC面积的最大值为　                　．

16．已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是　 　，最大值是　 　．

三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．

（Ⅰ）求D点对应的复数；

（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．

18．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，，．

（1）求CD的长；

（2）求的值．

19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．

（1）找到点E的位置，作出截面α（保留作图痕迹），并说明理由；

（2）已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足b2＝．

（1）求cosA和sinA的值．

（2）若3csinA﹣asinB＝0，且△ABC的面积S△ABC＝2，求边c的值．

21．在复平面内，O是原点，对应的复数分别为，，i为虚数单位．设函数．

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若函数y＝f（x）﹣m在区间上有2个零点，求实数m的取值范围．

22．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影、如图1，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50m，该同学眼高1.5m（眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．

（1）求出山高BE（结果保留整数）；

（2）如图2，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离MD＝xm，且记在M处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β．试问当x多大时，观测基站的视角∠AMB最大？

参考数据：sin8°≈0.14，sin37°≈0.6，sin45°≈0.7．sin127°≈0.8．

参

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

解：由欧拉公式eix＝cosx+isinx，可得＝cos＝，

∴表示的复数位于复平面中的第一象限．故选：A．

2．若A是直线m外一点，过点A且与m平行的平面（　　）

A．存在无数个    B．不存在    

C．存在但只有一个    D．只存在两个

解：A是直线m外一点，

由线面平行的性质得：过点A且与m平行的平面有无数个．故选：A．

3．如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝2，则△ABC的边AB上的高为（　　）

A．    B．    C．4    D．

解：过C′做x′轴的平行线，交y′轴与点D′，作D′E⊥x′轴，垂足为E，

如图所示：

则D′E＝B′C′＝2，

O′D′＝D′E＝2，

由斜二测画法规则知D′对应的在y轴上，且OD＝4，

此即为△ABC的边AB上的高．故选：D．

4．在△ABC中，点D是线段BC（不包括端点）上的动点，若＝x，则（　　）

A．x＞1    B．y＞1    C．x+y＞1    D．xy＞1

解：设＝λ（0＜λ＜1），

所以﹣＝λ﹣λ，

所以（1﹣λ）＝﹣λ，所以＝﹣，

所以x＝﹣，y＝，所以x＝﹣＜0，y＝＝1+＞1，

由x+y＝＝1，xy＝﹣＜0．故选：B．

5．下列命题中正确的是（　　）

A．若x∈C，x2+1＝0，则x＝i    

B．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0    

C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2    

D．若复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，则复数z的虚部为﹣1

解：由x2+1＝0，x2＝﹣1，x∈C，令x＝a+bi，

∴x2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，则a2﹣b2＝﹣1，2ab＝0，

得a＝0，b2＝1，∴b＝±1．即x＝±1．故A错．

设z1＝（a1+b1i），z2＝（a2+b2i），

则z12+z22＝+＝0，得，

可得：2（a1b1+a2b2）＝0，当a2＝﹣b1，a1＝b2时成立，则B错．

设z＝mi，|z|2＝m2，z2＝（mi）2＝﹣m2，∴|z|2≠z2，故C答案错误．

由复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，|3﹣4i|＝5，z（2+i）＝5，

z＝＝2﹣i，

∴z＝2﹣i，则复数z的虚部为﹣1，故D答案正确．故选：D．

6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．AC＝3，BC＝4，P为线段AB上的点，且＝•+•，则xy的最大值为（　　）

A．3    B．2    C．1    D．4

解：P为线段AB上的点，且＝•+•．

∴＝且x＞0，y＞0

∴

∴xy≤3

当且仅当时，等号成立．

则xy的最大值为3．故选：A．

7．已知单位向量与的夹角为α，且cosα＝，向量＝3﹣2与＝3﹣的夹角为β，则cosβ等于（　　）

A．    B．    C．    D．

解：根据题意，单位向量与的夹角为α，且cosα＝，则•＝，

向量＝3﹣2、则||2＝92+42﹣12•＝9，则有||＝3，

向量＝3﹣，||2＝92+2﹣6•＝8，则有||＝2，

•＝（3﹣2）•（3﹣）＝92+22﹣9•＝8，

则cosβ＝＝＝，故选：C．

8．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为（　　）

A．（ +4）π    B．（ 2+4）π    C．（ 3+4）π    D．（4+4）π

解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，高为h；

所以πrl＝4π，解得r＝1，h＝＝；

又圆柱的侧面积为2πr•2h＝4π，

所以制作这样一个粮仓的用料面积为

（4+4）π．故选：D．

9．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘（如图阴影部分），为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是（　　）

①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1．

A．①和②    B．①和③    C．②和③    D．①和②和③

解：在△P1P2D中，已知P1P2＝a，∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，

由正弦定理可得P1D，P2D及∠P1DP2．

①中，给出∠DP1C和∠DCP1，由，

可得CD＝，故由①可求得CD；

②中，给出∠P1P2C和∠P1CP2，由，

得，

由∠P1P2C和∠P1CP2，可得∠P2P1C，减去β可得∠DP1C，

在△DP1C中，由余弦定理可得CD，故由②可求得CD；

③中条件与①等价，也可求得CD，故选：D．

10．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且，则（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：设AP＝a，

∵，

∴PT＝a，CP＝a，CA＝，

∴＝，＝＝﹣，

∵＝+，

∴＝+，

∴＝+

＝+

＝+，故选：A．

11．已知△ABC是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若OP＝1，则的最小值是（　　）

A．﹣11    B．﹣6    C．﹣3    D．﹣15

解：如图所示，取AB的中点D，则||＝||＝，|OD|＝|CD|＝×＝2，

∴＝（+）（+）＝﹣＝﹣12．

∵OP＝1，

∴点P在以O为圆心，1为半径的圆上，

∴|PD|min＝|OD|﹣1＝2﹣1＝1

∴的最小值为﹣11．故选：A．

12．设O为△ABC所在平面内一点，满足2﹣7﹣3＝，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（　　）

A．6    B．    C．    D．4

解：不妨设，如图所示，

根据题意则，

即点O是△A1B1C1的重心，所以有＝k，

又因为，，，

那么，，，

，

故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为．故选：D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）

13．已知z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），则z•（z+1）＝　1﹣3i　．

解：∵z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），

∴z＝1﹣i，

∴z•（z+1）＝（1﹣i）（2﹣i）＝1﹣3i，

故答案为：1﹣3i．

14．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为　61π　．

解：如图所示：

由题意可知，圆台的下底面为球的大圆，所以O为球心，

∵BM＝4，OB＝5，

∴OM＝3，

即圆台的高为3，

所以其体积V＝

＝π×3×（52+42+5×4）

＝61π，

故答案为：61π．

15．南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”．他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”．世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S＝（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示，在△ABC中，a、b、C分别为角A、B、C所对的边，若a＝3，且bcosC﹣ccosB＝，则△ABC面积的最大值为　　．

解：因为且bcosC﹣ccosB＝，

由余弦定理得b•﹣c•＝

整理得b＝，

因为S＝＝＝×＝，

当c2＝27时，S取得最大值．

故答案为：

16．已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是　0　，最大值是　2　．

解：正方形ABCD的边长为1，可得+＝，＝﹣，

•＝0，

|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|

＝|λ1+λ2﹣λ3﹣λ4+λ5+λ5+λ6﹣λ6|

＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）+（λ2﹣λ4+λ5+λ6）|

＝，

由于λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，

可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，

可得所求最小值为0；

由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，

可得所求最大值为2．

故答案为：0，2．

三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．

（Ⅰ）求D点对应的复数；

（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．

解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，

得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．

  又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．

设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．

得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．

∵ABCD 为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，

故D点对应的复数为3﹣4i．

（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），

可得：＝0，∴．

又||＝2，＝4．

故平行四边形ABCD的面积＝＝16．

18．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，，．

（1）求CD的长；

（2）求的值．

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴＝，即CD的长为；

（2）＝，

∴＝．

19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．

（1）找到点E的位置，作出截面α（保留作图痕迹），并说明理由；

（2）已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．

解：（1）∵D1∉BF，∴BF与D1可确定平面α，

在平面α内过D1作D1E∥BF，且交AA1于E，连接EB，ED1，则四边形D1EBF就是要作的截面α．

理由：由题意，平面α∩平面AD1＝D1E，平面α∩平面BC1＝BF，

而平面AD1∥平面BC1，∴D1E∥BF，根据作图过程，D1E∥BF，则四边形D1EBF就是要作的截面．

（2）由题意，CF＝a（0＜a＜1），

由（1）的过程可知A1E＝a，连接D1B1，则平面α将正方体分割成的商半部分为四棱锥D1﹣A1EBB1

与四棱锥D1﹣B1BFC1的组合体．

＝＝．

而正方体的体积为1，则，

故α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比为1．

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足b2＝．

（1）求cosA和sinA的值．

（2）若3csinA﹣asinB＝0，且△ABC的面积S△ABC＝2，求边c的值．

解：（1）因为b2＝．

由余弦定理可得2bccosA＝bc，解得cosA＝，

所以sinA＝＝．

（2）因为3csinA﹣asinB＝0，

所以由正弦定理可得2sinCsinA＝sinAsinB，

由于sinA≠0，

所以可得2sinC＝sinB，即2c＝b，可得b＝，

所以S△ABC＝2＝bcsinA＝×c×，

解得c＝2．

21．在复平面内，O是原点，对应的复数分别为，，i为虚数单位．设函数．

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若函数y＝f（x）﹣m在区间上有2个零点，求实数m的取值范围．

解：（1）由题意知，＝（2，cos（2x+）），＝（2+sin2x，2+cos（2x+）），

∴＝（sin2x，2）

∴f（x）＝•＝2sin2x+2cos（2x+）＝2sin2x+cos2x﹣sin2x

＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），

令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，

∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．

（2）∵y＝f（x）﹣m＝0在[0，]上有两个零点，

∴y＝2six（2x+）的图象与y＝m的图象有两个交点，

∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴y＝2six（2x+）∈[﹣1，2]，

则函数y＝2six（2x+）在x∈[0，]上的大致图象如下，

由图象知，m的取值范围为[1，2）．

22．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影、如图1，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50m，该同学眼高1.5m（眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．