浙江省2009年1月高等教育自学考试近世代数试题

近世代数试题

课程代码：10025

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。            

1.以下关系中，哪个是实数集的元间的等价关系？(      )

A.关系～：a～ba2+b2=1    B.关系～：a～ba≤b

C.关系～：a～ba=2b    D.关系～：a～ba=b

2.设A是区间［0，1］上全体实函数组成的集合，规定：

σ( f (x))=(x2+1) f (x), f (x)∈A,

则σ是A的(      )

A.满变换    B.单变换    

C.一一变换    D.不是A的变换

3.在有理数集Ｑ上定义代数运算a b=(a+b)2，则这个代数运算(      )

A.既适合结合律又适合交换律    B.适合结合律但不适合交换律

C.不适合结合律但适合交换律    D.既不适合结合律又不适合交换律

4.下列集合对所给运算作成群的是(      )

A.全体实数对普通数的加法    B.全体实数对普通数的减法

C.全体实数对普通数的乘法    D.全体实数对普通数的除法

5.设，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是(      )

A.有单位元的可换环    B.无单位元的可换环

C.无单位元的非可换环    D.有单位元的非可换环

二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设A={a,b,c,d,e}，则A的一一变换共有______个.

7.在4次对称群S4中，(134)2(312)-1=______.

8.在3次对称群S3中，H＝{(1)，(12)}是S3的一个子群，则H (23)＝______．

9.设Z8是模8的剩余类环，则Z8中的零因子是______．

10.剩余类环Z15的可逆元有______个.

11.设Z［x］是整系数多项式环，则Z［x］的主理想(x2)＝______．

12.整环I＝｛所有复数a+b (a,b是整数)｝，则I的单位是______．

13.设Q是有理数域，则Q =______.

14.在有理数域Q上的极小多项式是______．

三、解答题（本大题共小3题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分）

15.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M关于集合的并∪是否构成群？为什么？

16.找出模20的剩余类加群Z20的所有子群，并找出Z20的全部生成元.

17.设关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I =证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？

四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.设G是一个群， a∈G证明：a与a-1的阶相同.

19.设G=={有理数域上所有n阶可逆矩阵}，H = {A|A∈G,|A|=1}证明：H是G的不变子群．

20.证明：一个域是一个欧氏环．