第二章 控制系统的数学模型

在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型，控制系统的数学模型是描述系统内部各变量之间关系的数学表达式。在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量之间关系的数学方程叫静态数学模型；在动态过程中，描述各变量之间关系的微分方程叫动态数学模型。

    由于微分方程中各变量的导数表示了它们随时间变化的特性，如一阶导数表示速度，二阶导数表示加速度等，因此微分方程完全可以描述系统的动态特性。

    如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。因此，建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作。

    建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法两种。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程，例如，电学中有基尔霍夫定律，力学中有牛顿定律，热力学中有热力学定律等。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为系统辩识。近几年来，系统辩识已发展成一门的学科分支，本章重点研究用分析法建立系统数学模型的方法。

在自动控制理论中，数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立和应用，其余几种数学模型将在以后各章中予详述。

§2-1  微分方程

微分方程是自动控制系统数学模型的基本形式，传递函数、结构图，都可由它演化而来。用分析法列写系统或元件的微分方程的一般步骤是：

    1)根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；

    2)分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；

3)消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。

下面举例说明，建立微分方程的步骤和方法：

    例2-1  列写图2-1所示的串联电路的微分方程。  

    解：(1)确定电路的输入量和输出量。

        为输入量，输出量。

(2)依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程。       图2-1  RLC无源网络

设回路电流为，依基尔霍夫定律，则有                 

                              （2-1）

                                                          （2-2）

 (3)消去中间变量，得到与关系的微分方程。

我们看出，要得到输入、输出关系的微分方程，得消去中间变量，由式（2-2）得，代入式（2-1），经整理后可得输入输出关系为：

                     （2-3）

这是一个线性常系数二阶微分方程，它就是图2-1电路的数学模型。

例2-2  设有一个弹簧-物体-阻尼器组成的机械系统。其原理图如图2-2所示。试列出系统输入、输出关系的微分方程。其中，是弹簧的弹性系数，是物体的质量，是阻尼器粘性摩擦系数。

解：（1）确定输入、输出量

外力作用为输入量，物体的位移为输出量。   

（2）写出原始的微分方程

在机械平移系统中，应遵循牛顿第二定律，即

                    （2-4）

式中：为物体运动的加速度，；

为所有作用于物体上作用力的总和。

根据对物体的受力分析得：                                     

                              图 2-2   弹簧-物体-阻尼器机械系统

其中：为阻尼器的粘性摩擦力。它和物体的移动的速度成正比，即

为弹簧的弹力，它与物体的位移成正比 ，即

将以上各式代入（2-4）两端得： 

整理后得：                                       （2-5）

这也是一个线性常系数二阶微分方程。与上例相比，前面的一例是电的系统，后面的一例是机械位移系统，两个不相同的物理系统，却具有相同形式的微分方程，即有相同形式的数学模型。由于微分方程是描述系统动态特性的方程，只要运动特性一样，则其数学模型完全一样，即数学模型与系统不是一一对应的。我们把具有相同数学模型的不同系统称之为相似系统，对应相同位置的物理量称为相似量。图2-1和图2-2所示的两个系统是相似系统，式（2-3）中的变量及参数与式（2-5）中的变量及参数是对应的相似量。

数学模型对系统的研究提供了有效的数学工具。相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系，利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统。根据相似系统的理论出现了仿真研究法。

例2-3   求图2-3所示有源网络的微分方程。

    解：（1）确定输入量与输出量

输入量为，输出量为。                       

（2）列原始微分方程

放大器工作时（称B点为虚地），故

根据电流定律有                                          图2-3  有源网络

整理后得： 

                                           （2-6）

微分方程为一阶线性常系数微分方程。

例2-4  列写图2-4所示他励直流电动机在电枢控制情况下的微分方程。

解：（1）确定输入量与输出量

输入量为，输出量为电动机转速。            

(2)列原始微分方程

电机电枢回路的电压平衡方程式为：

      （2-7）

式中：为电枢回路的电感（亨）和电阻（欧姆）。   图2-4  直流电动机电枢回路

反电势为：

                                                              (2-8)

式中：为电动机电势常数，单位为（伏.秒/弧度）。       

电动机的电磁转矩为

                                                         （2-9）

式中：为电动机转矩常数，单位为（牛顿.米/安培）。

电动机轴上的动力学方程（牛顿运动定律），在理想空载情况下，有

                                                         （2-10）

式中：为转动部分折合到电动机轴上的总转动惯量。

（3）消去三个中间变量, 推得输入量与输出量之间的关系为：

若令：             

它们的单位都为秒，分别称为电动机回路的电磁时间常数和机电时间常数。

则上式可写成：

由此可见，电枢电压控制的直流电动机的数学模型是一个二阶线性常系数微分方程。

当系统进入稳态时，即当时

因此                   

这就是电枢电压控制的直流电动机的静态数学模型，是输入与输出之间的稳态增益，也称放大系数。

§2-2   非线性微分方程的线性化

上节我们讨论了微分方程的建立，从那些例子所得的微分方程都是线性的。但严格的说，实际物理元件或系统都有不同程度的非线性。例如弹簧的刚度与其变形有关系，因此弹簧系数k实际上是位移y的函数，并非常值；电阻、电容、电感等参数值都与周围环境（温度、湿度等）有关，也非常值；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素也使其运动方程复杂而成为非线性方程。所以实际控制系统的特性都不是线性的，只是非线性的程度有所不同而已。但是自动控制理论尚未形成完整统一的分析和设计非线性系统比较成熟的方法。为了使线性控制理论能在一定条件下用于实际系统，就提出了非线性模型线性化问题。

所谓线性化，就是在一定条件下作某种近似，或缩小一些研究问题的范围，从而将非线性微分方程近似为线性微分方程来处理的过程。可行的方法通常有以下几种：

(1)作图法。若已知输出与输入之间的特性曲线，或通过     

测试得出此特性曲线，根据确定的工作点，在工作点处作切线。由切线量出夹角α，或量出增量，即可得到切线斜率。如图2-5所示。

(2)实验法。若有测试条件，可在工作点

附近实测偏量绝对值，然后得出近似的。           图 2-5  作图法

(3)解析法  就是将一个非线性的函数，          

在其工作点（）附近展开成泰勒级数，然后忽略二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。

对于具有一个自变量为输入量的非线性函数，设环节或系统的输入量，输出量为，如果系统工作点为，那么在点附近展开成泰勒级数为

忽略二阶以上各项，可写成

                                       （2-11）

即                      

其中：                    

应当注意的是，并不是所有的非线性问题都能线性化，有些非线性不满足泰勒函数的展开条件，对于这种本质的非线性，需要用非线性自动控制理论来解决。

§2-3  传递函数

传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型，也是最基本的概念之一。  经典控制理论的主要研究方法—频率法和根轨迹法都是建立在传递函数的基础上的。在以后的分析中我们可以看到，利用传递函数不必求解微分方程就可研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。利用传递函数还可研究系统参数变化或结构变化对动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。另一方面，还可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合设计的问题易于实现。由于传递函数的重要性，我们将深入进行研究。

一.传递函数的基本概念

1.定义  线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出的拉式变换与输入的拉氏变换之比。

线性微分方程的一般形式为：

                     （2-12）

其中：分别为输入量和输出量，一般

   设，在初始条件为零时，对式（2-12）进行拉式变换（应用了微分定理）可得：

则令

                           （2-13）

把称为传递函数。

例2-5 试求例2-1串联电路的传递函数。

解：RLC串联电路的微分方程用（2-3）表示为

在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，并令

，              

可得S的代数方程为

由传递函数定义，得系统传递函数为

                      （2-14）

2．性质

由传递函数的定义及其自身特有形式可知，传递函数有如下性质：

（1）传递函数是复变量的有理真分式函数,即,且所有系数均为实数。

（2）传递函数只取决于系统和元件的结构，与外作用形式无关。

（3）传递函数的拉氏变换是系统的单位脉冲响应。单位脉冲响应是系统在单位脉冲函数   输入时的响应。因为单位脉冲函数的拉氏变换为 

因此，系统的输出        

而的拉氏反变换即为脉冲响应，正好是等于传递函数的拉氏反变换。即

（4）传递函数是在零初始条件下定义的，因此它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。

（5）传递函数只适合于线性定常系统，因为它是由线性常系数微分方程经拉氏变换得到的，而拉氏变换是一种线性积分变换。

二.典型环节及其传递函数

自动控制系统是由若干元件组成的，这些元件从物理结构及作用原理上来看，是各不同的但

从动态性能或数学模型来看，却可分成为数不多的基本环节，这就是典型环节。不同的物理系统，可以是同一环节，同一物理系统也可能成为不同的环节，这是与描述它们动态特性的微分方程相对应的。总之典型环节是从数学模型上来划分的，就是按元件的动态特性来划分。这种划分，给系统的分析和研究带来很大方便，可着重突出元件的动态性能。

一般任意复杂的传递函数都可以写成如下形式：

                   （2-15）

我们可以把上式看成一系列形如：

  ，，， ， ，的基本因子的乘积，这些基本因子就叫典型环节。所有系统的传递函数都是由这样的典型环节组合起来的。

一般认为典型环节有六种，分述如下： 

1.比例环节

比例环节又称放大环节，它的特点是输出不失真、不延迟、成比例的复现输入信号的变化。

（1）数学表达式

式中：为输出量，为输入量，为比例系数。

（2）传递函数

                             （2-16）

（3）实例

运算放大器、测速发电机、电位器等元件在一定的条件下都可以视为比例环节。

2.惯性环节

惯性环节的特点是输出延缓的反应输入量的变化。

（1）数学表达式

（2）传递函数

                                           （2-17）

（3）实例

RC串联电路是常见的惯性环节的实例。 

设回路电流为，则

又电容电压，得                                 图2-6  RC电路

故        

令，则上式可表示成

RC电路的传递函数可用式2-17表示，由此可见，图2-6所示的RC电路为惯性环节

3.积分环节

（1）数学表达式

（2）传递函数

                                （2-18）

（3）实例

由运算放大器组成的积分器如图2-7所示，根据运算放大器的特点知

或                               

其传递函数为

                     图2-7  积分器

4.微分环节                                               

（1）数学表达式

微分环节在传递函数中有三种类型：纯微分环节、一阶微分环节和二阶微分环节。相应的微分方程为

（2）传递函数

以上三式的相应的传递函数分别为   

                 (0<<1)

微分环节的输出量与输入量的各阶微分有关，因此它能预示输入信号的变化趋势。例如，纯微分环节在阶跃输入作用下，输出是脉冲函数。

（3）实例

在实例元件或实际系统中，由于惯性的存在，故难以实现理想的纯微分关系。例如图2-8RC电路，其传递函数为

式中：T=RC为电路时间常数。当T足够小时，可近似为纯微分环节。

5.振荡环节                                                           

（1）数学表达式

式中：T为时间常数；为衰减系数，又称阻尼系数（阻尼比）    图2-8  RC电路

对于振荡环节0<<1。  

（2）传递函数

                               （2-19）

                        （2-20）

式中称为自然频率。

（3）实例

在实际物理系统中，振荡环节的传递函数经常碰到。如前面例子中RLC串联电路 

                         （2-21）

弹簧物体-阻尼器串联组成的机械系统

                            （2-22）

以上二个传递函数，均为二阶系统。当化成式（2-20）的标准形式时，只要满足0<<1，则它们都是振荡环节。

6.延迟环节                                               

延迟环节又称时滞环节，纯滞后环节。

(1)数学表达式

             （2-23）

当时，。

当时，。

式（2-23）中，为纯滞后时间。

若输入信号为阶跃信号时，则输出

                                     图2-9  延迟环节的单位阶跃响应

其关系曲线如图2—9所示。                                   

(2)传递函数

    在零初始条件下；对式(2-23)进行拉氏变换得到延迟环节的传递函数                                        

                                                    （2-24）

(3)实例

在电的自动控制系统中，可控硅整流器就可作为纯滞后环节的例子，可控硅整流器的整流电压与控制角之间的关系，除了有静特性关系之外，还有一个失控时间的问题。普通可控硅整流元件有这样的特点，它一旦被触发导通后，再改变触发脉冲的相位或使触发脉冲消失，都不能再对整流电压起控制作用，必须等待下一个可控硅元件触发脉冲到来的时刻，才能体现新的控制作用。因此，将这一段不可控制的时间，称为失控时间（滞后时间）用表示。显然，不是一个固定的数值，它不但与可控硅整流器的线路、交流电源的频率有关，而且就是在一个频率已定的具体的可控硅整流电路里，也不是固定的。

例2-6 如图2-10所示，电枢控制直流电动机。分析系统由几个典型环节组成的，并求出每一部分的传递函数。

解：（1）机电运动方程：                                     

                                图 2-10  直流电动机

则传递函数为  ，这是一个积分环节。

（2）电枢回路方程                                         

令     则有                    

                              图 2-11  直流电动机结构图

传递函数为  ，这是一个惯性环节。                

（3）反电势关系式：

传递函数为  ，这是一个比例环节。             

直流电动机结构图如图2-11所示。由此可以看出，一个元件或系统的数学模型，简单时可以是一个典型环节，复杂时是一系列典型环节的组合。 

§2.4  结构图及其等效变换

一.结构图的基本概念

前面我们已经用方框图表示系统的组成和信号的传递情况。引如了反映系统或环节输入、输出动态关系的传递函数后，可以把系统或环节的传递函数标在系统或环节方块图的方块里面，并把系统或环节的输入量、输出量用拉式变换表示。这时，输入量、输出量的拉式变换和传递函数的关系为

可以在方块图中体现出来。这种表示变量之间的数学关系的方块图称为函数方块图或结构图。例如图2-12所示，（a），（b）是电位器的方块图及相应的结构图，其中，为电位器的传递函数（比例环节）。

图2-12  电位器的方块图及相应的结构图

上一节所讨论的几个基本环节的结构图如图2-13所示。

                               图2-13  典型环节的结构图

一个复杂系统，总是由许多元件组合而成。而要从信号传递关系去看。总是可以看成由许多基本环节组合而成。每一个基本环节用一个结构图表示，它们之间按系统信号传递的关系联结成系统结构图。

二.结构图的组成

控制系统的结构图，是由许多对信号进行单向运算的方框和一些连线组成的，它包括四种基本单元。

（1）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，线上标记该信号的拉式变换，见图2-14（a）。

（2）引出点（测量点、分支点）：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号，在数值和性质方面完全相同，见2-14（b）。

（3）比较点（相加点）：对两个以上的信号进行加减运算，“+”号表示相加“-”号表示相减，见图2-14（c），有时“+”号省略不写。

（4）方框：表示对信号进行的数学变换，方框中写入环节或系统的传递函数，见图2—14（d）。方框的输出量等于输入量与传递函数的积，即    

                     图2-14  结构图的基本组成单元

三.系统结构图的建立

建立系统结构图其步骤有如下几点：

（1）建立控制系统各元部件的微分方程。在建立微分方程时，应分清输入量、输出量，同时考虑相邻元件之间是否有负载效应。

（2）对各元件的微分方程进行拉式变换，并做出各元件的结构图。

（3）按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，置系统输入量于左端，输出量（即被控量）于右端，便得到系统结构图，也常称做方框图。

例2-7  试绘制 图2-15无源网络的结构图

解：将无源网络看成一个系统，系统的输入量为，输出量为。

（1）建立系统各部件的微分方程。               

根据基尔霍夫定律可写出以下微分方程

（2）在零初始条件下对上述微分方程进行拉式变换得     图2-15  RC无源网络

根据以上各式画出各元件的结构图如图2-16（a）～(d)所示

(3)系统的结构图

用信号线按信号流向依次将各方框图连接起来，得到无源网络结构图如图2-16（e）所示。

                 图2-16  无源网络结构图

例2-8   图2-17是一个电压测量装置，也是一个反馈控制系统，是待测量电压，是指示的电压测量值。如果不同于，就产生误差电压，经调制、放大以后，驱动两相伺服电动机运转，并带动测量指针移动，直至，这时指针指示的电压即是待测量的电压值。试绘制系统的结构图。

解：由图可知，系统由比较电路、机械调制器、两相伺服电动机及指针机构组成。

（1）列写各元件的运动方程。                     

比较电路

调制器                                                             

放大器  

两相伺服电动机

两相伺服电动机机械特性线

性化方程为

            图2-17  电压测量装置原理图

式中：为电动机输出转矩；为电动机角位移；为电动机堵转转矩；是电动机阻尼系数，即机械特性线性化的直线斜率。

堵转转矩            

式中：为电动机转矩常数。

暂不考虑负载转矩，则电动机输出转矩用来驱动负载并克服粘性摩擦，故得转矩平衡方程为

式中：和分别是折算到电动机上的总转动惯量及总粘性摩擦系数。

 绳轮传动机构     

式中：为绳轮半径；为指针位移。

测量电位器     

式中：为电位器传递系数。

（2）在零初始条件下对以上各式进行拉氏变换。

比较电路           

调制器             

放大器             

两相伺服电动机

绳轮传动机构       

测试电位器         

根据以上各式画出各元部件结构图如图2-18（a）～（g）所示

（3）系统结构图

用信号线按信号传递方向依次将各元部件的方框图连接起来，得到系统结构图如图2-18（h）所示：

              图2-18  电压测量装置系统结构图

四.结构图的等效变换

下面依据等效原理，推导结构图的变换法则。

1.串联连接的等效变换

两个环节和以串联方式连接如图2-19（a）所示。两个传递函数分别为与，以串联方式连接，如图2-19（a）所示。现欲将二者合并，用一个传递函数代替，并保持与的关系不变，即

                              （2-25）

图2-19  两个方框串联结构的等效变换

证明：由（a）图可写出   

消去，则有 

故可以证明等效结构如图2-19（b）所示。式（2-25）表明，两个传递函数串联的等效传递函数等于该两个传递函数的乘积。上述结论可以推广到多个方框图的串联。如图2-20所示，n个传递函数串联的等效传递函数，等于n个传递函数的乘积，如图2-20所示。

图2-20  n个方框串联的等效变换

2．并联方框的等效变换

传递函数分别为与的并联连接，如图2-21所示。其等效传递函数等于该两个传递函数的代数和。即

                    （2-26）

图2-21   两个方框并联的等效变换

证明：

由图2-21可写出

可以证明等效结构图如图2-21所示。

式（2-26）说明，两个传递函数并联的等效传递函数等于各传递函数的代数和。同样，可将上述结论推广到n个方框图的并联，如图2-22所示，即n个传递函数并联的等效传递函数应等于该n个传递函数的代数和，如图2-22所示。

图2-22   n个方框并联的等效变换

3．反馈连接的等效变换

如图2-23（a）所示为反馈连接的一般形式，其等效变换的结构图如图2-23（b）所示。

图2-23   反馈连接的等效变换

证明：

由图2-23，按照信号传递的关系可写出

消去、，得

得

将反馈方框图等效简化为一个方框，方框中的传递函数应为上式。其闭环传递函数为公式（2-27）

                                    （2-27）

式中，分母中的减号对应于负反馈，加号对应于正反馈。

若反馈通道的传递函数，常称做单位反馈，此时传递函数为

                                        （2-28）

4.相加点及分支点的移动

前面介绍了几种典型联接的传递函数的求取，利用这些等效变换原则，能使结构图变得更加简单。但是对于一般的系统的结构图，可能是这几种联接方式交叉在一起，无法直接利用上述简化原则，而必须要先经过我们下面要介绍的相加点及分支点的移动，变成典型联接的形式，然后进行化简。

（1）相加点移动规则

相加点移动分为两种情况：相加点前移和相加点后移。

相加点前移指相加点由环节的输出端移到环节的输入端。相加点后移指相加点由环节的输入端移到环节输出端。遵循的原则是移动前后数学关系保持不变。如图2-24是相加点前移的情况。

图2-24   相加点前移的变换

证明：

移动前      

移动后      

由于变换前后输出量保持不变，所以这一变换是等效的。

同理，相加点后移的等效变换如图2-25所示（证明略）。

图2-25相加点后移的变换

（2）分支点移动规则

分支点的移动有两种情况：一是由环节的输入端移到输出端；另一个是从环节的输出端移至输入端。根据分支点移动前后所得的分支信号，保持不变的等效原则，不难得出相应的等效结构图，如图2—26所示：

                   图2-26分支点的移动

以上我们介绍了结构图等效变换的基本原理。

在结构图的简化过程中，比较点和分支点之间，一般不宜交换其位置，比较号“—”也不能越过比较点或引出点，此外，“—”号可以在信号线上越过方框移动，但不能越过引出点。

应用上述各项基本原则，可将包含许多反馈回路的复杂结构图进行简化。但在简化过程中一定注意以下两条原则：

（1）前后通道中传递函数的乘积必须不变。

（2）各反馈回路中传递函数的乘积必须保持不变。

五.结构图等效变换的应用

简化系统结构图求系统总传递函数的一般步骤如下：

（1）确定系统输入量与输出量。

（2）若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。

（3）对多回路结构，可由里外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传动函数。

例2-9  简化图2-27所示系统的结构图，并求系统的传递函数。

图2-27  多回路系统结构图

解：这是一个多回路系统结构图，且有分支点、相加点的交叉。为了从内回路到外回路逐步化简，首先要消除交叉连接。第一步是将相加点后移，然后交换讲价点的位置，将图2—27化为图2-28（a）。

第二步对图2-28（a）中由、、组成的小回路实行串联及反馈变换，进而简化为图2-28（b）。

第三步对图2-28（b）中的内回路再实行串联及反馈变换，则只剩下一个主反馈回路，如图

2-28（c）。

最后，再变换为一个方框，如图2-28（d），得系统总传递函数为

图2-28  图2-27系统结构图的变换

§2.5   闭环控制系统的传递函数

自动控制系统在工作中回受到外加信号的作用。其中一种是控制信号或输入信号；另一种是干扰信号或称扰动信号。输入信号加在系统输入端，而扰动信号作用多于被控对象。一个闭环自动控制系统的典型结构图如图2—29所示。

图2-29  闭环控制系统的典型结构

研究系统输出的运动规律，只有滤输入量的作用是不够的，还需要滤干扰的影响，对输入信号和扰动信号的作用分析如下。

一、系统开环传递函数

在图2—29中，将的输出通道断开，亦即断开系统的主反馈通道，这时前后通道传递函数与反馈函数的乘机、、，称为该系统的开环传递函数，即系统的开环传递函数为

                               （2-29）

二.、系统的闭环传递函数

1.作用下系统的闭环传递函数

令，这时图2-29简化为图2-30。

利用结构图等效变换，可求得系统在给定输入作用下的闭环传递函数为

                                     （2-30）

输出的拉氏变换为

                            （2-31）

2.作用下系统的闭环传递函数

在研究干扰对系统的影响时，令，则图2-29简化为图2-31。

图2-30  作用下的系统结构图          图2-31  作用下的系统结构图

由图可得扰动信号作用下系统的闭环传递函数为

                                      （2-32）

输出的拉氏变换为

                   （2-33）

3.系统的总输出

根据线性系统的叠加原理，系统的总输出为各外作用引起的输出的总和。因此将式（2-31）与式（2-33）相加即得总输出的拉氏变换式

           （2-34）

三.闭环系统的误差传递函数

在系统分析中，除要了解输出量的变化规律外，还经常关心控制过程中误差的变化规律。因为控制误差的大小直接反映了系统的工作精度，故分析系统在给定信号和扰动信号作用下的误差传递函数就很有必要。

在图2—29中，规定反馈信号和给定信号之差为系统的误差即

1.作用下系统的误差传递函数

令时的则可通过图2—32求得为

                                    （2-35）

                           图2-32作用下的误差输出的结构图

2.作用下系统的误差传递函数

令时的，则可通过图2—33求得为

                             （ 2-36）

                        图2-33作用下的误差输出的结构图

3.系统的总误差

根据叠加原理可得

将上面导出的四个传递函数表达式（2-30）、（2-32）、（2-35）、（2-36）相对比，可以看出，它们虽然各不相同名单分母却是一样的，均为，这是闭环控制系统各种传递函数的规律性。

另外，如果系统中控制装置的参数设置，能满足

                                                  （2-37）

                                                          （2-38）

则系统的总输出表达式（2—34）可近似为

                                  （2-39）

也可写成

        （2-40）

式（2-39）说明：采用负反馈控制的系统，适当地匹配元部件的结构参数，就有可能获得很强的抑制干扰的能力和对输入指令的跟踪能力，即输出只取决于输入和测量环节的传递函数，而与干扰信号甚至前向通道的传递函数都无关。

式（2-40）说明：当系统的误差为零，系统回具有很高的控制能力。

  §2-6 利用MATLAB求系统的传递函数

  控制系统的分析和设计绝大多数都是基于数学模型的。对于用传递函数描述的系统，我们可以选用MATLAB来进行分析和设计。本节主要介绍系统结构图的化简，以及系统闭环传递函数的求解。

一．num和den函数

   num和den函数是表示传递函数的分子和分母系数的函数，格式如下：

         G(s) =                  （3   ） 

则G(s)可写成

                G(s) =    

 式中

num =[    …  ]

den =[    …  ]

括号中系数之间用空格分隔。

二．Series、parallel、feedback和cloop函数

Series、parallel、feedback和cloop四个函数是环节合并或结构图化简计算用的函数，分别用来进行串联、并联、反馈和单位反馈环节合并的计算，格式如下：

 设 G(s) =、 G (s) =、  G (s) = 。

1．系统串联的化简，计算,用series函数,格式为 ：

    [num , den] = series ( num1,den1,num2,den2 )

2.系统并联的化简，计算,用parallel函数,格式为 ：

[num , den] = parallel ( num1,den1,num2,den2 )

  3.单位反馈连接的化简，计算G(s) =,用cloop函数,格式为 ：

[num , den] = cloop ( num1,den1,sign )

  4. 非单位反馈连接的化简，计算G(s) =,用feedback函数,格式为 ：

[num , den] = feedback( num1,den1,num2,den2,sign )

   式中sign为可选参数，sign = -1为负反馈，sign = 1为正反馈，缺省值为负反馈。

   以上函数调用格式中，等式左侧方括号内为返回变量，等式右侧圆括号内为输入变量。

例2-已知系统结构图如图2-34所示，求系统闭环传递函数。

                    图 2-34  系统结构图

解：程序如下

  num1 = [1] ; den1 = [500  0  0] ;

  num2 = [1  1] ; den2 = [1  2] ;

  [numg , deng] = series (num1 , den1 ,num2 ,den2) ;

  [num , den] = cloop (numg ,deng) ;

  printsys (num ,den)

运行结果为：

num/den =

例2-设系统结构图如图2-35所示，求系统闭环传递函数。

                 图 2-35  系统结构图

解：程序如下

 num1 = [540] ; den1 = [1] ;

 num2 = [1] ; den2 = [1  2];

 num3 = [10] ; den3 = [1  1] ;

 num4 = [1] ; den4 = [2  0.5] ;

num5 = [0.1] ; den5 = [1];

[numa , dena] = parallel(num1 , den1 , num2 , den2);

[numb , denb] = series(num3 , den3 , num4 , den4);

[numc , denc] = feedback(numb , denb , num5 , den5 );

[numd , dend] = series(numa , dena , numc , denc);

[num , den] = cloop(numd , dend);

printsys(num , den)                                                                                                                                                                                                                                          

运行结果如下:

num/den = 

             5400 s + 10810

   ----------------------------------

   2 s^3 + 6.5 s^2 + 5406.5 s + 10813

                              图2-36

      § 2-7    设计实例：低通滤波器的设计

本例的目标是设计一个一阶低通滤波器，其截止频率为，直流增益为。

图2-36所示的包含一个贮能元件的梯形网络可以用作一阶低通滤波器。

                        图2-36  梯形网络

由图可知网络的直流增益（电容器断开时增益）为，满足要求。网络的电压和电流方程为：          

由以上代数方程可得网络的结构图如图2-37所示。

                            图2-37  系统结构图

利用结构图化简法可求得此梯形网络的传递函数为：

由也可以看出，直流增益（令S=0）为。为达到低通滤波器截止频率要求，应将极点配置在处。即。当选择时， ，此时得到的低通滤波器传递函数为： 

习   题

2-1  试求图2-38所示无源网络的传递函数。

                            图2-38 题2-1图

2-2  试求图2-39有源网络的传递函数，并说明属于什么环节。

                             图2-39  题2-2图

2-3  试证明图2-40所示电路系统与机械系统是相似系统。

图2-40  题2-3结构图

2-4  在图2-41中，已知和两方块相应的微分方程分别是

且初始条件均为零，试求传递函数及。

图2-41  题2-4结构图

2-5  已知某系统满足的微分方程组

试画出系统结构图，并求传递函数及。

2-6  某位置随动系统原理方块图如图2-42所示。已知电位器最大工作角度，功率放大放大系数为，要求：

                              图2-42

（1）分别求出电位器传递函数，第一级和第二级放大器的比例系数和；

（2）画出系统结构图；

（3）简化结构图，求系统传递函数。

2-7  已知控制系统结构图如图2-43所示，试通过结构图等效变换求系统传递函数。

                           图2-43  题2-7系统结构图

2-8  简化图2-44所示系统结构图，并求的表达式。

                               图2-44  题2-8图

2-9  求图2-45所示系统的传递函数、。欲消除干扰的影响，问？

                   图2-45 题2-9图

MATLAB习题

 2-10 利用MATLAB求出习题2-5所画结构图的闭环传递函数。

 2-11 如图2-46所示框图，利用MATLAB函数求系统的闭环传递函数。

                        图2-46   系统结构图