第一章勾股定理同步练习

1.1 探索勾股定理

一、填空题

1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90º。

① 若a ＝3，b ＝4，则c ＝________； ② 若a ＝40，b ＝9，则c ＝________；

③ 若a ＝6，c ＝10，则b ＝_______； ④ 若c ＝25，b ＝15，则a ＝________。

2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AB ＝10。

① 若∠A ＝30º，则BC ＝______，AC ＝_______；

② 若∠A ＝45º，则BC ＝______，AC ＝_______。

3．已知等边三角形ABC 的边长是6cm 。求：

（1）高AD 的长；

（2）△ABC 的面积S △ABC 。 4．如图阴影部分正方形的面积是 。

5．如图正方形ABGF 和正方形CDBE 的面积分别是100和36，则以AC 为直径的半圆的面积是 。

6．在△ABC 中∠C=90°，①若a =24 ，c =30 则b= ； ②若a =12 ，b =5 则c= 。

7．由于风向改变，一帆船先向正西方航行80km ，然后向正南方航行150km ，此时它距离出发点 km 。

8．做一个直角三角形的模板，一直角边长5cm ，斜边长13cm ，做成这样的模板要 平方厘米的纸板。

9．一轮船以16海里/时的速度离开A 港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A 港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_____________海里。

10．等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为____________。

11．若正方形的面积为18cm 2，则正方形对角线长为__________cm 。

12．在△ABC 中，∠C=90°，若AB ＝5，则2AB +2AC +2

BC =__________。

13．木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面 (填”合格”或”不合格”)。

14．如图，AC ⊥CE ，AD=BE=13，BC=5，DE=7，那么AC= 。 A

B C

D

12

9

A B

C

D E

A C D

B E F G 100

36

二、选择题

1．如图中字母A所代表的正方形的面积为( )

A、4

B、8

C、16

D、

2．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）

A 4

B 8

C 10

D 12

3．直角三角形两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（）

A．6cm B．8cm C．

80

13

cm D．

60

13

cm

4．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）

A．56 B．48 C．40 D．32

5．如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=900，∠CBD=90，AD=4，AB=3，BC=12，

积。

求正方形DCEF的面

三、解答题

1．如图所示，铁路上A、B两点相距25，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直于AB于B，已知DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使和C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

2．一架长2.5米的梯子，斜放在墙上如图所示，梯子的底部B，离墙脚O的距离是0.7米，在梯子的顶部A向下滑0.4米时，梯子的底部向外移动多少米？

3．如图所示，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光由A 点射向平面镜反射之后恰巧经过B点，求B点到入射点的距离。

4．小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积为48平方米，其对角线长为10米，为建起棚栏，要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮助掌小明算一算吗？

5．如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高

6．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？

1．2 能得到直角三角形吗

一、选择题

1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）

A ．5，6，7

B ．1，4，9

C ．5，12，13

D ．5，11，12

2．若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的平方是（ ）

A ．5

B ．25

C ．7

D ．7和25

3．给出下列几组数：① 6，7，8；② 8，15，6；③ 9，40，41；④ 22

m n -，2mn ，22m n +(0)m n >>。其中能组成直角三角形的三条边长的是（ ）

A ．①③

B ．②④

C ．①②

D ．③④

4．在下列各组数中 能组成直角三角形的有 （ ）

① 9、80、81 ② 10、24、25 ③ 15、20、25 ④ 8、15、17

A 1组

B 2组

C 3组

D 4组

5．△ABC 的三边分别是a 、b 、c 且满足（a+b ）2-c 2=2ab,则此三角形是（ ）

A 锐角三角形

B 钝角三角形

C 直角三角形

D 等腰直角三角形

6．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )

A 钝角三角形

B 直角三角形

C 锐角三角形

D 等腰三角形

7．一直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边与斜边长的和是49cm ，则斜边的长( )

A 18cm

B 20cm

C 24cm

D 25cm

8．在△ABC 中，AB=12cm ， BC=16cm ， AC=20cm ， 则△ABC 的面积是( )

A 、96cm 2

B 、120cm 2

C 、160cm 2

D 、200cm 2

9．直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长是（ ）

A 120

B 121

C 132

D 123

10．适合下列条件的△ABC 中， 直角三角形的个数为( ) ①;5

1,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450; ③∠A=320，∠B=580； ④;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b a

A 2个

B 3个

C 4个

D 5个

二、填空题

1．请你写出三组比例不同的勾股数_____________、_____________、_____________。

2.已知212(13)x z -+-和2

1025y y -+是相反数，则以x 、y 、z 为边的三角形是_____________三角形。

三、解答题

1．如图所示，在△ABD 中，∠A 是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，△DBC 是直角三角形吗？请说明理由。

2．如图所示，在四边形ABCD 中，∠A 是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD 的面积。

3．如图所示，在四边形ABCD 中，∠A 是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD 的面积。

4．a 、b 、c 是△ABC 的三边，三边长分别为22

a m n =-，2

b mn =，22

c m n =+()m n >，试猜想∠C 是什么角？请说明理由。

5．在课本的“读一读”中，我们知道，任何两个正整数m 和n ()m n >，则22a m n =-，2b mn =，22c m n =+就是满足222a b c +=的一组勾股数。根据这种方法，现列出几组勾股数如下：

第一组：3，4，5；第二组：5，12，13；第三组：7，24，25；第五组：9，40，41；第六组：11，60，61；……

（1） 你发现了什么？

（2） 你还能写出这样的勾股数？

（3） 能否用代数式表示其规律吗？能，请写出；不能，请说

明理由。

6．如图所示，在边长为4的正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，

E 为BC 上的一点，14

EC BC =

且，猜想AF 与EF 的关系，并说明理由。

1.3 蚂蚁怎样走最近

一、填空题

1．设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个三角形的面积____________是。

2．如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，

要从A 点爬到B 点，则最少要爬行_____________cm 。 3．如图所示，正方形CDEF 的面积为169 ，AF=12，AB=4，

∠FAC=90°，∠ABC=90°，则BC= 。

4．小明放学后先到书店买书再回家，已知书店在学校正西方450米，而小明家在书店的正南方，小明家与学校的距离为

750米，则小明回到家共走了 米。 5．如图，小红欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸

地点C 偏离欲到达点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，则该河流的宽

度为 。

6．如图所示，由正方形网格组成的玩具棋盘，小正方形边长为1，一

粒棋子运行的路线是从A 点开始，途经B 点、C 点、D 点、最后到达E 点，

棋子在运动过程中一共走了 个单位。

二、选择题

1．如图所示，正方形ABCD 的连长为1cm ，以对角线AC 为

边长再作一个正方形ACEF ，则正方形ACEF 的面积是（ ）

A ．2cm 2

B ．3cm 2

C ．5cm 2

D ．4cm 2

2．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到

A

B

C D E

F

B

A

A

B C 200m 520m

达建筑物的高度是（ ）

A ．10米

B ．11米

C ．12米

D ．13米

3．如图：有一圆柱，它的高等于cm 8，底面直径等于cm 4（3=π），

在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的

食物，需要爬行的最短路程大约（ ）

A 、10cm

B 、12cm

C 、19m

D 、20cm

三、解答题

1．如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方

有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根

铁棒应有多长？ 2．如图，是由边长为1的小正方形组成

的网格。

① 计算四边形ABCD 的面积；

② 求线段AB 的长度；

③ 求∠D 的度数。

3．小明想测量学校旗杆的高度，他采

用如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些，

让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉

直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆

底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度。

4．小明有一根70cm 长的木棒，现有一个长、宽、高分别为30cm 、40cm 、50cm 的木箱，这个木箱能够容下小明的这根木棒吗？请你

说明理由。

5．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶

上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出

示意图，然后再求解）。

6．中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车

在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小

汽车在一条城市街路上直道行驶，

某一时刻刚好行驶到路面A

B

观测

对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了

7．在△ABC 中，AB=13，BC=10，BC 边上的中线AD=12，你能求出AC 的值吗？

8．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？

※9．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域.

（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？

（2）若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？

第一章《勾股定理》单元测试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．若直角三角形ABC 中，∠C=900，且以c=41，a=9，则b 为（ ）

A 50

B 32

C 42

D 40

2．如图所示，在△ABC 中，∠C=900，D 为BC 的中

点，DE ⊥AB 于E ，则AE 2－BE 2等于（ ）

A AC 2

B BD 2

C BC 2

D D

E 2

3．直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，

则它的周长为（ ）

A 120

B 121

C 122

D 132

4．一条对角线长为17，一边长为15的矩形的周长是（ ）

A 40

B 42

C 44

D 46

5．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列说法错误的是（ ）

A 如果∠C －∠B=∠A ，则△ABC 是直角三角形

B 如果∠A=300，则12a c =

C 如果∠C=900，则222c a b -=

D 如果2()()a b a b c +-=，则△ABC 是直角三角形

6．在直角三角形中，两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h ，则（ ） A 111a b h += B 2222a b h += C 222111a b h += D 1a b h

+=

E A B

7．在△ABC 中，∠C=900，周长为60，斜边与一直角边的比为13：5，则这个三角形的三边长分别为（ ）

A 5，4，3

B 13，12，5

C 10，8，6

D 26，24，10

8．如图所示，在一条河CD 的同一侧有A 、B 两个村

庄，A 、B 与河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，

且C 、D 两地相距500m ，若要在河上建一座送水站，则该

送水站到两村的距离和最短为（ ）

A 1000m

B 1200m

C 1300m

D 1700m

9．如图所示，正方形ABCD 的边长为2cm ，以对角线AC 为边长

再作一个正方形，则正方形ACFE 的面积（ ）

A 4cm 2

B 6cm 2

C 10cm 2

D 8cm 2

10．以直角三角形的两直角边为直径的两个半圆面积之和为

252

π，则以斜边AB 为直径的半圆面积等于（ ） A 258π B 498π C 252π D 492

π 二、填空题（每小题3分，共24分）

11．在Rt △ABC 中，∠C=900，若22b m n =，222

c m n =+(0)m n >>，则a=__________________。

12．有相距8m 的两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行________________。

13．在Rt △ABC 中，21AB n =+，21BC n =-，2AC n =，那么∠B+∠A=___________。

14．小刚从家里出发向正北方向走了80m ，接着向正东

方向走了150m ，现在他离家的距离是

_____________________。

15．如图所示，地面上一块宽AB=2cm ，长BC=10cm ，

CD 上的点G 距地面高CG=5cm ，地面上一只蚂蚁从A 处到

G 处吃食物，若蚂蚁只在侧面上爬行，则它要行的最短路程

是_____________cm 。

16．一木工师傅做了一个长方形桌面，量得桌面的长为

60cm ，宽为32cm ，对角线长为68cm ，这个桌面_____________。（填“合格”或“不合格”）

17．若一个直角三角形三边长为三个连续的偶数，则这个三角形的周长是__________。

18．纸质饮料盒是一个长方体，长6cm ，宽4cm ，高12cm ，从纸盒一角的小孔插入吸管，使小孔外至少保留6cm 长，为了能吸到纸盒内每一个角落，吸管的长度至少为_____cm 。

三、解答题（共46分）

19．（10分）△ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，请说明2222

2AB AD BD CD =++。

21．（12分）由A市到C市需经过B市，如图所示，ABBC，

一辆汽车以每小时80千米的速度从A市到B市需4小时，B市

到C市需3小时，为了加快经济建设，现打通了A市直达C市

的公路，那么这辆汽车现在从A市到C市比以前提前了多少小

时？

22．（14分）葛藤是一种钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树攀升的路线总是沿最短路线——螺旋前进的，难道植物也懂数学？

（1）如果树干的周长为4分米，绕树一圈升高3分米，则它爬行一圈的路程是多少？

（2）如果树干的周长是8分米，绕一圈爬行10分米，则爬行一圈升高多少？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少？

第一章《勾股定理》单元测试题（答案）

一、选择题：

1．D；2．A；3．D；4．D；5．B；6．C：7．D；8．C；9．A；10．C。

二填空题：

；12．10；13．900；14．170；15．13；16．合格；17．24；18．20。

11．m n

三、解答题：

19．略；

20．AC=10米，矩形的面积ACDF的面积200平方米。故需用12000（元）

21．22．