2017年全国高中数赛模拟试题16

第一试

（时间：8:00-9:20  满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共分.

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共分.

1．已知函数，若实数使方程有实根，则的最小值是      

2．在正三棱台中，上底面积，下底面积．若底边到截面的距离等于三棱台的高，则              

3．从中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有          种

4．已知，且，若，则的取值范围是   ．

5． 函数的最小值为              

6．设，则数列的通项公式为                 

7．如图，设分别是两个同心圆（半径分别为）上的动点．当分别在圆上运动时，线段的中点所形成的区域面积为              

8．设且，则的最大值为             

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）. 设复数满足．证明：．

10.（本小题满分20分）

给定整数，设，其中,满足

求出所有满足条件的函数．

11.（本小题满分20分）

给定椭圆及点．

（1）求的值使得对于椭圆的左顶点，存在椭圆上的另两点，满足以为圆心、为半径的圆是的内切圆；

（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点，使得是的内切圆，并确定此时直线的方程．

2017年全国高中数赛模拟试题16

加试

（时间：9:40-12:10  满分：180）

一、（本小题满分40分）

已知的内心为，的内切圆切边于点，的内心分别是，的外心为．

求证：三点共线．

    二、（本小题满分40分）

    设且．求证： 

三、（本小题满分50分）

已知正整数满足．

令 

对任意，记，其中表示不超过的最大整数，表示集合中元素的个数．

证明：（1）；（2）

四、（本小题满分50分）

某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2014个站台（依次编号为1,2，…，2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应2014年）．为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠．出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点．试求不同停靠方式的种数．

2017年全国高中数赛模拟试题16

第一试参考解答

（时间：8:00-9:20  满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共分.

1．已知函数，若实数使方程有实根，则的最小值是      

2．在正三棱台中，上底面积，下底面积．若底边到截面的距离等于三棱台的高，则              

3．从中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有          种

4．已知，且，若，则的取值范围是   ．

5． 函数的最小值为              

6．设，则数列的通项公式为                 

7．如图，设分别是两个同心圆（半径分别为）上的动点．当分别在圆上运动时，线段的中点所形成的区域面积为              

8．设且，则的最大值为             

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9．设复数满足．证明：．

10．给定整数，设，其中,满足

求出所有满足条件的函数．

11．给定椭圆及点．

（1）求的值使得对于椭圆的左顶点，存在椭圆上的另两点，满足以为圆心、为半径的圆是的内切圆；

（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点，使得是的内切圆，并确定此时直线的方程．

2017年全国高中数赛模拟试题16

加试参考解答

（时间：9:40-12:10  满分：180）

一、（本小题满分40分）

已知的内心为，的内切圆切边于点，的内心分别是，的外心为．

求证：三点共线．

证明：设分别切边于点，的内切圆切于点，的内切圆切于点，则，

同理．从而重合，所以．

因为的外心为，

所以．

从而，

所以三点共线．

二、（本小题满分40分）

    设且．求证： 

三、（本小题满分50分）

已知正整数满足．

令 

对任意，记，其中表示不超过的最大整数，表示集合中元素的个数．

证明：（1）；（2）

四、（本小题满分50分）

某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2014个站台（依次编号为1,2，…，2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应2014年）．为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠．出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点．试求不同停靠方式的种数．