带电粒子在磁场中的偏转竞赛题

【内容综述】

　　这部分的内容，主要是研究在电场力和洛仑兹力同时作用下，带电粒子的运动规律。重点是对带电粒子进行受力分析，确定带电粒子的运动状态。

　　【要点讲解】

　　学习这部分知识，首先要清楚电场和磁场对带电粒子的作用力的性质，以及电场和磁场对带电粒子作用力的区别：那么带电粒子处于电场中，就一定会受到电场力，而且，如果电场是匀强电场，只要带电粒子所受电场力一定是恒力；在磁场中，只有带电粒子运动才可能受到洛仑兹力作用，只有带电粒子的运动方向不与磁场方向平行，带电粒子才一定受到洛仑兹力作用。同时，要注意，洛仑兹力的方向与带电粒子的运动方向垂直，这就意味着，作曲线运动的带电粒子所受的洛仑兹力是变力。电场力对带电粒子作功；而洛仑兹力对带电粒子不作功。

　　【例题分析】

　　例1  如图所示，充电的两平行金属板间有场强为E的匀强电场，和方向与电场垂直（垂直纸面向里）的匀强磁场，磁感应强度为B，构成了速度选择器。氕、氘、氚核以相同的动

能从两极板中间，垂直于电场和磁场射入速度选择器，目氚核沿直线射出，则射出时 

　　A．动能增加的是氚核 　　　B．动能增加的是氕核

　　C．偏向正极板的是氚核 　　D．偏向正级板的是氕核

　　分析

　　带电粒子在运动过程中，受到了电场力和洛仑兹力两个力的作用，因此，这是一个复合场问题。依然可以从受力分析和运动分析入手。

　　解

　　带电粒子垂直于电场和磁场方向射入速度选择器后，同时受到电场力F=qE和洛仑兹力f=qVB 。

　　若粒子的速度为时，

　　则粒子将做匀速直线运动，反过来说，设想粒子若以左侧挡板的孔射入，并从右侧孔射出，则粒子受电场力与洛仑兹力平衡，做匀速直线运动，则

　　若，则，粒子将向逆电力线方向偏向正极板，且由于洛仑兹力不做功，而电场力做负功，则粒子射出时的动能小于射入时的动能。

　　反之，若，则,粒子将偏向负极板运动，由于电场力做正功，则粒子射出时的动能大射入时的动能。

　　本题给出三个粒子的动能相同，则它们射入速度选择器时的速度

　　可见射入时氕核的速度最大，氚核的速度最小

　　基于氘核沿直线运动，所以氕核将偏向正极板运动，射出时的动能小于射入时的动能，氚核则恰好相反，

　　本题答案是（A）、（D）

　　说明

　　所谓速度选择，就是指对于确定的E和B，可以获得确定的。

　　还需说明的一点是，作为速度选择器，与粒子带电的性质（正、负），没有关系，但与粒子射入电磁场的方向有关。

　　粒子的速度时，射入速度选择器后，将做曲线运动，由于洛仑兹力始终与速度方向垂直，而电场力是恒力，所以粒子所受的合力大小和方向都在不断地的变化，故不可能用牛顿运动定律来描述粒子的运动，但可如上述分析的那样，用动能定理讨论粒子从射入到射出的动能变化。

　　例2如图甲所示，两块互相平行，水平放置的金属间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场。匀强磁场垂直纸面向里，，两板间的电压U随时间而变化，变化情况如图乙所示，已知板长L=1.4m两板间距为d=0.3m，当t=o时有一个a粒子以速度从两板飞入。问；

1．a粒子能否穿出金属板？为什么？

2．若能穿过，需要多长时间？

分析：

这是一个恒定的磁场和一个断续发生的电场共同作用于运动的带电粒子问题，由于电场断续存在，这样就存在着两个时间段：一是电场与磁场同时存在；二是只有磁场存在。在区分两种情况，确定带电粒子作何运动后，才能判断带电粒子能否穿出，若穿出，需要多少时间。

解答：

（1）先研究电场与磁场同时存在的情况：

在电场与磁场同时存在时，a粒子作匀速直线运动。

再研究只存在磁场的情况，由于只受洛仑兹力，a粒子应作匀速圆周运动，半径大小为R，即

得

圆周运动的直径：

因而粒子作匀速圆运动时不会打到极板上，圆周运动的周期：

　　粒子作匀速圆周运动的周期恰好等于电压变化的半周期。这就是说，在只有磁场存在的那个时间段，粒子作圆周运动，在时间段结束的时刻，粒子回到原处，且速度大小和方向没有变化。

　　根据上述计算和分析可得；粒子的运动轨迹如图所示。

　　（2）综上所述，粒子作匀速圆周运动时并不前进，而匀速直线运动的时间与匀速圆周运动的时间相同，n次后粒子飞出了极板，设粒子作直线运动的时间为。

　　因此，粒子飞出两板间的时刻，正好处在粒子作直线运动的时间段上，因此粒子是匀速直线飞出的。并且粒子在两板间作了3次匀速圆周运动，故作匀速圆周运动的总时间为：

　　粒子穿过两板间所用的总时间为：

　　说明：

粒子经过3次匀速直线运动，已经前进了1.21m，距离右边界还有0.2m，这个距离仍然比粒子作匀速圆周运动的半径要大许多，所以，不会发生粒子在第3次作匀速圆周运动中穿出两板间右边界。

　　例3．当平行板电容器的负极板为一定波长的光所照射时，我们发现这个负极板上有电子从各个方向射出来，电子脱离负极板时速率很小，可以忽略不计。设电容器两极板间的距离为 d，两极板间的电势差为U。求：要使这些电子到达不了正极板，应该施加一个多大的与极板平行的磁场？

　　分析：

　　根据题意可画出题目示意图，如图所示。解这个题目，容易犯的错误就是在电子最靠近正极板的p点时，人们会错误认为，在此点电子受到的电场力和磁场力相等，从而列出方程： 

　　其实不然，因为在此点，带电粒子作曲线运动，因此合力不为零。也有人认为，电场力和磁场力的合力提供了电子作曲线运动的向心力，即，此式虽然未错，但曲率半径R未知，亦不可行。下面介绍一种简单的做法。

　　解：

　　设电子到 p点时在方向的速度，根据动量定理可列出

　　 （1）

　　为作用在电子上的沿x方向的力的平均值；为从开始至到达p点所需时间，又因磁场力有做功，根据动能定理可列出

　　在p点，

　　即：（2）

　　又x方向作用于电子的力只有磁场力。

　　（3）

　　联立（1）、（2）、（3）式可求得：

　　为 y方向的平均速度，是到达p点的时间，则

　　所以 

　　例4．在空间有相互垂直的匀强电场E和匀强磁B，电场方向为 y，磁场方向为x，一电子从原点O静止释放，求电子在y方向前进的最大距离。

　　分析：

　　因磁场对运动电荷的作用力恒与磁场垂直，为方便起见，一般把磁场方向选在垂直纸平面内，如图所示。设电子沿y方向前进的最大距离为，此时，电子沿 z 方向的速度为，根据动量定理，在z方向上有：

　　（1）

　　为y方向的平均速度，是到达y方向最大位移的时间，则根据动能定理可列出

　　在达y方向最大位移时，。

　　即：（2）

　　联立（1） （2）方程的

【同步达纲练习】

　　 A组

　　1．图所示的两平行金属板间有正交的匀强电场和匀强磁场，一带电粒子沿垂直于电场和磁场的方向射入两板间，不计重力，穿出时，粒子的动能减少了，为了使粒子从射入到穿出的动能增加，其它条件不变，可使

　　A．粒子射入时的速度减小

　　B．粒子带电的性质改变（如正变负）

　　C．磁场的磁感应强度增强

　　D．两极板间的电压增大

　　2．方向竖直向下的匀强电场和方向水平且垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，一离子从A点由静止释放后，沿曲线ACD运动，C为轨迹的最低点，离子达D点时的速度为零，不计重力，则

　　A．这离子必带正电荷

　　B．A、D两点位于同一高度

　　C．离子达C点时的速度最大

　　D．离子在D点后，将沿原曲线返回A点

　　3．在图中虚线所围的区域内，存在电场强度为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场。已知从左方水平射入的电子，穿过这区域时未发生偏转。设重力可忽略不计，则在这区域中的E和B的方向可能是

　　A．E和B都沿水平方向，并与电子运动的方相同

　　B．E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相反

　　C．E坚直向上，B垂直纸面向外

　　D．E坚直向上，B垂直纸面向里

　　4．如图所示，板长为L的两平行金属板，充电后其间有匀强电场。一个带电粒子垂直于电场方向，从两板正射入，其动能为。射出电场时，偏离原方向的距离为d，若在两板间再加上匀强磁场，方向与电场方向垂直。若带电粒子仍原样射入，则射出电场线方向偏移距离也是d 射出，求此时粒子射出时的动能

　　5．如图所示，束具有各种速率的带一个基本电荷的两种铜离子，质量数分别为63和65，水平地经小孔S进入一匀强电场和匀强磁场的区域，电场E的方向向下，磁场B的方向垂直纸面向里。只有那些路径不发生偏折的离子才能通过另一小孔S，为了把从S，射出的两种铜离子分开，再让它们进入另一方向垂直纸面向外强磁场B，中。使两种离子分别沿不同半径的圆形轨道运动。试分别求出两离子轨道半径（应明确地说明演算过程的物理依据）

　　6．如图所示，在两平行金属板间有方向坚硬直向上的匀强电场E和坚直方向的匀强场B。MN是荧光屏，中心为O，O′O=I，在荧光屏上建立坐标系，原点为O，y 轴向上，x轴垂直纸面向里。一束速度、荷质比相同的粒子沿O′O方向从O，点射入并打到屏上P点，P点坐标为

　　问：

　　（1）粒子带什么电荷？B的方向如何？

　　（2）粒子的荷质比为多大？

参

【同步达纲练习】

　　1．A，D 2．A，B，C 3．A，B，C

　　4．

　　5．

　　6．（1）粒子带正电，磁场方向坚直向上

　　（2）

　　提示：粒子的运动。是由y轴的匀加速直成运动和与此同时x轴组成的水平面上的匀速圆周运动合成而得，即螺距不断增大的螺旋运动。