高一数学(必修二)立体几何初步单元测试卷及答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.如图所示，己知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为(   )

A.8    B.    C.4    D.

2.下列说法正确的是(   )

A.三点确定一个平面

B.圆心和圆上两个点确定一个平面

C.如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点

D.如果两条直线没有交点，则这两条直线平行

3.正方体中，P，Q，R分别是AB，AD，的中点，那么正方体中过P，Q，R的截面图形是(   )

A.三角形    B.四边形    C.五边形    D.六边形

4.某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A，B，D，F，C在正视图中分别对应点A，B，E，F，C，且，，异面直线AB，CD所成角的正弦值为，则该圆柱的外接球的表面积为(   )

A.    B.    C.    D.

5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为(   )

A.    B.    C.    D.

6.异面直线是指(   )

A.空间中两条不相交的直线

B.分别位于两个不同平面内的两条直线

C.平面内的一条直线与平面外的一条直线

D.不同在任何一个平面内的两条直线

7.如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，则与直线CF互为异面直线的是(   )

A.    B.    C.DE    D.AE

8.下列说法中正确的是(   )

A.三点确定一个平面

B.四边形一定是平面图形

C.梯形一定是平面图形

D.两个不同平面和有不在同一条直线上的三个公共点

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）

9.在空间四边形中，分别是上的点，当平面EFCH时，下面结论正确的是(   )

A.一定是各边的中点    B.一定是的中点

C.，且    D.四边形EFGH是平行四边形或梯形

10.设是两条不同的直线,是三个不同的平面,则的一个充分条件是(    )

A.存在一条直线 

B.存在一条直线 

C.存在一个平面,满足 

D.存在两条异面直线 

11.如图，在三棱锥中，平面，，，D为PB的中点，则下列结论正确的有(   )

A.平面    B.    C.平面    D.平面

12.下列说法正确的是(   )

A.垂直于同一个平面的两条直线平行

B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直

C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行

D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在三棱锥中，平面平面是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为______．

14.已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________________.

15.在梯形ABCD中，，，.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为__________.

16.如图，将一个长方体用过相交的三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （10分）四棱锥的底面为直角梯形,平面,

(1)求证：;

(2)求四棱锥的体积．

18. （12分）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，.

（1）求证：；

（2）若，，M为线段PC上一点，且，求三棱锥的体积

19. （12分）如图所示，圆锥的底面圆半径，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形． 

(1).求此圆锥的表面积；

(2).求此圆锥的体积．

20. （12分）如图，在四棱锥中，平面,，,

且A，，，点M在上．

（1）求证：；

（2）若,求三棱锥的体积．

21. （12分）如图，P是所在平面外一点，分别是和的中点，试过点做平行于的平面，要求：

（1）画出平面分别与平面，平面，平面的交线；

（2）试对你的画法给出证明．

22. （12分）如图，在直三棱柱中，,，，连接MN.

求证：平面.

参以解析

1.答案：A

解析：将直观图复原为原图，如图：

则，，故，所以原图形的周长为.

2.答案：C

解析：共线的三点不能确定一个平面，故A错误；当圆上的两个点恰为直径的端点时，不能确定一个平面，故B错误；如果两个平面相交有一个交点，则这两个平面相交于过该点的一条直线，故C正确；如果两条直线没有交点，则这两条直线平行或异面，故D错误.故选C.

3.答案：D

解析：由已知的三点P，Q，R，确定截面的一条边PQ，延长PQ交BC的延长线于一点，连接该点与点R即可得到与棱的交点M，利用基本事实3确定交线RM，PM，同样的方法找出其他交线，即可得到截面PONSRM如图所示.故选D.

4.答案：A

解析：如图所示，连接AF，设底面圆的圆心为O，由，可知，E为OF的中点，C为BF的中点，连接OC，则，所以异面直线AB，CD所成角为或其补角，连接DF，DE，OD，CE，因为，所以，则为等边三角形.设圆O的半径为r，在中，，所以，在中，又，所以，由异面直线AB，CD所成角的正弦值为，可知.在中，由余弦定理得，所以.易知该圆柱的外接球的直径为AB，则，故外接球的表面积为.故选A.

5.答案：B

解析：如图，过点作，垂足为E，由四个侧面的面积之和为可知，侧面的面积为，所以，则.由题意得，在中，.连接AC，，过点作，垂足为F，易知四边形为等腰梯形，且，，则，所以，所以该方亭的体积，故选B.

6.答案：D

解析：对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能，一个是平行（共面），另一个是异面，所以A应排除.对于B，分别位于两个不同平面内的直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除.对于C，如图中的a，b可看作是平面内的一条直线a与平面外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除.只有D符合定义.

7.答案：D

解析：因为直线，平面，平面，所以直线，与直线CF共面.又因为E，F分别是，的中点，所以.由平面，平面，且CF与AE不平行，可得直线CF与直线AE互为异面直线.故选D.

8.答案：C

解析：不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确.故选C.

9.答案：CD

解析：由平面EFGH和线面平行的性质定理，得，则，且，且，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.故选CD.

10.答案：CD

解析：对于选项A,若存在一条直线,则或与相交.

若,则存在一条直线,使得,,

所以选项A的内容是的一个必要条件而不是充分条件；

对于选项B,存在一条直线,则或与相交.

若,则存在一条直线,

所以,选项B的内容是的一个必要条件而不是充分条件；

对于选项C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的,故选项C的内容是的一个充分条件；

对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中,成为相交直线,由面面平行的判定定理可知,,则,

所以选项D的内容是的一个充分条件.

故选：CD.

11.答案：ABC

解析：因为平面ABC，所以，又，，PA，平面PAB，所以平面PAB，故A正确；

由平面PAB，得，又，D是PB的中点，所以，又，PB，平面PBC，所以平面PBC，所以，故B，C正确；

由平面PAB，得，因此PB与CD不垂直，从而PB不与平面ADC垂直，D错误.故选A，B，C.

12.答案：ABC

解析：由线面垂直的性质定理知,垂直于同一个平面的两条直线平行,A正确;由面面垂直的性质定理知,若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直,B正确;由面面平行的判定定理知,一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行,C正确;对于D,这条直线有可能在这个平面内,D错误.故选ABC.

13.答案：

解析：如图,

在等边三角形中，取中点，设其中心为，

由,得.

∵是以为斜边的等腰直角三角形，

∴为的外心，则为棱锥的外接球球心，

则外接球半径.

∴该三棱锥外接球的表面积为.

故答案为：.

14.答案：

解析：设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，

则，解得.设所求的小正方体的棱长为a，则，

所以，所以小正方体体积的最大值为.

15.答案：

解析：梯形ABCD如图所示，，，，，，，解得.过点A作于点T，则，.旋转体是底面半径为，高为2的圆柱，挖去2个底面半径为，高为的圆维，则所围成的几何体的体积.

16.答案：1:47

解析：设长方体的相交的三条棱长分别为a，b，c，则所截棱锥的体积，剩下的几何体的体积，所以体积比为1:47.

17.答案：(1).证明：因为平面,平面

所以,

又因为,

所以平面

又平面所以

(2).解：.

又平面

所以

解析： 

18.答案：（1）

如图，取BC中点D，连接PD，AD.因为，所以. 因为为等边三角形，所以.又，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.

（2）因为，所以，由（1）知，又因为，，平面，平面，所以平面.因为是边长为2的等边三角形，所以，因为，所以.

19.答案：(1).；(2).

解析： (1).因为，所以底面圆周长为，所以底面圆的面积为， 

所以弧长为， 又因为，则有，所以，扇形面积为，所以圆锥的表面积

(2).在中，，所以圆锥的体积． 

20.答案：(1)取中点E，连结,则，

所以四边形为平四边形，故，

又,所以, 

故,又，,所以平面,故有

（2）因为，所以,所以 

21.答案：（1）过点作交于E，

过M点作交于F，连结，

则平面为平行于的平面，

分别是平面与平面，

平面，平面的交线．

（2），. 

直线与共面，分别是平面与平面，

平面，平面的交线．

平面，

平面．

∴平面为所求的平面．

解析： 

22.答案：如图，过点N作的平行线交于点P，连接AP.

因为,，所以,，

所以.

又，，

所以,

所以四边形AMNP为平行四边形，所以.

因为平面,平面，

所以平面.