徐州、淮安、宿迁、连云港2015届高三一模数学试卷答案

数学参与评分标准（定稿）

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

1．6；    2．；   3．；    4．；    5．7；    6．；       7．；

8．22；   9．18；   10．；   　11．2；   12．25 ； 13．；   14．3．

二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(1)因为，所以， …………………………………………………………2分

所以，即．    …………………4分

因为，所以．      …………………………………………6分

(2)由∥，得，  ………………………………………………8分

即，即，

整理得，      ……………………………………………………11分

又，所以，

所以，即．     …………………………………………………14分 

16．（1）因为平面⊥平面，平面平面，平面，

⊥，所以⊥平面． …………………………………………………2分

因为平面，所以⊥. ………………………………………………4分

又因为⊥，且，平面,

所以⊥平面，…………………………………………………………………6分

又因为平面，所以⊥．……………………………………………7分

（2）在平面内过点作⊥，垂足为．…………………………………8分

因为平面⊥平面，又平面∩平面＝BC，

平面，所以⊥平面．…………………………………………10分

又⊥平面，所以//．……………………………………………………12分

又平面，平面， //平面．……………………………14分

17．(1) 因为，所以，…………………………………1分

又因为，所以，所以，…………………………………3分

由，得，…………………………………………………………… 4分

所以直线的斜率， ………………………………………………5分

所以直线的方程为，即．…………………………6分

（2)设，则．…………………………………………7分

则，

因为，所以，

所以点的坐标为  ………………………………………………………8分

又设的外接圆的方程为，

则有……………………………………………10分

解之得,,

所以的外接圆的方程为，…………12分

整理得，

令，所以（舍）或

所以△的外接圆恒过定点为．…………………………………………14分

18．(1)如图，以为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为．……………………………………………………………………………1分

设边缘线所在抛物线的方程为， 

把代入，得，解得，

所以抛物线的方程为．…………………………………………………………3分

因为，……………………………………………………………………………4分

所以过的切线方程为．………………………………………5分

令，得；令，得，…………………………………7分

所以，…………………………………………………………8分

所以，定义域为．………………………………………9分

(2)，……………………………………………12分

由，得，

所以在上是增函数，在上是减函数，…………………………14分

所以在上有最大值．

又因为，

所以不存在点，使隔离出的△面积超过3．…………………………16分

19．（1）因为，

所以，

同理，，， ……………………2分

又因为，，…………………………………………………3分

所以，

故，成等差数列．…………………………………………………………4分

（2） 由，得，…………………………5分

令，则，，

所以是以0为首项，公差为的等差数列，

所以，…………………………………………………6分

即，

所以，

所以． ………………………………………………………8分

当，   ……………………………………………………………9分

当．………………10分

（3）由（2）知，

用累加法可求得，

当时也适合，所以　……………………12分

假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，

则，即，　………14分

因为成等比数列，所以，

所以，

化简得，联立，得．

这与题设矛盾．

故不存在三项成等比数列，且也成等比数列．…16分

20．（1）因为，所以，………………………………………1分

此时，

  ……………………………………… 2分

由，得，

又，所以．

所以的单调减区间为． 　 ………………………………………… 4分

（2）方法一：令，

所以．

当时，因为，所以．

所以在上是递增函数，

又因为，

所以关于的不等式不能恒成立．……………………………………6分

当时，，

令，得．

所以当时，；当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数．

故函数的最大值为．

　　　　　　 　    ……………………………………………………………………8分

令，

因为，又因为在是减函数．

所以当时，．

所以整数的最小值为2．   …………………………………………………………10分

方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立，

问题等价于在上恒成立．

令，只要．………………………………………… 6分

因为，令，得．

设，因为，所以在上单调递减，

不妨设的根为．

当时，；当时，，

所以在上是增函数；在上是减函数．

所以．………………………8分

因为，

所以，此时，即．

所以，即整数的最小值为2．……………………………………………… 10分

（3）当时，

由，即

从而   ………………………………… 13分

令，则由得， 

可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

所以，       ………………………………………………………15分

所以，

因此成立．………………………………………………………… 16分

苏北四市高三年级第一次模拟考试

        数学试题参与评分标准       

数学Ⅱ  附加题部分（定稿）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．(选修4—1：几何证明选讲)

因为，所以．………………………………………………2分

因为，所以．……………………………………………4分

因为，所以．………………………………………6分

因为， ………………………………………8分

所以，即平分．………………………………………10分

B．选修4-2：矩阵与变换

解: 设直线上任意一点在变换的作用下变成点，

由，得，……………………………………………4分

因为在直线上，

所以，即，     ……………………6分

又因为在直线上，所以． ……………………8分

因此解得.       ………………………………………10分

C．选修4-4：坐标系与参数方程

解: 因为直线的参数方程为,

消去参数，得直线的普通方程为．……………………………………3分

又因为圆的参数方程为（为参数），

所以圆的普通方程为．………………………………………………6分

因为圆的圆心到直线的距离，……………………………………………8分

故依题意，得，

解得.  ……………………………………………………………………………10分

D．选修4－5：不等式选讲

解：因为，所以，……………………………………………3分

又因为，所以，且当时取等号．………………6分

所以，且当时取等号．……………………9分

所以的最小值为．………………………………………………………10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. (1) 记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，

则，………………………………………………………2分

所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为.……………………………3分

(2)随机变量的所有可能取值有．……………………………………………4分

因为，

，

，

，……………………………………………………………8分

所以的分布列为

23．（1）由题设知，即

所以抛物线的方程为…………………………………………………………2分

（2）因为函数的导函数为，设，

则直线的方程为，………………………………4分

因为点在直线上，所以．

联立解得．……………………………………5分

所以直线的方程为． ……………………………………………… 6分

设直线方程为，

由，得，

所以．…………………………………………… 7分

由，得．………………………………………………… 8分

所以,

故为定值2．……………………………………………………………10分