江苏省清江中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题...

理科数学试题

时间：120分钟                 满分：160分                       

参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差：，其中为样本平均数．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1． 命题“，”的否定是       ▲      ．

2．抛物线的准线方程为         ▲            ．

3． 在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的

分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最

低分后，所剩数据的方差为   ▲  ．        

4．若复数()是纯虚数，则= 　▲　　　 ．

5． 某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为　▲　　　 ．

6. 右图是一个算法流程图，则输出S的值是   ▲     ．

7 .已知曲线在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为 ▲     ．

8. 一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为      ▲        ．

9. 已知等比数列中，有 成立．类似地，在等差数列中，有______▲　___成立．

10．为了改善中午放学时校门口交通状况，高二年级安排A、B、C三名学生会干部在周一至周五的5天中参加交通执勤，要求每人参加一天但每天至多安排一人，并要求A同学安排在另外两位同学前面．不同的安排方法共有   ▲      　种．（用数字作答）

11． “”是“方程表示椭圆”的_____▲　　　_条件．

（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”）

12. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是　▲　．

13. 椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足，则的范围是     ▲　        ．

14. 函数,其导函数为，则=      ▲　           ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

15. （本小题满分14分）设p：复数在复平面上对应的点在第二或第四象限；q：函数在R上有极大值点和极小值点各一个．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．

16. （本小题满分14分）高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；

（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率；

（3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率.

17. （本小题满分14分）对于一切，等式

恒成立．

（1）求的值；（2）用数学归纳法证明上面等式．

18. （本小题满分16分） 如图， 是边长为3的正方形，，，，与平面所成角为．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论．

19. （本小题满分16分） 已知椭圆E: ,以抛物线的焦点为顶点,且离心率为．

(1)求椭圆E的方程；(2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，直线：与轴交于点N，直线AF与BN交于点M.

(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上； (ⅱ)求△AMN面积的最大值．

20. （本小题满分16分）已知函数，设

（1）求函数的单调区间；(2）若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；（3）是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象在恰有两个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

江苏省清江中学2014-2015学年度第一学期期末考试

高二数学试题（理科）答题纸

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1                2             3             4             5              

6           7            8             9                                    

10           11                12             13               14                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

江苏省清江中学2014-2015学年度第一学期期末考试

高二数学试题（理科）

参与评分标准

一、填空题：

二、解答题：

15. 解：∵复数在复平面上对应的点在第二或第四象限，

     ∴，即或.                 ………………5分

    ∵函数在R上有极大值点和极小值点各一个，

    ∴有两个不同的解，即△＞0.

      由△＞0，得m＜－1或m＞4                           …………10分

要使“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，                 ………………12分

      ∴  ．

的取值范围为．                        ………………14分

16.解: （1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：

………………………………3分

所以低于60分的人数为（人）……………………………….5分

（2）依题意，成绩80及以上的分数所在的第五、六组（低于50分的为第一组），

频率和为

所以，抽样学生成绩的优秀率是%……………………………………………………8分.

于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为30%……………………………………9分.

（3）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9．所以从参加补考的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：   …………………14分

17. 解：(1)将代入等式得：解得：……………6分

（2）由（1）得， 

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，左边=,右边=，等式成立；…………………………8分

②假设n＝k时等式成立，即

则n＝k＋1时，

即n＝k＋1时等式成立.  ……………………12分

由①②知，等式成立.  …14分 

18. (1)证明： 因为平面，,所以.  ………2分

因为是正方形，所以，又，从而平面.

……  …  ……  ……4分（本小题也可用空间向量以算代证，参照给分）

(2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.

因为与平面所成角为，即，……5分

所以.由可知，.  ………6分

则 

所以   ………7分

设平面的法向量为，则，即，

令，则.                               …………………8分

因为平面，所以为平面的法向量，，

所以.        …………………9分

所以二面角的正弦值为.………………10分

(3)解：点是线段上一个动点，设.

则，因为，所以，  ………………12分

即，解得.                           …………………14分

此时，点坐标为，，符合题意. …………………16分

19. 解：(1)因为抛物线的焦点为,又椭圆以抛物线焦点为顶点,

所以∴椭圆E的方程为．…………… 4分

(2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)． 设，则，.

AF与BN的方程分别为： 

设，则有由上得，…6分

由于，

所以点M恒在椭圆C上…………10分

所以,F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞). ……………4分

（2）由得恒成立,即恒成立………………………6分

因为当时，取得最大值0，所以，，所以，的最小值为0. ……9分

（3）若的图象与函数的图象在恰有两个不同交点，即在有两个不同的根，亦即两个不同的根. ………………………11分

令，，则，.………………………13分

当x变化时G/(x)、G（x）的变化情况如下表：