2010年陕西高考真题及答案理科数学

理科数学（必修+选修Ⅱ）

解析    重庆合川太和中学    杨建

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。

1.集合A=，B=，则=【D】

（A）   （B）（C）（D）

解析：本题考查集合的基本运算

2.复数在复平面上对应的点位于 【A】

A.第一象限  B.第二象限  C.第三象限 D.第四象限

解析：本题考查复数的运算及几何意义

，所以点（位于第一象限

3.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是 【B】

    A.f(x)在（，）上是递增的   B. f(x)的图象关于原点对称

C. f(x)的最小正周期为       D. f(x)的最大值为2

解析：本题考查三角函数的性质

f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数

4.展开式中的系数为10，则实数a等于【D】

A.-1    B.  C.1    D.2  

解析：本题考查二项展开式的通项公式

5.已知函数f(x)= 若f（f（0））=4a，则实数a等于【C】

A.     B.     C.2      D.9 

解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2

6.右图是求样本，，…，平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】

   A.S=S+

   B.S=S+

   C.S=S+n

   D.S=S+ 

7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】

A.     B.    C.1      D.2 

解析：本题考查立体图形三视图及体积公式

如图，该立体图形为直三棱柱

所以其体积为

8.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为【C】

A.     B. 1     C.2      D.4 

解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系

法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以

  法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）

        所以

9.对于数列，“”是“为递增数列”的【B】

A.必要不充分条件     B. 充分不必要条件

C.充要条件           D.既不充分也不必要条件 

解析：由知所有项均为正项，

且，即为递增数列

反之，为递增数列，不一定有，如-2，-1,0,1,2，….

10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 【B】

A.     B.   C.     D. 

解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B

法二：设， 

，所以选B

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.

11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则m=-1 

解析：，所以m=-1

12.观察下列等式：，，，…，根据上述规律，第五个等式为。

解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方

     所以第五个等式为。

13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分部分的概率为

解析：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为，所以点M取自阴影部分部分的概率为

14.铁矿石A和B的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：

解析：设购买铁矿石A和B各x，y万吨，则购买铁矿石的费用

x,y满足约束条件

                                    表示平面区域为

则当直线过点B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用

z=15

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）不等式的解集为

解析：法一：分段讨论

综上，原不等式解集为

法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究

法三：借助函数的图像研究

B. (几何证明选做题)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则  

解析：,由直角三角形射影定理可得

C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为（a为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为__(-1,1).(1,1)_____

解析：直线l的极坐标方程为化为普通方程为y=1，

所以直线l与圆的交点坐标为(-1,1).(1,1)

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16.（本小题满分12分）

已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列

（1）求数列的通项公式

（2）求数列的前n项和

解：

    （1）由题设知公差d≠0

由且成等比数列得

解得d=1,d=0（舍去）

故的通项

    （2）由（1）知，由等比数列前n项和公式得

17. （本小题满分12分

   如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

解：由题意知海里，

在中，由正弦定理得

=（海里），

又海里，

在中，由余弦定理得

     = 

30（海里），则需要的时间（小时）。

答：救援船到达D点需要1小时。

注：如果认定为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分。

18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2,BC=,E,F分别是AD,PC的中点。

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

解法一：

（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。

∵，四边形ABCD是矩形

∴ A,B,C,D,P的坐标为

又E,F分别是AD,PC的中点，

∴ 

∴,

∴ 

∴ 

∴

∴平面

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知平面BEF的法向量,

平面BAP的法向量，

∴ =8

设平面BEF与平面BAP的家教为θ，

则，

∴，∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为

解法二：

（Ⅰ）连接PE,EC，在和中，

PA=AB=CD,AE=DE,

∴ PE=CE,即是等腰三角形，

又F是PC的中点，∴EF⊥PC，

又是PC的中点，

∴

又

（Ⅱ）∵ PA⊥平面ABCD, ∴ PA⊥BC,

又ABCD是矩形，∴ AB⊥BC,

∴ BC⊥平面BAP，BC⊥PB,

又由（Ⅰ）知PC⊥平面BEF,

∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，

在中，PB=BC, , 

所以平面BEF与平面BAP的夹角为

19. （本小题满分12分）

为了解学生升高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

（Ⅰ）估计该校男生的人数；

（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；

（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~18cm之间的概率。

解：

（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人。

（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~180cm之间的概率p=0.5

（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4，

设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170~180cm之间”，

则（或）

20. （本小题满分13分）

如图，椭圆的顶点为，焦点为， 

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线，||=1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

解：

（Ⅰ）

由知，            ①

由知a=2c，          ②

又  ，                       ③

由①②③解得，

故椭圆C的方程为

（Ⅱ）

设A，B两点的坐标分别为，

假设使成立的直线存在，

（ⅰ）当不垂直于x轴时，设的方程为，

由与垂直相交于P点且||=1得

，即

∵，||=1，

∴

          = 

          = 1+0+0-1=0,

即

将代入椭圆方程，得

由求根公式可得，                ④

                   ⑤

              = 

              = 

将④，⑤代入上式并化简得

            ⑥

将代入⑥并化简得，矛盾

即此时直线不存在

（ⅱ）当垂直于x轴时，满足的直线的方程为x=1或x=-1，

当X=1时，A,B,P的坐标分别为，

∴，

∴

当x=-1时，同理可得，矛盾

即此时直线也不存在

综上可知，使成立的直线不存在

21. （本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；

（Ⅱ）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；

（Ⅲ）对（Ⅱ）中的和任意的，证明：

解：

（Ⅰ），

由已知得    解得，

∴ 两条直线交点的坐标为，切线的斜率为，

∴ 切线的方程为

（Ⅱ）由条件知

∴ 

（ⅰ）当a>0时，令，解得，

∴ 当时，在上递减；

当时，在上递增

∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点

∴最小值

（ⅱ）当时，在上递增，无最小值，

故的最小值的解析式为

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

对任意的

               ①

         ②

        ③

故由①②③得