高中数学必修一 函数应用题的解题策略

应用性问题是历年高考数学命题必不可少的题型，也是考生失分较多的一种题型.从近几年的高考试卷看，函数应用题一直是高考命题的重点和热点.尽管目前概率应用题的势头被看好，但命题者也在揣摩备考者的心理，函数应用题必定会成为应用题命题的主要目标.这类试题大多以函数知识为背景，涉及到一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数以及形如的函数等.解答时一般都从建立函数表达式入手，将实际问题数学化，将文字语言向数学的符号语言或图形语言转化，最终构建成函数、不等式的数学模型，在题目给出的实际定义域内进行求解.

一、考点聚焦

高考函数应用题的命题思路主要有以下特点：

1.建构适合的函数模型是解题的关键

解答函数应用题，一般应先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答.这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用(如借助不等式、导数等工具加以解决).

例1  某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则      吨.

分析  建立正确的目标函数是前提，可用直译法列式，再运用均值不等式进行求解.

解  每年购买的次数为次，则总费用≥.当且仅当，即时等号成立.故吨.

评析  本题主要考查的是均值不等式的应用.

例2  有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=

13 cm，BC=10 cm.今计划合建一个中心医院.为同时方便三镇，准备建

在BC的垂直平分线上的P点处.(建立坐标系如图1所示)

(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小，点P应位于何处？

(2)若希望点P到三镇的最远距离最小，点P应位于何处？

分析  本题以函数和不等式等基本知识为背景，考查运用数学知识

分析问题和解决问题的能力.

解  (1)设点P的坐标为(0，)，则P到三镇距离的平方和为.

所以，当时，函数取得最小值，此时点P的坐标是.

(2)(解法一)点P到三镇的最远距离为

由，解得.故

因为在上是增函数，而上是减函数，所以当时，函数取得最小值，此时点P的坐标是.

(解法二)因为在△ABC中，AB=AC=13，且

所示.所以，△ABC的外心M在

线段AO上，其坐标为，且AM=BM=CM.当P在射线MA上，记P为

P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2.这时P到A、B、C三点的最远

距离为P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以当点P与外心M重合时，P到三

镇的最远距离最小.此时点P的坐标是.

评析  本题需要把实际问题抽象为数学问题，较之单纯的数学问题，它把鲜明的客观背景告诉考生，让考生站在决策者的位置上去认识和思考问题，借此可考查考生对外来信息的接受、领悟和提炼能力.

2.型函数成为应用题的亮点

形如的函数，处理的方法和技巧很多.特别是应用题，由于取值范围的，有些时候可以用基本不等式求解，有时则要借助函数的单调性来处理.

例3  对个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：)为，要求洗完后的清洁度是.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为(1≤≤3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是()，用质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度.

(1)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少.

(2)若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

分析  审清题意，明确清洁度的定义及计算公式，建立函数关系式，通过变形求最小值.

解  (1)设方案甲与方案乙的用水量分别为与，由题设有.解得.

由得方案乙初次用水量为，第二次用水量满足方程，解得.故，即两种方案的用水量分别为与.

因为当≤≤时，，即，故方案乙的用水量较少.

(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为和，类似(1)得，，.   (*)

于是.

当为定值时，≥.当且仅当时等号成立，此时(不合题意，舍去)或，.

将代入(*)式得，，.

故时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量.

因此，当≤≤时，是增函数.这说明，随着的值的增加，最少总用水量增加.

评析  本题主要考查的是函数的应用、函数的最值、分类讨论思想、均值不等式、运算能力、逻辑思维能力以及化归转化意识.该题可认为是由上海市2001年高考试卷中“用水清洗蔬菜上的农药”的考题进行推陈出新、变形衍生而成的.

例4  设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面的宽与高的比为.画面的上、下各留8 cm的空白，左、右各留5 cm的空白.怎样确定画面高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求，那么为何值时，能使宣传画所用纸张的面积最小？

分析  本题是“用材最省”问题.解决这类问题一般要根据几何图形的体积和面积公式来建立数学模型.

解  设画面的高为x cm，宽为cm，则.

设纸张的面积为S，则.

将代入上式得，.当，即时，S取得最小值.此时，，.

如果，则由S的表达式得

.

由于，故.因此.所以，从而，对于，当时，S()取得最小值.

答:当画面的高为88 cm，宽为55 cm时，所用纸张的面积最小；如果要求，则当时，所用纸张的面积最小.

3.导数方法解函数应用题成为命题者的“新宠”

例5  一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.

(1)将此枕木翻转900(即宽度变为了厚度)，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？

(2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？

分析  本题所给的条件比较抽象，要注意字母所表示的是变量还是常量.

解  (1)安全负荷为正常数)翻转.

，安全负荷变大；当，

安全负荷变小.

(2)如图4所示，设截取的宽为a，高为d，则.

∵枕木的长度不变，∴当u=ad2最大时，安全负荷最大.

，

当且仅当，即取，

时，u最大，此时安全负荷最大.

评析  三次函数的最值问题一般可用三元均值不等式来求解.本题如果用a表示d可能会方便些，若用导数知识求解还可省去应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的烦恼.有兴趣的同学不妨试一试.

例6  某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规

定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微

克)与时间t(小时)之间近似满足如图5所示的曲线.

(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式.

(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克

时，治疗有效.

①求服药一次后治疗有效的时间是多长？

②当时第二次服药，问时药效能否持续？

分析  弄清题意、读懂图像是解本题的基础.

解  (1)当时， 

此时在曲线上，所以.

(2)①因为.

所以，服药一次治疗疾病的有效时间为.

②设，5小时第二次服药后，血液中含药量为第二次产生的含药量4(t-5)微克以及第一次的剩余量.

只要说明当时，即可说明药效持续，否则不持续.

因为在R上是增函数， 

上是增函数.故.

因此，当t=5时第二次服药，药效持续.

4.注重在知识的交汇点处命题

例7  为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，.例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为

A.4，6，1，7      B.7，6，1，4      C.6，4，1，7      D.1，6，4，7

分析  根据题意，可类比映射的定义列出方程组进行求解.

解  由解得选B.

评析  本题为映射定义的应用，与实际联系较大，突出考查了数字的实际应用以及逆向思维.其命题的方向为映射定义、合情推理、信息安全与编码的结合，后两者则是高中新课程两个模块的体现.

例8  我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格等手段来达到节约用水的目的.某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费.

该市一家庭今年1月份、2月份和3月份的用水量和支付费用如右表所示.请根据右表中的数据，求出a、b、c的值.

分析  求解本题的关键是理顺数量关系，设出变量，找出不变量，建立水费y关于用水量x的分段函数，从而使问题得以解决.

解  设每月的用水量为x m3，支付的水费为y元，则

由题意可知，0由图表可知，2月份和3月份的水费均大于13元，故用水量15 m3、22 m3均应大于最低限量a m3.将x=15和x=22分别代入⑵式，得.解得b=2，2a=c+19.

由于1月份的水费为9元，所以c=1，从而得a=10.

答：a的值是10，b的值是2，c的值是1.

评析  对于较复杂的数量关系，宜根据事物的类别、时间的先后、问题的项目对题目中给出的已知量、未知量、常量进行归类，或画出图表，建立等式、不等式，将复杂的数量关系清晰化，然后转化为数学问题进行求解，最后还要注意检验所求的结果是否符合实际意义.

小结  求解函数应用题的突破口在于阅读与转译，关键是抓住以下三个方面：(1)划分题目层次，领会关键词语；(2)转译题设条件，找准数学关系；(3)推敲命题意图，使条件和结论相互靠拢.条件转译是解应用题的核心步骤，也是分步解应用题踩点得分原则的具体体现.

【高考模拟题】

1.某校研究性学习小组为考察江边小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠在岸边后上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回.设t为出发后的某一时刻，S为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图像中能大致表示S＝f(x)的函数关系的是

2.用一板制作一个容积为的无盖长方体水箱.可用的长方体钢板有四种不同的规格(长宽的尺寸如选项所示，单位均为).若既要够用，又要所剩最少，则应选择钢板的规格是

A.          B.          C.          D. 

3.某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用.浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，分钟注水升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升(新注入水的加热时间和每个人间隔时间都忽略不计)，则该热水器一次至多可供

A.3人洗澡        B.4人洗澡        C.5人洗澡        D.6人洗澡

4.已知农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以6 %的年增长率增长，其他收入每年增加160元.根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于

A.4200元~4400元                 B.4400元~4600元

C.4600元~4800元                 D.4800元~5000元

5.专家通过研究学生的学习行为后发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化.讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力又开始分散.设f(t)表示学生的注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知：

(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

6.某集团公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2+5t(百万元)(0≤t≤5).

(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大?

(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3+x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大?(注：收益=销售额－投入)

【参】

1.C   2.C   3.C   4.B   5.(1)讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.

(2)讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.   (3)经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲授完这道题目.   6.(1)2百万元.   (2)当用于技术改造的资金为2百万元，用于广告促销的资金为1百万元时，该公司获得的收益最大.